Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Matematica multimediale.blu (3ª ed.) Volume 1 Fai il punto sulle competenze - Equazioni irrazionali

FIP01BBblu19 - Equazioni irrazionali

13 esercizi

SVOLGI

INFO

Risolvi la seguente equazione irrazionale.

1 - \sqrt[3]{- x^{3} + 10 x^{2} + 2 x - 9} = - x

.

Isoliamo la radice ed eleviamo al ________:

\sqrt[3]{- x^{3} + 10 x^{2} + 2 x - 9} = x + 1 \to

- x^{3} + 10 x^{2} + 2 x - 9 =

x^{3} +

________

+ 3 x + 1 \to

2 x^{3} - 7 x^{2} + x + 10 = 0 \to

x = - 1, x =

________,

x = \frac{5}{2}

Completamento chiuso

Vero o Falso?

L'equazione

\sqrt{x + 2} = - 2

è equivalente a

x + 2 = 4

L'equazione

\sqrt[3]{x - 1} = - 3

è equivalente a

x - 1 = - 27

Le condizioni di esistenza dell'equazione

\sqrt{x + 3} - \sqrt[3]{x + 1} = 5

sono

x \geq - 1

L'equazione

\sqrt{x + 1} + \sqrt{x^{2} + 4} + 12 = 0

è impossibile.

Vero o falso

Associa a ogni equazione irrazionale le sue condizioni di esistenza.

\sqrt{1 - x} + \sqrt[3]{4 - x^{2}} = x

________

\frac{5 x}{\sqrt{1 - x}} + \sqrt[3]{4 - x^{2}} = 8

________

\frac{5 x}{\sqrt{1 - x}} + \sqrt{4 - x^{2}} = 8

________

\sqrt[3]{1 - \sqrt{4 - x^{2}}} = 1 - x

________

Posizionamento

Risolvi la seguente equazione irrazionale:

$\sqrt{3 x + 1} - \frac{1}{2} \sqrt{2 x + x^{2} + 4} = 0$ .

Le C.E. sono $x$ ________.

Portiamo un radicale al secondo membro ed eleviamo al quadrato:

$\sqrt[2]{3 x + 1} = \frac{1}{2} \sqrt[2]{2 x + x^{2} + 4} \to$

$3 x + 1 = \frac{1}{4} (2 x + x^{2} + 4) \to$

$x^{2}$ ________ $10 x = 0 \to x = 0, x = 10$ .

Controlliamo se sono soluzioni mediante verifica:

$x = 0 \to \sqrt[2]{1} = \frac{1}{2} \sqrt[2]{4}$ $\to$ $1 = 1$ quindi $x = 0$ ________ soluzione;
$x = 10 \to \sqrt[2]{31} = \frac{1}{2} \sqrt[2]{124}$ $\to$ $\sqrt[2]{31} = \sqrt[2]{31}$ quindi $x = 10$ ________ soluzione.

Completamento chiuso

Risolvi la seguente equazione irrazionale:

$\frac{1}{\sqrt{x + 2} + \sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x} - \sqrt{x + 2}} = - 3$ .

Per l'esistenza dei radicali poniamo

${\begin{cases} x \geq 0 \\ x + 2 \geq 0 \end{cases}$ $\to$ ________.

Risolviamo l'equazione:

$\sqrt{x} - \sqrt{x + 2} + \sqrt{x} + \sqrt{x + 2}$	$= - 3 \to$
________

$\sqrt{x} = 3 \to x = 9$ .

La soluzione ________ le condizioni, quindi $x = 9$ ________ soluzione dell'equazione.

Completamento chiuso

Risolvi la seguente equazione irrazionale.

$\sqrt[4]{16 x^{4} - 3 + \sqrt{x^{2} - 8 x}} = 2 x$

L'equazione è equivalente al seguente sistema:

${\begin{cases} \end{cases}$	$x^{2} - 8 x \geq 0$	$\to$
	$2 x$ ________ $0$
	$16 x^{4} - 3 + \sqrt{x^{2} - 8 x} =$ ________

${\begin{cases} \end{cases}$	$x \leq 0 \lor x > 8$	.
	$x$ ________ $0$
	$16 x^{4} - 3 + \sqrt{x^{2} - 8 x} = 16 x^{4}$

Risolviamo l'equazione del sistema:

$16 x^{4} - 3 + \sqrt{x^{2} - 8 x} = 16 x^{4} \to$

$\sqrt{x^{2} - 8 x} =$ ________ $\to$

$x^{2} - 8 x = 9 \to$

$x^{2} - 8 x - 9 = 0 \to$

$Δ = 64 + 36 = 100 \to$

$x_{1, 2} = \frac{8 \pm \sqrt{100}}{2} \to$ $x = - 1 \lor x = 9$ .

