FIP01BBbluG2 - Triangoli e primo criterio di congruenza #466684

Dato un triangolo isoscele

A B C

, prolunga la base

A B

di due segmenti

A D

e

B E

tali che

A D ≅ B E

. Prolunga i lati

A C

e

B C

di due segmenti

A F

e

B G

tali che

A F ≅ B G

. Dimostra che sono congruenti i triangoli:
a.

C F B

e

C G A

;
b.

A F B

e

B G A

;
c.

D F B

ed

E G A

.

a. Consideriamo

C F B

e

C G A

. Essi hanno:
•

A C ≅ B C

per ipotesi;
•

\hat{C}

è in comune;
•

C G ≅ C F

perché ________ di segmenti congruenti;
quindi

C F B ≅ C G A

per il ________ criterio di congruenza dei triangoli.

b. Consideriamo

A F B

e

B G A

. In essi:
•

A F ≅ B G

per ipotesi;
•

A B

è in comune;
• ________

≅ G \hat{B} A

perché angoli ________ di angoli alla base di un triangolo isoscele;
quindi

A F B ≅ B G A

per il primo criterio di congruenza dei triangoli.

c. Consideriamo

D F B

e

E G A

. Essi hanno:
•

D B ≅ E A

perché ________ di segmenti congruenti;
•

B F ≅ A G

perché

A F B ≅ B G A

per dimostrazione precedente;
•

D \hat{B} F ≅ E \hat{A} G

perché

A F B ≅ B G A

per dimostrazione precedente;
quindi

D F B ≅ E G A

per il primo criterio di congruenza dei triangoli.

Completamento chiuso

Dal punto medio

M

del segmento

A B

, traccia una retta

r

, distinta da

A B

, e considera su

r

, da parti opposte rispetto a

M

, due punti

C

e

D

equidistanti da

M

. Detti

N

e

L

i punti medi dei segmenti

A C

e

B D

, dimostra che i punti

M

,

N

e

L

sono allineati, ossia che l'angolo

N \hat{M} L

è un angolo piatto.

Scriviamo ipotesi e tesi.

Ipotesi:

A M ≅ M B

;

M C ≅ M D

;

A N ≅ N C

;

B L ≅ L D

.
Tesi:

N \hat{M} L ≅ π

.
Dimostrazione
Consideriamo i triangoli

A M C

e

B M D

. Essi hanno:
•

A M ≅ M B

per ipotesi;
•

M C ≅ M D

per ipotesi;
•

A \hat{M} C ≅ B \hat{M} D

perché angoli ________;
quindi

A M C ≅ B M D

per il primo criterio di congruenza dei triangoli.
In particolare,

C \hat{A} M ≅

________ e

A C ≅ B D

quindi

A N ≅ N C ≅ D L ≅

________.

Consideriamo i triangoli

A M N

e

B M L

. In essi:
•

A M ≅ M B

per ipotesi;
•

C \hat{A} M ≅ D \hat{B} M

per dimostrazione precedente;
•

A N ≅ B L

per dimostrazione precedente;
quindi

A M N ≅ B M L

per il primo criterio di congruenza dei triangoli.
In particolare, ________

≅ B \hat{M} L

.

Analogamente possiamo dimostrare che

M N C ≅ M L D

e in particolare

C \hat{M} N ≅

________.
Infine,
2

C \hat{M} N + 2 C \hat{M} B + 2 B \hat{M} L = 2 π

quindi

N \hat{M} L = C \hat{M} N + C \hat{M} B + B \hat{M} L =

________.

Completamento chiuso

Considera l'insieme di tutti i triangoli del piano.

A: L'intersezione tra l'insieme dei triangoli scaleni e quello dei triangoli equilateri è il sottoinsieme dei triangoli isosceli.

B: L'insieme dei triangoli equilateri è un sottoinsieme dei triangoli isosceli.

C: L'intersezione tra l'insieme dei triangoli rettangoli e quello dei triangoli isosceli è vuota.

D: L'insieme di tutti i triangoli è l'unione tra il sottoinsieme dei triangoli scaleni e quello dei triangoli isosceli.

Vero o falso

Nel triangolo

A B C

in figura

B P

è bisettrice dell'angolo

A \hat{B} C

.
a. Dimostra che

B \hat{P} Q ≅ B \hat{P} C

.
b. Preso un punto

R

su

B P

, dimostra che

R \hat{Q} P ≅ R \hat{C} P

.

Ipotesi:

B C ≅

________;
________

≅ P \hat{B} C

.

Tesi:
a.

B \hat{P} Q ≅ B \hat{P} C

;
b.

R \hat{Q} P ≅ R \hat{C} P

.

