FIP01BBblu19 - Equazioni irrazionali

Risolvi la seguente equazione irrazionale:

$\sqrt{3x+1}-{\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{2x+x^2+4}=0}$.

Le C.E. sono $x$________.

Portiamo un radicale al secondo membro ed eleviamo al quadrato:

$\sqrt[2]{3x+1}={\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt[2]{2x+x^2+4}\to }$

$3x+1={\displaystyle \frac{1}{4}(2x+x^2+4)\to }$

$x^2$________$10x=0\to x=0,x=10$.

Controlliamo se sono soluzioni mediante verifica:

• ${\displaystyle x=0\to \sqrt[2]{1}=\frac{1}{2}\sqrt[2]{4}}$$\to$$1=1$ quindi $x=0$________ soluzione;
• ${\displaystyle x=10\to \sqrt[2]{31}=\frac{1}{2}\sqrt[2]{124}}$$\to$$\sqrt[2]{31}=\sqrt[2]{31}$ quindi $x=10$________ soluzione.

Risolvi la seguente equazione irrazionale.

$\sqrt{2x^2-12}-\sqrt{x^2-x-6}=0$

$\sqrt{2x^2-12}-\sqrt{x^2-x-6}=0\to$

$\sqrt{2x^2-12}=$________.

L'equazione è equivalente al seguente sistema:

Risolviamo la prima disequazione:

$2x^2-12\ge 0\to$

$x\le -\sqrt{6}\vee x\ge \sqrt{6}$.

Risolviamo la seconda disequazione:

$x^2-x-6\ge 0\to x^2-x-6=0\to$

$\mathrm{\Delta }=1+24=25\to$

${\displaystyle x_{1,2}=\frac{1\pm \sqrt{25}}{2}\to x=-2\vee x=3\to }$

$x\le -2\vee x\ge 3$.

Risolviamo l'equazione:

$2$________$-12=$________$-x-6\to$

$x^2+x-6=0\to$

$\mathrm{\Delta }=1+24=25\to$

${\displaystyle x_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt{25}}{2}\to x=-3\vee x=2}$.

Il sistema iniziale è quindi equivalente a:

La soluzione dell'equazione che risulta accettabile per entrambe le soluzioni delle due disequazioni è $x=$________, che è quindi l'unica soluzione dell'equazione irrazionale da risolvere.

Risolvi la seguente equazione irrazionale.

$\sqrt{2x-2}-2\sqrt{3x-2}+\sqrt{2x+2}=0$

$\sqrt{2x-2}-2\sqrt{3x-2}+\sqrt{2x+2}=0$

${\displaystyle \sqrt{2x-2}+\sqrt{2x+2}=2\sqrt{3x-2}}$.

Impostiamo le condizioni di esistenza dell'equazione data.

$\{\begin{array}{c}x\ge 1\\ x\ge -1\\ {\displaystyle x\ge \frac{2}{3}}\end{array}.$

Vediamo che le tre disequazioni hanno come soluzioni comuni $x\ge 1$, che rappresentano quindi le condizioni di esistenza dell'equazione da risolvere.

Eleviamo adesso entrambi i membri dell'equazione alla seconda, e risolviamo l'equazione così ottenuta:

$\sqrt{2x-2}+\sqrt{2x+2}=2\sqrt{3x-2}\to$

$(\sqrt{2x-2}+\sqrt{2x+2}{)}^2=(2\sqrt{3x-2}{)}^2\to$

$2x-2+2x+2+2\sqrt{(2x-2)(2x+2)}=$________$(3x-2)\to$

$2\sqrt{4x^2-4}=8x-8\to$

$4$________$=8x-8\to$

$\sqrt{x^2-1}=2x-2$.

L'equazione è equivalente al sistema

$\{\begin{array}{c}2x-2\ge 0\\ x^2-1=(2x-2{)}^2\end{array}$, ossia

Risolviamo l'equazione:

$x^2-1=(2x-2{)}^2\to$

$x^2-1=4x^2-8x+4\to$

$3x^2-8x+5=0\to$

$\mathrm{\Delta }=64-60=4\to$

$x_{1,2}={\displaystyle \frac{8\pm \sqrt{4}}{6}\to x=1\vee x={\displaystyle \frac{5}{3}.}}$

Osserviamo che entrambe le soluzioni trovate ________ con le condizioni di esistenza, e ________.

Risolvi la seguente equazione irrazionale.

$\sqrt[4]{16x^4-3+\sqrt{x^2-8x}}=2x$

L'equazione è equivalente al seguente sistema:

Risolviamo l'equazione del sistema:

$16x^4-3+\sqrt{x^2-8x}=16x^4\to$

$\sqrt{x^2-8x}=$________$\to$

$x^2-8x=9\to$

$x^2-8x-9=0\to$

$\mathrm{\Delta }=64+36=100\to$

$x_{1,2}={\displaystyle \frac{8\pm \sqrt{100}}{2}\to }$$x=-1\vee x=9$.

Sono accettabili ________.

Risolvi la seguente equazione irrazionale:

${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{x+2}}=-3}$.

Per l'esistenza dei radicali poniamo

$\{\begin{array}{c}x\ge 0\\ x+2\ge 0\end{array}$$\to$________.

Risolviamo l'equazione:

$\sqrt{x}=3\to x=9$.

La soluzione ________ le condizioni, quindi $x=9$________ soluzione dell'equazione.

Scrivi le soluzioni di $\sqrt[n]{x}+\sqrt[n]{x^2-4x}=0$ considerando i casi di $n$ pari e $n$ dispari.

Se $x$ è pari:

$\sqrt[n]{x}=-\sqrt[n]{x^2-4x}\to$

$x=x^2$________$4x$$\to$$x=0;x=5$.

Controlliamo se sono soluzioni mediante verifica:

• $x=0\to \sqrt[n]{0}=-\sqrt[n]{0}\to$$x=0$________ soluzione.
• $x=5\to \sqrt[n]{5}=-\sqrt[n]{5}\to$$x=5$________ soluzione.

Se $x$ è dispari:

$\sqrt[n]{x}=-\sqrt[n]{x^2-4x}\to$

$x=-x^2$________$4x$$\to$$x=0;x=3$.