Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Matematica multimediale.blu (3ª ed.) Matematica multimediale.blu (3ª ed.) / Volume unico Fai il punto sulle competenze - Metodi di sostituzione e del confronto

FIP02BBblu12 - Metodi di sostituzione e del confronto

9 esercizi

SVOLGI

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Matematica

Scrivi il seguente sistema in forma normale e risolvilo con il metodo di sostituzione:

{\begin{matrix} (x + 1)^{2} - 4 y = 5 + (x - 1) (x + 2) \\ (x - 4) (4 + x) + 2 (y + 8) = x (\frac{1}{3} + x) \end{matrix} .

Eliminiamo le parentesi.
________
Il sistema in forma normale è:
________.
Ricaviamo

x

dalla seconda equazione e sostituiamo il valore trovato nella prima.

x =

________

\to 2 y = 2 \to y = 1

.
La soluzione del sistema è:
________.

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Matematica

Due anni fa l'età di Janet era il doppio dell'età di Maria. Fra due anni l'età di Maria sarà i

\frac{2}{3}

dell'età di Janet. Qual è la loro età oggi?

Indichiamo con

x

l'età di Janet e con

y

l'età di Maria oggi. Allora possiamo scrivere il sistema:
________.
Il sistema in forma normale è:
________.
Ricaviamo dalla prima equazione

x = 2 y - 2

e sostituiamo l'espressione ottenuta nella seconda ottenendo:

y =

________.
Concludiamo che:
Janet ha ________ e Maria ha ________.

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Matematica

In un numero di due cifre, la differenza tra la cifra delle unità e la cifra delle decine è

1

. Se si somma il numero con quello che si ottiene scambiandone le cifre si ottiene

55

. Qual è il numero di partenza?

Indichiamo con

x

la cifra delle decine e con

y

la cifra delle unità. Dal testo ricaviamo il sistema:
________.
Il sistema in forma normale è:
________.
Ricaviamo

y = x + 1

dalla prima equazione e sostituiamo l'espressione ottenuta nella seconda:

x + (x + 1) = 5 \to x =

________

y =

________.
Il numero di partenza è
________.

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Matematica

Usa il metodo del confronto per risolvere il sistema formato dalle seguenti equazioni:

1^{a}

equazione

2 (2 x + y) (2 x - y) + \frac{x}{4} =

\frac{y}{2} - 2 (x - y)^{2} + 10 (x^{2} + \frac{1}{4}) - 4 x y

2^{a}

equazione

3 y + \frac{x}{2} - 5 = 0

Svogiamo i calcoli.

{\begin{matrix} x - 2 y - 10 = 0 \\ 6 y + x - 10 = 0 \end{matrix}

Isoliamo la variabile ________.

{\begin{matrix} x = 2 y - 10 \\ x = - 6 y + 10 \end{matrix}

Eguagliamo i membri di destra delle due equazioni:

2 y + 10 = - 6 y + 10 \to

y =

________.
Sostituiamo il valore ottenuto nella prima equazione:

x = 10

.
La soluzione del sistema è quindi ________.

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Matematica

Lucia crea e vende braccialetti e collane. Per realizzare

15

braccialetti, uguali fra loro, impiega un'ora e mezza e utilizza

300

perline, per completare

10

, uguali fra loro, impiega

3

ore e le servono

400

perline. Se lavora

5

ore e vuole usare tutte le

800

perline che ha disposizione, quanti braccialetti e quante collane realizzerà?

Chiamiamo

x

il numero di braccialetti e

y

il numero di collane.
Per ogni braccialetto sono necessarie ________ perline.
Per ogni collana sono necessarie

\frac{400}{10} = 40

perline.
Quindi, volendo usare tutte le

800

perline a disposizione, possiamo scrivere
________

= 800

.
Per creare un braccialetto, Lucia impiega ________ minuti.
Mentre per creare una collana, impiega

\frac{180}{10} = 18

minuti.
Se lavora

5

ore, ossia

300

minuti, possiamo scrivere

6 x + 18 y = 300

.
Mettiamo a sistema le due equazioni e risolviamo con il metodo del confronto.
Conviene isolare la variabile ________.