Sono accettabili ________.

Completamento chiuso

Risolvi la seguente equazione irrazionale.

$\sqrt{2 x - 2} - 2 \sqrt{3 x - 2} + \sqrt{2 x + 2} = 0$

$\sqrt{2 x - 2} + \sqrt{2 x + 2} = 2 \sqrt{3 x - 2}$ .

Impostiamo le condizioni di esistenza dell'equazione data.

${\begin{cases} \end{cases}$	$2 x - 2 \geq 0$	$\to$
	$2 x + 2 \geq 0$
	________ $\geq 0$

${\begin{cases} x \geq 1 \\ x \geq - 1 \\ x \geq \frac{2}{3} \end{cases} .$

Vediamo che le tre disequazioni hanno come soluzioni comuni $x \geq 1$ , che rappresentano quindi le condizioni di esistenza dell'equazione da risolvere.

Eleviamo adesso entrambi i membri dell'equazione alla seconda, e risolviamo l'equazione così ottenuta:

$\sqrt{2 x - 2} + \sqrt{2 x + 2} = 2 \sqrt{3 x - 2} \to$

$(\sqrt{2 x - 2} + \sqrt{2 x + 2})^{2} = (2 \sqrt{3 x - 2})^{2} \to$

$2 x - 2 + 2 x + 2 + 2 \sqrt{(2 x - 2) (2 x + 2)} =$ ________ $(3 x - 2) \to$

$2 \sqrt{4 x^{2} - 4} = 8 x - 8 \to$

$4$ ________ $= 8 x - 8 \to$

$\sqrt{x^{2} - 1} = 2 x - 2$ .

L'equazione è equivalente al sistema

${\begin{cases} 2 x - 2 \geq 0 \\ x^{2} - 1 = (2 x - 2)^{2} \end{cases}$ , ossia

${\begin{cases} \end{cases}$	$x \geq$ ________	.
	$x^{2} - 1 = (2 x - 2)^{2}$

Risolviamo l'equazione:

$x^{2} - 1 = (2 x - 2)^{2} \to$

$x^{2} - 1 = 4 x^{2} - 8 x + 4 \to$

$3 x^{2} - 8 x + 5 = 0 \to$

$Δ = 64 - 60 = 4 \to$

$x_{1, 2} = \frac{8 \pm \sqrt{4}}{6} \to x = 1 \lor x = \frac{5}{3} .$

Osserviamo che entrambe le soluzioni trovate ________ con le condizioni di esistenza, e ________.

Completamento chiuso

Scrivi le soluzioni di $\sqrt[n]{x} + \sqrt[n]{x^{2} - 4 x} = 0$ considerando i casi di $n$ pari e $n$ dispari.

Se $x$ è pari:

$\sqrt[n]{x} = - \sqrt[n]{x^{2} - 4 x} \to$

$x = x^{2}$ ________ $4 x$ $\to$ $x = 0; x = 5$ .

Controlliamo se sono soluzioni mediante verifica:

$x = 0 \to \sqrt[n]{0} = - \sqrt[n]{0} \to$ $x = 0$ ________ soluzione.
$x = 5 \to \sqrt[n]{5} = - \sqrt[n]{5} \to$ $x = 5$ ________ soluzione.

Se $x$ è dispari:

$\sqrt[n]{x} = - \sqrt[n]{x^{2} - 4 x} \to$

$x = - x^{2}$ ________ $4 x$ $\to$ $x = 0; x = 3$ .

Completamento chiuso

Risolvi la seguente equazione irrazionale.

$\sqrt{2 x^{2} - 12} - \sqrt{x^{2} - x - 6} = 0$

$\sqrt{2 x^{2} - 12} - \sqrt{x^{2} - x - 6} = 0 \to$

$\sqrt{2 x^{2} - 12} =$ ________.

L'equazione è equivalente al seguente sistema:

${\begin{cases} \end{cases}$	$2 x^{2} - 12 \geq 0$	.
	$x^{2} - x - 6$ ________ $0$
	$2$ ________ $- 12 =$ ________ $- x - 6$

Risolviamo la prima disequazione:

$2 x^{2} - 12 \geq 0 \to$

$x \leq - \sqrt{6} \lor x \geq \sqrt{6}$ .

