FIP01BBbluG6 - Equivalenza e aree, teoremi di Euclide e di Pitagora

Quale delle seguenti figure non è equivalente alle altre tre?

Dato un parallelogramma $ABCD$, traccia la retta parallela al lato $BC$ che intersechi i lati $AB$ e $DC$ rispettivamente nei punti $R$ e $S$ e prolunga $RS$ di un segmento $RT\cong RS$. Dimostra che $ATBS\doteq ABCD$.

Disegniamo la figura.

Ipotesi
$ABCD$ parallelogramma;
$RS$________$BC$;
$RT\cong RS$.
Tesi
$ATBS$________$ABCD$.

Dimostrazione

Consideriamo i triangoli $RSH$ e $RTK$ dove $H$ e $K$ sono le proiezioni di $S$ e $T$ sulla retta $AB$:
• $RS\cong RT$ per ________;
• $T\hat{R}K\cong B\hat{R}S$ perché angoli opposti al vertice;
quindi $RSH\cong RTK$ per il ________ teorema di congruenza fra triangoli rettangoli.

In particolare, $SH\cong$________.

Quindi $ABS\doteq ABT$ perché sono triangoli con base e altezza congruenti.

Inoltre $ABCD\doteq$________ perché sono un parallelogramma e un triangolo con base e altezza congruenti.

Infine, $ATBS\doteq ABT$________$ABS\cong$________$\doteq ABCD$.

Nella figura $ABCD$ e $BQPC$ sono due parallelogrammi. Dimostra che:
a.   $AQPD$ è un parallelogramma;
b.   $AQPD$ è equivalente alla somma di $ABCD$ e $BQPC$.


a.   Poiché $ABCD$ e $BQPC$ sono due parallelogrammi, abbiamo che $AD$ è parallelo e congruente a $BC$ e $BC$ è parallelo e congruente a $PQ$. Per proprietà ________ abbiamo che $AD$ è congruente e parallelo a ________. Abbiamo quindi che $AQPD$ è un ________.

b.   Consideriamo i triangoli $AQB$ e $DPC$. Essi hanno tre coppie di lati congruenti perché rispettivamente coppie di lati ________ di tre parallelogrammi. Quindi per il terzo criterio di congruenza sono congruenti. Notiamo che sottraendo al parallelogramma $AQPD$ il triangolo $ABQ$ otteniamo la stessa figura ottenuta sottraendo alla somma dei parallelogrammi $ABCD$ e ________ il triangolo ________. Il parallelogramma $AQPD$ e la somma dei parallelogrammi $ABCD$ e $BQPC$ sono quindi figure equicomposte e quindi equivalenti.

Nella figura, $ABCD$ è un rettangolo, $DCFE$ è un parallelogramma, $AED$ e $FEC$ sono triangoli isosceli di basi $AE$ e $FE$. Dimostra che $ABCFED\doteq 2ABE$.

Ipotesi
$ABCD$ rettangolo;
$DCFE$ parallelogramma;
$AD\cong DE$;
$EC\cong CF$.

Tesi
$ABCFED\cong 2ABE$.

Dimostrazione
Sia $H$ la proiezione di $E$ su $DC$ e $K$ la proiezione di $E$ su $AB$.
$ABCDEF\doteq ABCD$________$DCFE$.

Il rettangolo $ABCD$ è equivalente ________ di un triangolo con base $AB$ e altezza ________.

Il parallelogramma $DCEF$ è equivalente ________ di un triangolo con base $AB$ e altezza ________.

Quindi $ABCFED$ è equivalente ________ di un triangolo con base $AB$ e altezza $EH+HK=EK$, cioè il triangolo $ABE$.

La somma della base e dell'altezza di un parallelogramma è uguale al perimetro di un quadrato di area $30,25$ cm². Sapendo che la base supera di $1$ cm il doppio dell'altezza, calcola l'area del parallelogramma.

Disegniamo la figura.


Troviamo il lato del quadrato
$EF=$________$=5,5$ cm.
Quindi il suo perimetro è
$2p_{EFGH}=4\cdot 5,5=$________ cm.

Scriviamo così l'equazione
$\overline{AB}=2(22$________$\overline{AB})+1$ e risolviamo:
$\overline{AB}=44$________$2\overline{AB}+1\to$
________$=45$$\to$$AB=15$ cm.

Quindi $DH=$________ cm e
${\mathcal{A}}_{ABCD}=15\cdot$________$=$________ cm².