Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Matematica multimediale.blu (3ª ed.) Volume 1 Fai il punto sulle competenze - Parabola: equazione, grafico, caratteristiche

FIP01BBblu17 - Parabola: equazione, grafico, caratteristiche

8 esercizi

SVOLGI

INFO

Per quali valori di

b

la parabola di equazione

y = x^{2} - b^{2}

interseca gli assi cartesiani in tre punti che formano un triangolo rettangolo?

y = x^{2} - b^{2}

è una parabola che ha come asse di simmetria l'asse ________ e che lo interseca nel punto

(0; - b^{2})

.

Per formare un triangolo rettangolo le intersezioni con l'asse

x

devono essere ________ e

(b^{2}; 0)

.
Rappresentiamo la parabola in figura.

La distanza tra le due soluzioni quindi è di ________.
Sostituiamo

y = 0

0 = x^{2} - b^{2}

.
Sappiamo che

x_{1} - x_{2} =

________ imponiamo

\frac{\sqrt{Δ}}{a} = 2 b^{2}

\sqrt{4 b^{2}} = 2 b^{2}

.
Semplifichiamo e risolviamo:

2 | b | = 2 b^{2} \to

| b | = b^{2} \to

b = b^{2} \lor b = - b^{2} \to

________.

Completamento chiuso

Trova per quali valori di $k$ e $h$ la parabola di equazione

$y = k x^{2} - 3 h x + 3$

ha il vertice sull'asse $x$ e passa per il punto $P (6; 3)$ .

Detto $V$ il vertice della parabola e $A$ il suo punto di intersezione con l'asse $y$ , calcola l'area del triangolo $A P V$ .

Per determinare i valori di $h$ e $k$ dobbiamo risolvere il seguente sistema:

${\begin{cases} \end{cases}$	$3 = 36 k -$ ________ $h + 3$	$\to$
	$9 h^{2} - 12 k = 0$

${\begin{cases} 36 k = 18 h \to k = \frac{h}{2} \\ 9 h^{2} - 6 h = 0 \to h = 0, h = \frac{2}{3} \end{cases} .$

Abbiamo quindi che $k =$ ________ e $h = \frac{2}{3}$ .

L'equazione della parabola è

$y = \frac{1}{3} x^{2} - 2 x + 3$ .

Il vertice della parabola è $V (3; 0)$ e il punto di intersezione con l'asse $y$ è

$A (0;$ ________ $)$ .

Abbiamo quindi che l'area del triangolo $A P V$ è
$A =$ ________ $=$ ________.

Completamento chiuso

________

________

________

________

Posizionamento

La parabola di equazione

y = x^{2} - (b - 3) x

interseca l'asse

x

in due punti distanti

5

. Quali valori può assumere

b

?

I punti di intersezione sono

(x_{1}; 0)

(x_{2}; 0)

.
Sostituiamo ________

=

0

0 = x^{2} - (b - 3) x

.
Sappiamo che

x_{1} - x_{2} = 5

, imponiamo quindi ________

= 5

:
________

= 5

.
Semplifichiamo e risolviamo:

b^{2} - 6 b + 9 = 25 \to b^{2} - 6 b - 16 = 0 \to

(b - 8) (b + 2) = 0 \to

b = 8 \lor b =

________.

Completamento chiuso

La parabola in figura ha equazione

y = a x^{2} + b x + c

. Stabilisci se le seguenti affermazioni sui coefficienti

a

b

c

sono vere o false.

b = 3

a > 0

c = 0

b = 0

b^{2} - 4 a c > 0

Vero o falso

Per quale valore di

a

la parabola di equazione

y = 4 x^{2} + \frac{a}{4} x + 3

passa per il punto

P (\frac{a}{2}; \frac{15}{2})

e ha vertice con ascissa positiva?

Imponiamo che la parabola passi per

P

:
________

= 4 {(\frac{a}{2})}^{2} + \frac{a}{4} \cdot \frac{a}{2} + 3

\frac{15}{2} = a^{2} + \frac{a^{2}}{8} + 3

\frac{15}{2} - 3 = \frac{9}{8} a^{2} \to

a^{2} =

________

\to

a = \pm 2

.
L'ascissa del vertice della parabola è:

x_{V} = - \frac{a}{32}

.
Abbiamo quindi che per

a =

________

2

la parabola passa per il punto

P

e ha vertice con ascissa positiva.

Completamento chiuso

Vero o falso?

La parabola di equazione

y = 3 x - x^{2} + 1

ha concavità rivolta verso l'alto.

Il vertice della parabola di equazione

y = x^{2} - 6

giace sull'asse

x

La parabola di equazione

y = 26 x^{2} - 2 \sqrt{2} x + 7

interseca l'asse

y

nel punto

(0; 7)

L'asse delle ascisse non interseca la parabola di equazione

y = x^{2} - 3 x + 3

Vero o falso

Trova per quali valori di $a$ e $b$ la parabola di equazione

$y = a x^{2} + (2 b + 1) x + 2$

ha l'asse di simmetria di equazione $x = 2$ e passa per il punto $A (5; 0)$ .

Traduciamo il testo del problema nel seguente sistema e lo risolviamo:

${\begin{cases} \end{cases}$	$0 =$ ________a $+ 5 (2 b + 1) + 2$	$\to$
	________ $= 2$

${\begin{cases} 0 = 25 a + 10 b + 7 \\ - 2 b - 1 = 4 a \end{cases} \to$

${\begin{cases} \end{cases}$	$0 = 25 a + 10 b + 7$	$\to$
	$b =$ ________

${\begin{cases} 0 = 25 a - 20 a - 5 + 7 \\ b = - \frac{4 a + 1}{2} \end{cases} \to$

${\begin{cases} 0 = 5 a + 2 \\ b = - \frac{4 a + 1}{2} \end{cases} \to$

${\begin{cases} \end{cases}$	$a = - \frac{2}{5}$	.
	$b =$ ________

Completamento chiuso