Dimostrazione
Consideriamo i triangoli

B P Q

e

B P C

. Essi hanno:
•

B P

è in comune;
•

B C ≅ B Q

per ipotesi;
•

A \hat{B} P ≅ P \hat{B} C

________
quindi

B P Q ≅ B P C

per il ________ criterio di congruenza fra triangoli.
In particolare

B \hat{P} Q ≅ B \hat{P} C

e

Q P ≅ P C

perché elementi corrispondenti in triangoli congruenti.
Consideriamo i triangoli

R P Q

e

R P C

. Essi hanno:
•

R P

è in comune;
•

R \hat{P} Q ≅ R \hat{P} C

per dimostrazione precedente;
•

Q P ≅ P C

per dimostrazione precedente;
quindi

R P Q ≅ R P C

per il ________ criterio di congruenza dei triangoli.
In particolare

R \hat{Q} P ≅ R \hat{C} P

.

Completamento chiuso

Una sola delle seguenti proposizioni è vera. Quale?

A: Un triangolo ottusangolo non può essere isoscele.

B: Un triangolo equilatero è sempre acutangolo.

C: Nessuna delle altezze di un triangolo isoscele può cadere fuori dal triangolo.

D: La mediana relativa a un lato forma due angoli retti con il lato stesso.

Scelta multipla

Sui lati

O X

e

O Y

dell'angolo acuto

X \hat{O} Y

considera rispettivamente un punto

A

e un punto

B

, con

O A < O B

.
Sulla bisettrice

r

dell'angolo

X \hat{O} Y

fissa i punti

P

e

Q

in modo che

O P ≅ O A

e

O Q ≅ O B

. Dimostra che

B P ≅ A Q

. Su

O X

fissa

B^{'}

tale che

O B^{'} ≅ O B

. Dimostra che

P \hat{B} Q ≅ A \hat{Q} B^{'}

.

Disegnamo la figura e scriviamo ipotesi e tesi.

Ipotesi:

O B > O A

;

O A ≅ O P

;

O B ≅ O Q ≅ O B^{'}

;

X \hat{O} Q ≅ Q \hat{O} Y

.
Tesi:

B P ≅ A Q

;

B \hat{P} Q ≅ A \hat{Q} B^{'}

.

Dimostrazione
Consideriamo i triangoli

B O P

e

Q O A

.
Essi hanno:
•

O B ≅ O Q

per ipotesi;
•

O P ≅ O A

per ipotesi;
• ________

≅ Q \hat{O} A

per ipotesi;
quindi

B O P ≅ Q O A

per il primo criterio di congruenza dei triangoli.
In particolare

B P ≅

________.

Consideriamo i triangoli

B Q P

e

A Q B^{'}

. In essi:
•

B P ≅ A Q

per dimostrazione precedente;
•

P Q ≅ A B^{'}

perché ________ di segmenti congruenti;
•

B P Q ≅ A Q B^{'}

perché ________ di angoli congruenti;
quindi

B \hat{P} Q ≅ A \hat{Q} B^{'}

per il primo criterio di congruenza dei triangoli.
In particolare

B \hat{P} Q ≅ A \hat{Q} B^{'}

.

Completamento chiuso

Sui lati dell'angolo di vertice

A

in figura, i punti

P

e

Q

sono tali che

A P ≅ A Q

.
Considerati sulla bisettrice dell'angolo i punti

B

e

C

, dimostra che:
a.

Q \hat{B} C ≅ P \hat{B} C

;
b.

A C

è bisettrice di

Q \hat{C} P

.

Ipotesi:

A P ≅ A Q

;

P \hat{A} B ≅ B \hat{A} Q

.

Tesi:

Q \hat{B} C ≅ P \hat{B} C

;

Q \hat{C} B ≅ B \hat{C} P

.

Dimostrazione
Consideriamo i triangoli

A P B

e

A Q B

. Essi hanno:
•

A B

in comune;
•

A P ≅ A Q

per ipotesi;
•

P \hat{A} B ≅ B \hat{A} Q

per ipotesi;
quindi

A P B ≅ A Q B

per il ________ criterio di congruenza dei triangoli.
In particolare,

A \hat{B} P ≅

________ e

P B ≅ Q B

perché elementi corrispondenti in triangoli congruenti.
Quindi

Q \hat{B} C ≅ P \hat{B} C

perché ________ di angoli congruenti.
Consideriamo i triangoli

P B C

e

Q B C

. Essi hanno:
•

B C

è in comune;
•

P B ≅ Q B

per dimostrazione precedente;
•

Q \hat{B} C ≅ P \hat{B} C

per dimostrazione precedente;
quindi

P B C ≅ Q B C

per il ________ criterio di congruenza dei triangoli.
In particolare

Q \hat{C} B ≅ B \hat{C} P

.

Completamento chiuso

Dimostra che, in un triangolo isoscele, le mediane relative ai lati congruenti sono congruenti tra loro.

Ipotesi

A C ≅ B C

C M ≅ A M

C N ≅ B N

Tesi

A N ≅ B M

Dimostrazione

Consideriamo i triangoli

A C N

e ________.
Essi hanno in comune l'angolo ________ e per l'ipotesi abbiamo che

A B ≅ B C

.
Inoltre

A C ≅ 2 C M ≅ B C ≅ 2

________,
dunque

C N ≅ C M

, perché metà di segmenti congruenti.

Applichiamo il primo criterio di congruenza ai triangoli

A C N

e

B C M

e concludiamo che

A N ≅ B M

.

Completamento chiuso