{\begin{matrix} x = 40 - 2 y \\ x = 50 - 3 y \end{matrix} \to

{\begin{matrix} 40 - 2 y = 50 - 3 y \\ x = 40 - 2 y \end{matrix} \to {\begin{matrix} y = 10 \\ x = 20 \end{matrix} .

Quindi lucia realizzerà

20

braccialetti e

10

collane.

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Matematica

Trova per quali valori dei parametri reali $a$ e $b$ il sistema ${\begin{matrix} - a x + 3 b y = 2 \\ 2 a x - b y = 1 \end{matrix}$ ha come soluzione $(2; - 1)$ .

Sostituiamo la coppia di valori $(2; - 1)$ all'interno del sistema e risolviamo per $a$ e $b$ .

${\begin{matrix} \end{matrix}$	$-$ ________ $- 3 b = 2$
	$4 a$ ________ $= 1$

Applichiamo il metodo di sostituzione:

${\begin{matrix} \end{matrix}$	$- 2 a - 3 b = 2$	$\to$
	$b = 1$ ________

${\begin{matrix} - 2 a - 3 + 12 a = 2 \\ b = 1 - 4 a \end{matrix} \to {\begin{matrix} 10 a = 5 \\ b = 1 - 4 a \end{matrix} \to$

${\begin{matrix} \end{matrix}$	$a =$ ________	.
	$b = - 1$

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Matematica

Risolvi il seguente sistema con il metodo del confronto e interpreta graficamente il risultato.

${\begin{matrix} y = - 2 x + 11 \\ 4 x - y = 1 \end{matrix}$

Isoliamo la variabile $y$ anche dalla seconda equazione e risolviamo.

${\begin{matrix} \end{matrix}$	$y = - 2 x + 11$	$\to$
	$y =$ ________

${\begin{matrix} - 2 x + 11 = 4 x - 1 \\ y = 4 x - 1 \end{matrix} \to$

${\begin{matrix} x = 2 \\ y = 7 \end{matrix} .$

Graficamente, ciò significa che le rette

________

Si incontrano nel punto di coordinate ________.

Disegniamo le due rette.

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Matematica

Risolvi il seguente problema con il metodo del confronto. Nel bancone di una pasticceria sono esposti

11

vassoi di pasticcini. Alcuni contengono

10

piccoli cannoli alla crema, altri contengono

12

cestini alla frutta. In totale si contano

120

pasticcini. Quanti sono i vassoi di cannoli e quanti quelli di cestini di frutta?

Indichiamo con

x

il numero di vassoi di cannoli e con

y

il numero di vassoi di cestini alla frutta. Allora possiamo scrivere il sistema:
________.
Il sistema è già in forma normale. Applichiamo il metodo del confronto ricavando

y

da entrambe le equazioni.
________
Uguagliamo le espressioni ottenute:
________

\to

x =

________.
Sostituiamo il valore di

x

trovato in una delle due equazioni del sistema e ricaviamo

y =

________ .
La soluzione del sistema è:
________.

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Matematica

Considera un numero naturale di due cifre. Sai che la somma delle sue cifre è $9$ e che la differenza tra il numero e quello che si ottiene scambiando le cifre è $45$ . Determina il numero.

Chiamiamo $x$ la cifra delle decine e $y$ la cifra delle unità. Allora:

• $x + y = 9$ ;

• ________.

Mettiamo a sistema le due equazione e risolviamo con il metodo di sostituzione.

${\begin{matrix} x + y = 9 \\ 10 x + y - 10 y - x = 45 \end{matrix} \to$

${\begin{matrix} \end{matrix}$	$x =$ ________	$\to$
	$9 (9 - y) - 9 y = 45$

${\begin{matrix} x = - 9 - y \\ y = 2 \end{matrix} \to {\begin{matrix} x = 7 \\ y = 2 \end{matrix}$

Il numero quindi è ________.

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