Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Matematica multimediale.blu (3ª ed.) Matematica multimediale.blu (3ª ed.) / Volume 1 Fai il punto sulle competenze - Le grandezze commensurabili e incommensurabili, le proporzioni fra grandezze

FIP01BBbluG7 - Le grandezze commensurabili e incommensurabili, le proporzioni fra grandezze

8 esercizi

SVOLGI

INFO

Matematica

Date le grandezze omogenee

A

B

C

D

E

F

, non nulle e tali che

3 A = 2 B

6 C = 9 D

E : C = F : D

, dimostra che

A : B = F : E

.

Ipotesi:

3 A = 2 B

;

6 C = 9 D

;

E : C = F : D

.
Tesi:

A : B = F : E

.

Dimostrazione
Dalle relazioni fra le grandezze passiamo alle corrispondenti relazioni fra le loro misure:

3 \bar{A} = 2 \bar{B}

;

6 \bar{C} = 9 \bar{D}

.
Dividiamo entrambi i membri della prima uguaglianza per

3 \bar{B}

3 \bar{A} = 2 \bar{B} \to \frac{3 \bar{A}}{3 \bar{B}} = \frac{2 \bar{B}}{3 \bar{B}} \to \frac{\bar{A}}{\bar{B}} = \frac{2}{3} .

Dividiamo entrambi i membri della seconda uguaglianza per

9 \bar{C}

\bar{D} = 6 \bar{C} \to \frac{9 \bar{D}}{9 \bar{C}} = \frac{6 \bar{C}}{9 \bar{C}} \to \frac{\bar{D}}{\bar{C}} = \frac{2}{3} .

Applichiamo la proprietà del ________ alla proporzione

E : C = F : D

E : C = F : D \to D : C = F :

________.
Quindi ________

= \frac{\bar{D}}{\bar{C}} = \frac{2}{3}

.
Poiché sono uguali i rapporti tra le misure di

A

B

F

E

, sono uguali anche i rapporti fra le grandezze, quindi:

\frac{A}{B} =

________ ossia

A : B = F :

________.

Completamento chiuso

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Matematica

Le basi di un trapezio rettangolo sono proporzionali a

30

21

. Sai che le basi differiscono di

3

cm e che l'altezza e la base minore sono proporzionali a

8

14

. Trova la lunghezza del lato obliquo del trapezio.

Indichiamo con

B

la base maggiore del trapezio, con

b

la sua base minore e con

h

la sua altezza e scriviamo le relazioni:

B : 30 = b : 21; B - b = 3

cm;

h : 8 = b : 14.

Applichiamo le proprietà dell'invertire dello scomporre alla prima relazione, per ricavare la lunghezza delle due basi:

B : 30 = b : 21 \to B : b = 30 : 21 \to

(B - b) : b =

________

: 21 \to

3 : b =

________

: 21 \to

b =

________

=

________ cm

\to

B =

________ cm.

h : 8 = b : 14 \to h : 8 =

________

: 14 \to

h =

________

=

________ cm.

Applichiamo il teorema di Pitagora per determinare la lunghezza del lato obliquo:
________

= 5

cm.

Completamento chiuso

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Matematica

Indica con

T

Q

E

rispettivamente un triangolo equilatero, un qudrato e un esagono regolare circoscritti a una stessa circonferenza. Quale delle seguenti affermazioni è vera?

A: Le aree di

E

e di

T

sono incommensurabili.

B: I perimetri di

Q

e di

T

sono commensurabili.

C: Le aree di

Q

e di

E

sono commensurabili.

D: I perimetri di

E

e di

T

sono commensurabili.

Scelta multipla

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Matematica

In un triangolo isoscele la base e l'altezza sono proporzionali a

3

2

. Se l'area del triangolo è

12

cm², determina il perimetro del triangolo.

Indichiamo con

b

la base del triangolo e con

h

la sua altezza e scriviamo la relazione:

b : h = 3 : 2

.
Risolviamo:

\frac{b}{h} = \frac{3}{2} \to

b =

________ e

\frac{b \cdot h}{2} = 12

cm²

\to

________

= 12 \to

________

h^{2} = 12 \to

h^{2} =

________

\to

h =

________ cm e

b = \frac{3}{2} \cdot

________

=

________ cm.
Determiniamo la misura dei lati obliqui:

\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5

cm.
Il perimetro risulta quindi

16

cm.

