Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Matematica multimediale.blu (3ª ed.) Volume 1 Fai il punto sulle competenze - Isometrie, traslazioni, rotazioni

FIP01BBbluG8 - Isometrie, traslazioni, rotazioni

9 esercizi

SVOLGI

INFO

Associa a ogni retta l'equazione della sua trasformata mediante la rotazione con centro nell'origine degli assi e angolo di

- 90^{\circ}

2 x - 3 y = 2

________

x + 3 y - 1 = 0

________

y = x + 1

________

y = - 3 x - 2

________

Posizionamento

Determina l'area del parallelogramma $A B C D$ ottenuto traslando il segmento $A B$ di estremi $A (2; 2)$ e $B (10; 2)$ mediante il vettore $\vec{v} (4; 2)$ e chiamando $D$ e $C$ , rispettivamente, i corrispondenti dei punti dei punti $A$ e $B$ .

Mediante la traslazione

${\begin{cases} \end{cases}$	$x^{'} = x$ ________ $4$
	$y^{'} = y$ ________ $2$

si ha che $t (A) = D = ($ ________ $; 4)$ e

$t (B) = C = (14;$ ________ $)$ .

L'area del parallelogramma così ottenuto è $16$ .

Completamento chiuso

Considera la retta

r

passante per i punti

A (1; 2)

B (4; 0)

e la retta

s

perpendicolare a

r

e passante per il punto

C (3; 3)

. Qual è il punto di intersezione delle rette

r^{'}

s^{'}

, ottenute traslando le rette

r

s

mediante il vettore

\vec{v} (4; 3)

?

La retta

r

ha equazione

y = - \frac{2}{3} x +

________.
La retta

s

ha equazione

y = \frac{3}{2} x -

________.
Per trovare il punto di intersezione delle rette

r^{'}

s^{'}

è sufficiente trovare il traslato del punto di intersezione delle rette

r

s

.
Il punto d'intersezione delle rette

r

s

P (\frac{25}{13};

________

)

.
La traslazione di vettore

\vec{v}

ha equazione

{\begin{cases} x^{'} = x + 4 \\ y^{'} = y + 3 \end{cases} .

Il punto di intersezione delle rette

r^{'}

s^{'}

è quindi

P^{'} (\frac{77}{13};

________

)

Completamento chiuso

Il trapezio $A B C D$ , di vertici $A (1; 1)$ , $B (5; 1)$ , $C (3; 4)$ e $D (1; 4)$ , viene traslato nel piano cartesiano secondo il vettore $\vec{v}$ tale che $t_{\vec{v}} (A) = C$ . Determina le equazione della traslazione e rappresenta il trasformato di $A B C D$ nel piano cartesiano.

Consideriamo una generica traslazione

${\begin{cases} x^{'} = x + a \\ y^{'} = y + b \end{cases}$

di vettore $\vec{v} = (a; b)$ .

Imponiamo

$t_{\vec{v}} (A) = C : {\begin{cases} \end{cases}$	________ $=$ ________ $+ a$	$\to$
	$4 = 1 + b$

$a =$ ________ e $b = 3$ .

Otteniamo così

$B^{'} ($ ________ $; 4)$ , $C^{'} ($ ________ $; 7)$ e $D^{'} (3; 7)$ .

Rappresentiamo il trasformato nel piano cartesiano.

Completamento chiuso

Scrivi l'equazione della rotazione antioraria di $90^{\circ}$ e centro $O$ e verifica che la trasformata della retta $t$ di equazione $y = - 4 x + 9$ è perpendicolare alla retta $t$ stessa.

Si ha che $r : {\begin{cases} \end{cases}$	$x^{'} = - y$	.
	$y^{'} =$ ________

La trasformazione inversa è

$r^{- 1} : {\begin{cases} \end{cases}$	$x =$ ________	.
	$y = - x$

Sostituendo le equazioni della trasformazione inversa nella retta data otteniamo

$- x^{'} =$ ________ $y^{'} + 9$ .

Quindi l'equazione della retta trasformata è

$y =$ ________ $x + \frac{9}{4}$

e risulta perpendicolare alla retta data perché i loro coefficienti angolari sono antireciproci.

Completamento chiuso

Considera il triangolo di vertici $A (1; 0)$ , $B (3; 4)$ e $C (2; 2)$ . Determina le coordinate dei vertici del trasformato di $A B C$ mediante $ρ = r \circ t$ , dove $r$ è la rotazione con centro nell'origine $O$ e angolo di $+ 180^{\circ}$ e $t$ la traslazione di vettore $\vec{v^{'}} (5; - 2)$ .

Si ha che

$r : {\begin{cases} \end{cases}$	$x^{'} = - x$	e $t : {\begin{matrix} x^{'} = x + 5 \\ y^{'} = y - 2 \end{matrix},$
	$y^{'} =$ ________ $y$

quindi $ρ : {\begin{cases} \end{cases}$	$x^{'} = - x$ ________ $5$	.
	$y^{'} = - y + 2$

Quindi $A^{'} ($ ________ $; 2)$ , $B^{'} (- 8;$ ________ $)$ e $C^{'} (- 7; 0)$ .

Completamento chiuso

Completa sapendo che l'isometria

t

trasforma la prima figura nella seconda.
a.

t (A B) =

________
b.

t (

________

) = E \hat{H} G

t (D) =

________
d.

t^{- 1} (

________

) = C B

Completamento chiuso

Scrivi le equazioni della trasformazione $t^{″} = t^{'} \circ t$ , dove $t$ è la traslazione di vettore $\vec{v} (- 1; 2)$ e $t^{'}$ la traslazione di vettore $\vec{v} (3; - 3)$ , e determina le coordinate del corrispondente del punto $(2; - 1)$ .

Si ha che

$t : {\begin{cases} \end{cases}$	$x^{'} = x - 1$	e $t^{'} : {\begin{cases} \end{cases}$	$x^{'} = x +$ $3$	,
	$y^{'} = y$ ________		$y^{'} = y - 3$

quindi $t^{″} : {\begin{cases} \end{cases}$	$x^{'} =$ ________ $+ 2$	.
	$y^{'} = y - 1$

Il corrispondente del punto

$(2; - 1)$ è $($ ________ $; - 2)$ .

Completamento chiuso

Dato il punto $P (- 1; 3)$ , trova le coordinate del punto $Q$ trasformato di $P$ rispetto alla composizione delle rotazioni che hanno centro nell'origine e angoli $+ 180^{\circ}$ e $- 90^{\circ}$ .

Sia $r$ la rotazione di angolo $+ 180^{\circ}$ e $r^{'}$ la rotazione di $- 90^{\circ}$ .

$r : {\begin{cases} \end{cases}$	$x^{'} =$ ________	e $r^{'} : {\begin{cases} \end{cases}$	$x^{'} =$ ________	.
	$y^{'} = - y$		$y^{'} = - x$

Le equazioni della composizione delle due rotazioni sono

$r^{″} : {\begin{cases} \end{cases}$	$x^{'} =$ ________	.
	$y^{'} =$ ________

Quindi $Q ($ ________ $;$ ________ $)$ .

Completamento chiuso