FIP01BBbluG8 - Isometrie, traslazioni, rotazioni

Determina l'area del parallelogramma $ABCD$ ottenuto traslando il segmento $AB$ di estremi $A(2;2)$ e $B(10;2)$ mediante il vettore $\overrightarrow{v}(4;2)$ e chiamando $D$ e $C$, rispettivamente, i corrispondenti dei punti dei punti $A$ e $B$.

Mediante la traslazione

si ha che $t(A)=D=($________$;4)$ e

$t(B)=C=(14;$________$)$.

L'area del parallelogramma così ottenuto è $16$.

Il trapezio $ABCD$, di vertici $A(1;1)$, $B(5;1)$, $C(3;4)$ e $D(1;4)$, viene traslato nel piano cartesiano secondo il vettore $\overrightarrow{v}$ tale che $t_{\overrightarrow{v}}(A)=C$. Determina le equazione della traslazione e rappresenta il trasformato di $ABCD$ nel piano cartesiano.

Consideriamo una generica traslazione

$\{\begin{array}{c}{x}^{\prime }=x+a\\ y^{\prime }=y+b\end{array}$

di vettore $\overrightarrow{v}=(a;b)$.

Imponiamo

$a=$________ e $b=3$.

Otteniamo così

$B^{\prime }($________$;4)$, $C^{\prime }($________$;7)$ e $D^{\prime }(3;7)$.

Rappresentiamo il trasformato nel piano cartesiano.

Scrivi le equazioni della trasformazione $t^{″}=t^{\prime }\circ t$, dove $t$ è la traslazione di vettore $\overrightarrow{v}(-1;2)$ e $t^{\prime }$ la traslazione di vettore $\overrightarrow{v}(3;-3)$, e determina le coordinate del corrispondente del punto $(2;-1)$.

Si ha che

Il corrispondente del punto

$(2;-1)$ è $($________$;-2)$.

Considera il triangolo di vertici $A(1;0)$, $B(3;4)$ e $C(2;2)$. Determina le coordinate dei vertici del trasformato di $ABC$ mediante $\rho =r\circ t$, dove $r$ è la rotazione con centro nell'origine $O$ e angolo di $+{180}^{\circ }$ e $t$ la traslazione di vettore $\overrightarrow{v^{\prime }}(5;-2)$.

Si ha che

Quindi $A^{\prime }($________$;2)$, $B^{\prime }(-8;$________$)$ e $C^{\prime }(-7;0)$.

Scrivi l'equazione della rotazione antioraria di ${90}^{\circ }$ e centro $O$ e verifica che la trasformata della retta $t$ di equazione $y=-4x+9$ è perpendicolare alla retta $t$ stessa.

La trasformazione inversa è

Sostituendo le equazioni della trasformazione inversa nella retta data otteniamo

$-x^{\prime }=$________$y^{\prime }+9$.

Quindi l'equazione della retta trasformata è

$y=$________$x+{\displaystyle \frac{9}{4}}$

e risulta perpendicolare alla retta data perché i loro coefficienti angolari sono antireciproci.

Dato il punto $P(-1;3)$, trova le coordinate del punto $Q$ trasformato di $P$ rispetto alla composizione delle rotazioni che hanno centro nell'origine e angoli $+{180}^{\circ }$ e $-{90}^{\circ }$.

Sia $r$ la rotazione di angolo $+{180}^{\circ }$ e $r^{\prime }$ la rotazione di $-{90}^{\circ }$.

Le equazioni della composizione delle due rotazioni sono

Quindi $Q($________$;$________$)$.