Completamento chiuso

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Matematica

L'ampiezza di ciascun angolo interno di un poligono regolare è media proporzionale tra quella di un angolo di

40^{\circ}

e quella di un angolo giro. Di che tipo di poligono regolare si tratta?

Sia

x

l'ampiezza dell'angolo interno del poligono regolare considerato.
Si ha che:

40^{\circ} : x = x : 360^{\circ} \to

x^{2} =

________

\to

x^{2} =

________

\to

x =

________.
Il poligono è dunque un ________ regolare.

Completamento chiuso

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Matematica

Durante un raduno scout, viene svolta un'attività in cui il gruppo di esploratori, composto in totale da

420

persone, viene suddiviso in sottogruppi e i numeri di persone di ciascun gruppo sono proporzionali a

3

5

6

7

. Quanti esploratori ci sono in ciascun gruppo?

Indichiamo con

x

y

z

t

la numerosità dei quattro gruppi.
Scriviamo le relazioni:

x : 3 = y : 5 = z : 6 = t : 7

.
Applichiamo più volte la proprietà ________ alla catena di rapporti, mediante la quale ricaviamo le tre misure:

(x + y + z + t) : (3 + 5 + 6 + 7) =

x :

________

\to 420 : 21 =

x :

________

\to

x =

________

=

________;

(x + y + z + t) : (3 + 5 + 6 + 7) =

y : 5 \to 420 : 21 = y : 5 \to

x = \frac{420 \cdot 5}{21} = 100

;

(x + y + z + t) : (3 + 5 + 6 + 7) =

z : 6 \to 420 : 21 = z : 6 \to

z = \frac{420 \cdot 6}{21} = 120

;

(x + y + z + t) : (3 + 5 + 6 + 7) =

t :

________

\to 420 : 21 = t : 7 \to

t = \frac{420 \cdot 7}{21} = 140.

Completamento chiuso

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Matematica

Considera due trapezi isosceli con altezze congruenti, entrambi circoscrivibili a una circonferenza. Dimostra che le loro aree sono direttamente proporzionali ai loro lati obliqui.

Sia

x

il lato obliquo del trapezio con la base minore più piccola, e

x^{'}

il lato obliquo dell'altro trapezio, siano

b

B

le basi del primo trapezio, e

b^{'}

B^{'}

le basi del secondo trapezio.

Sia inoltre

h

l'altezza di entrambi i trapezi e

r

il raggio della circonferenza.

Si ha che

h = 2 r

.

La proiezione del lato obliquo del primo trapezio, sulla sua base maggiore è
________,
e analogamente la proiezione del lato obliquo del secondo trapezio sulla rispettiva base maggiore è
________.
Da questo segue che
________
e che ________.
Poiché i trapezi sono circoscritti a una circonferenza si ha che:

x + x = B + b \to

2 x = 2 \sqrt{x^{2} - 4 r^{2}} + 2 b \to

b = x - \sqrt{x^{2} - 4 r^{2}}

;

x^{'} + x^{'} = B^{'} + b^{'} \to

2 x^{'} = 2 \sqrt{(x^{'})^{2} - 4 r^{2}} + 2 b^{'} \to

b^{'} = x^{'} - \sqrt{(x^{'})^{2} - 4 r^{2}}

.

Calcoliamo l'area del primo trapezio in funzione di

x

e di

r

A = \frac{(B + b) \cdot h}{2} =

________

= 2 x r

.
Analogamente

A^{'} = 2 x^{'} r

.
Calcoliamo il rapporto

\frac{A}{A^{'}} = \frac{x}{x^{'}} \to A : A^{'} = x : x^{'}

Completamento chiuso

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Matematica

Una ruota avente il diametro di

5

cm è connessa a un'altra ruota tramite una cinghia di trasmissione. La prima ruota a

1000

giri al minuto. Che diametro dovrà avere la seconda ruota per ruotare a

200

giri al minuto?

20

cm.

25

cm.

27

cm.

50

cm.

E: Dipende dalla distanza fra gli assi delle ruote.

Scelta multipla

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