Risolviamo la seconda disequazione:

$x^{2} - x - 6 \geq 0 \to x^{2} - x - 6 = 0 \to$

$Δ = 1 + 24 = 25 \to$

$x_{1, 2} = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2} \to x = - 2 \lor x = 3 \to$

$x \leq - 2 \lor x \geq 3$ .

Risolviamo l'equazione:

$2$ ________ $- 12 =$ ________ $- x - 6 \to$

$x^{2} + x - 6 = 0 \to$

$Δ = 1 + 24 = 25 \to$

$x_{1, 2} = \frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2} \to x = - 3 \lor x = 2$ .

Il sistema iniziale è quindi equivalente a:

${\begin{cases} \end{cases}$	$x \leq - \sqrt{6} \lor x \geq \sqrt{6}$	.
	$x \leq - 2 \lor x \geq 3$
	________

La soluzione dell'equazione che risulta accettabile per entrambe le soluzioni delle due disequazioni è $x =$ ________, che è quindi l'unica soluzione dell'equazione irrazionale da risolvere.

Completamento chiuso

Risolvi l'equazione

\sqrt[6]{x^{2} - 5 x + 6} = \sqrt[3]{5 x - 6 - x^{2}}

senza eliminare i radicali.

\sqrt[6]{x^{2} - 5 x + 6} = \sqrt[3]{5 x - 6 - x^{2}} \to

\sqrt[6]{x^{2} - 5 x + 6} =

________

\sqrt[3]{x^{2} - 5 x + 6}

L'unico numero che ha radice sesta e radice terza opposta è ________. Dobbiamo quindi cercare i valori di

x

che rendono entrambi i radicandi ________:

x^{2} - 5 x + 6 =

________

\to

Δ = 25 - 24 = 1 \to

x_{1, 2} = \frac{5 \pm 1}{2} \to x = 2 \lor x = 3

.
Le soluzioni dell'equazione sono quindi

2

3

Completamento chiuso

Considera l'equazione

\sqrt{\frac{1}{2} x^{2} - 8} = 9 - 4 k^{2}

, con

k \in R

e determina per quali valori di

k

l'equazione:
a. è impossibile.
b. ammette come soluzione

x = 3 \sqrt{2}

.
c. ammette come soluzione

x = 6 \sqrt{6}

.

a. L'equazione risulta impossibile se

9 - 4 k^{2}

________

0

cioé per ________.

b. L'equazione ammette come soluzione

x = 3 \sqrt{2}

\sqrt{\frac{1}{2} 18 - 8} = 9 - 4 k^{2} \to

________

= 9 - 4 k^{2} \to k^{2} = 2 \to k = \pm \sqrt{2}

.

c. L'equazione ammette come soluzione

x \sqrt{6}

se ________

= 9 - 4 k^{2} \to

10 = 9 - 4 k^{2} \to

k^{2} = - \frac{1}{4}

\to

________.

Completamento chiuso

Nel piano cartesiano determina le coordinate del punto

P

appartenente all'asse delle ascisse, tale che la distanza di

P

Q (0, 2)

sia uguale al valore dell'ascissa di

P

aumentato di

1

.

Indichiamo con

x

il valore dell'ascissa di

P

. Abbiamo:
________

= x + 1 \to

x^{2} + 4 = x^{2} +

________

+ 1 \to

2 x - 3 = 0 \to x = \frac{3}{2}

.
La soluzione soddisfa la condizione

x \geq - 1

ed è quindi soluzione dell'equazione. Pertanto abbiamo ________.

Completamento chiuso

In un triangolo rettangolo il cateto maggiore supera di

2

cm il doppio del cateto minore. Calcola l'area del triangolo sapendo che il perimetro misura

30

cm.

Indichiamo con

x

il cateto minore, abbiamo:

x + 2 x + 2 + \sqrt{x^{2} + (2 x + 2)^{2}} = 30 \to

________

= - 3 x + 28

.
Eleviamo al quadrato:

5 x^{2} + 4 + 8 x = 9 x^{2} - 168 x + 784 \to

x^{2} -

________

x + 195 = 0 \to

x = 5, x = 39.

La soluzione che soddisfa la condizione ________ è

x = 5

ed è quindi soluzione dell'equazione.
L'area del triangolo è

A =

\frac{5 \cdot 12}{2} = 30

cm².

Completamento chiuso