Matematica - Scuola secondaria di secondo gradoTriangoliDefinizioni e proprietà dei triangoliDefinizione e classificazione dei triangoli

FIP01BBbluG2 - Triangoli e primo criterio di congruenza

8 esercizi
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Matematica

Una sola delle seguenti proposizioni è vera. Quale?
A: Un triangolo ottusangolo non può essere isoscele.
B: Un triangolo equilatero è sempre acutangolo.
C: Nessuna delle altezze di un triangolo isoscele può cadere fuori dal triangolo.
D: La mediana relativa a un lato forma due angoli retti con il lato stesso.
Scelta multipla
1

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Matematica

Dimostra che, in un triangolo isoscele, le mediane relative ai lati congruenti sono congruenti tra loro.

Ipotesi
AC≅BC
CM≅AM
CN≅BN

Tesi
AN≅BM

Dimostrazione

Consideriamo i triangoli ACN e ________.
Essi hanno in comune l'angolo ________ e per l'ipotesi abbiamo che AB≅BC.
Inoltre
AC≅2CM≅BC≅2________,
dunque CN≅CM, perché metà di segmenti congruenti.

Applichiamo il primo criterio di congruenza ai triangoli ACN e BCM e concludiamo che
AN≅BM.
Completamento chiuso
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Matematica

Considera l'insieme di tutti i triangoli del piano.
A: L'intersezione tra l'insieme dei triangoli scaleni e quello dei triangoli equilateri è il sottoinsieme dei triangoli isosceli.
B: L'insieme dei triangoli equilateri è un sottoinsieme dei triangoli isosceli.
C: L'intersezione tra l'insieme dei triangoli rettangoli e quello dei triangoli isosceli è vuota.
D: L'insieme di tutti i triangoli è l'unione tra il sottoinsieme dei triangoli scaleni e quello dei triangoli isosceli.
Vero o falso
1

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Matematica

Nel triangolo ABC in figura BP è bisettrice dell'angolo AB^C.
a.   Dimostra che BP^Q≅BP^C.
b.   Preso un punto R su BP, dimostra che RQ^P≅RC^P.

Ipotesi:
BC≅________;
________≅PB^C.

Tesi:
a.   BP^Q≅BP^C;
b.   RQ^P≅RC^P.

Dimostrazione
Consideriamo i triangoli BPQ e BPC. Essi hanno:
•   BP è in comune;
•   BC≅BQ per ipotesi;
•   AB^P≅PB^C________
quindi BPQ≅BPC per il ________ criterio di congruenza fra triangoli.
In particolare BP^Q≅BP^C e QP≅PC perché elementi corrispondenti in triangoli congruenti.
Consideriamo i triangoli RPQ e RPC. Essi hanno:
•   RP è in comune;
•   RP^Q≅RP^C per dimostrazione precedente;
•   QP≅PC per dimostrazione precedente;
quindi RPQ≅RPC per il ________ criterio di congruenza dei triangoli.
In particolare RQ^P≅RC^P.
Completamento chiuso
1

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Matematica

Sui lati dell'angolo di vertice A in figura, i punti P e Q sono tali che AP≅AQ.
Considerati sulla bisettrice dell'angolo i punti B e C, dimostra che:
a.   QB^C≅PB^C;
b.   AC è bisettrice di QC^P.

Ipotesi:
AP≅AQ;
PA^B≅BA^Q.

Tesi:
QB^C≅PB^C;
QC^B≅BC^P.

Dimostrazione
Consideriamo i triangoli APB e AQB. Essi hanno:
•   AB in comune;
•   AP≅AQ per ipotesi;
•   PA^B≅BA^Q per ipotesi;
quindi APB≅AQB per il ________ criterio di congruenza dei triangoli.
In particolare, AB^P≅________ e PB≅QB perché elementi corrispondenti in triangoli congruenti.
Quindi QB^C≅PB^C perché ________ di angoli congruenti.
Consideriamo i triangoli PBC e QBC. Essi hanno:
•   BC è in comune;
•   PB≅QB per dimostrazione precedente;
•   QB^C≅PB^C per dimostrazione precedente;
quindi PBC≅QBC per il ________ criterio di congruenza dei triangoli.
In particolare QC^B≅BC^P.
Completamento chiuso
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Matematica

Sui lati OX e OY dell'angolo acuto XO^Y considera rispettivamente un punto A e un punto B, con OA<OB.
Sulla bisettrice r dell'angolo XO^Y fissa i punti P e Q in modo che OP≅OA e OQ≅OB. Dimostra che BP≅AQ. Su OX fissa B′ tale che OB′≅OB. Dimostra che PB^Q≅AQ^B′.

Disegnamo la figura e scriviamo ipotesi e tesi.

Ipotesi:
OB>OA;
OA≅OP;
OB≅OQ≅OB′;
XO^Q≅QO^Y.
Tesi:
BP≅AQ;
BP^Q≅AQ^B′.

Dimostrazione
Consideriamo i triangoli BOP e QOA.
Essi hanno:
•   OB≅OQ per ipotesi;
•   OP≅OA per ipotesi;
•   ________≅QO^A per ipotesi;
quindi BOP≅QOA per il primo criterio di congruenza dei triangoli.
In particolare BP≅________.

Consideriamo i triangoli BQP e AQB′. In essi:
•   BP≅AQ per dimostrazione precedente;
•   PQ≅AB′ perché ________ di segmenti congruenti;
•   BPQ≅AQB′ perché ________ di angoli congruenti;
quindi BP^Q≅AQ^B′ per il primo criterio di congruenza dei triangoli.
In particolare BP^Q≅AQ^B′.
Completamento chiuso
1

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Matematica

Dato un triangolo isoscele ABC, prolunga la base AB di due segmenti AD e BE tali che AD≅BE. Prolunga i lati AC e BC di due segmenti AF e BG tali che AF≅BG. Dimostra che sono congruenti i triangoli:
a.   CFB e CGA;
b.   AFB e BGA;
c.   DFB ed EGA.

a.   Consideriamo CFB e CGA. Essi hanno:
•   AC≅BC per ipotesi;
•   C^ è in comune;
•   CG≅CF perché ________ di segmenti congruenti;
quindi CFB≅CGA per il ________ criterio di congruenza dei triangoli.

b.   Consideriamo AFB e BGA. In essi:
•   AF≅BG per ipotesi;
•   AB è in comune;
•   ________≅GB^A perché angoli ________ di angoli alla base di un triangolo isoscele;
quindi AFB≅BGA per il primo criterio di congruenza dei triangoli.

c.   Consideriamo DFB e EGA. Essi hanno:
•   DB≅EA perché ________ di segmenti congruenti;
•   BF≅AG perché AFB≅BGA per dimostrazione precedente;
•   DB^F≅EA^G perché AFB≅BGA per dimostrazione precedente;
quindi DFB≅EGA per il primo criterio di congruenza dei triangoli.
Completamento chiuso
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Matematica

Dal punto medio M del segmento AB, traccia una retta r, distinta da AB, e considera su r, da parti opposte rispetto a M, due punti C e D equidistanti da M. Detti N e L i punti medi dei segmenti AC e BD, dimostra che i punti M, N e L sono allineati, ossia che l'angolo NM^L è un angolo piatto.

Scriviamo ipotesi e tesi.

Ipotesi:
AM≅MB;
MC≅MD;
AN≅NC;
BL≅LD.
Tesi:
NM^L≅π.
Dimostrazione
Consideriamo i triangoli AMC e BMD. Essi hanno:
•   AM≅MB per ipotesi;
•   MC≅MD per ipotesi;
•   AM^C≅BM^D perché angoli ________;
quindi AMC≅BMD per il primo criterio di congruenza dei triangoli.
In particolare, CA^M≅________ e AC≅BD quindi
AN≅NC≅DL≅________.

Consideriamo i triangoli AMN e BML. In essi:
•   AM≅MB per ipotesi;
•   CA^M≅DB^M per dimostrazione precedente;
•   AN≅BL per dimostrazione precedente;
quindi AMN≅BML per il primo criterio di congruenza dei triangoli.
In particolare, ________≅BM^L.

Analogamente possiamo dimostrare che MNC≅MLD e in particolare
CM^N≅________.
Infine,
2CM^N+2CM^B+2BM^L=2π quindi
NM^L=CM^N+CM^B+BM^L=________.
Completamento chiuso
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