Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Matematica multimediale.blu (3ª ed.) Volume 1 Fai il punto sulle competenze - Equazioni di secondo grado

FIP01BBblu16 - Equazioni di secondo grado

11 esercizi

SVOLGI

INFO

Sia

a \in R

, con

a < 0

. Quale delle seguenti equazioni, nell'incognita

x

, non ammette soluzioni reali?

x^{2} + a - 5 = 0

x^{2} + a x = 0

x^{2} - 4 a x = 0

x^{2} - 16 a = 0

Scelta multipla

Determina per quali valori di

k \in R

si ha che

(k - 1) x^{2} - 4 k x + 4 k - 1 = 0

, nell'incognita

x

, è un'equazione:
a. di secondo grado;
b. di secondo grado pura;
c. di secondo grado spuria;
d. di secondo grado completa che ammette due soluzioni coincidenti;
e. di secondo grado pura che ammette due soluzioni distinte.

a.
L'equazione è di secondo grado se ________, quindi per

k \neq 1

.

b.
L'equazione è di secondo grado pura se

k \neq 1

e ________

= 0

. Quindi se

k = 0

.

c.
L'equazione è di secondo grado spuria se

k \neq 1

e ________

= 0

. Quindi se

k = \frac{1}{4}

.

d.
L'equazione è di secondo grado completa se

k \neq 1

k \neq 0

k \neq \frac{1}{4}

. Calcoliamo il

\frac{Δ}{4}

\frac{Δ}{4} = (- 2 k)^{2} -

________

\to

\frac{Δ}{4} = 5 k - 1

.
L'equazione ammette due soluzioni coincidenti se

\frac{Δ}{4}

________

0

,
quindi se

k = \frac{1}{5}

. Il valore trovato è in accordo con le condizioni per avere una equazione di secondo grado completa, quindi è accettabile.

e.
L'equazione è di secondo grado pura se ________.
Troviamo il valore di

\frac{Δ}{4}

per

k = 0

\frac{Δ}{4} = 5 \cdot 0 - 1 = - 1

.
Essendo il

\frac{Δ}{4}

negativo, l'equazione non può essere di secondo grado pura e al contempo ammettere due soluzioni distinte. Pertanto è impossibile.

Completamento chiuso

Risolvi la seguente equazione utilizzando, quando è possibile, la formula ridotta.

(x + 3^{- 1})^{3} - {(3 x^{\frac{3}{2}})}^{2} - (1 - 2 x)^{3} = 3^{- 3}

(x + 3^{- 1})^{3} - {(3 x^{\frac{3}{2}})}^{2} - (1 - 2 x)^{3} = 3^{- 3}

{(x + \frac{1}{3})}^{3} - 9

________

- (

1 - 8 x^{3}

- 6 x + 12 x^{2}) =

________

x^{3} + \frac{1}{27} + x^{2} + \frac{1}{3} x - 9 x^{3} - 1 + 8 x^{3} + 6 x - 12 x^{2} = \frac{1}{27}

- 11 x^{2} + \frac{1}{3} x + 6 x - 1 = 0

- 33 x^{2} + 19 x - 3 = 0

Δ = 361 - 396 < 0 \to

l'equazione è ________.

Completamento chiuso

Risolvi la seguente equazione.

2 x^{2} + 4 x + \sqrt{3} = 0

2 x^{2} + 4 x + \sqrt{3} = 0

\frac{Δ}{4} =

________

- 2 \sqrt{3} =

(1

________

\sqrt{3})^{2}

x_{1, 2} =

________

x_{1} = - \frac{1 + \sqrt{3}}{2}, x_{2} = \frac{- 3 + \sqrt{3}}{2}

Completamento chiuso

Vero o falso?

A: L'equazione

x^{2} + 2 a x + a^{2} - 4 = 0

ha sempre due soluzioni distinte al variare di

a

B: L'equazione

x^{2} - (5 - a) x + a = 0

è completa solo se

a \neq 5

C: L'equazione

(1 + a^{2}) x^{2} + 6 x - (a + 1) = 0

è spuria per

a = - 1

x = 0

è una soluzione di

(b + 1) x^{2} + b^{2} x = 5 x

per ogni

b \in R

Vero o falso

Risolvi la seguente disequazione utilizzando, quando è possibile, la formula ridotta.

\frac{x (x - 9)}{6} - \sqrt{2} \cdot \frac{x - 2}{2 - \sqrt{2}} + \frac{2}{3} = \frac{x - 2}{\sqrt{2} - 2} + \frac{2 + 3 \sqrt{2}}{3}

\frac{x^{2} - 9 x}{6} + \sqrt{2} \cdot \frac{x - 2}{- 2 + \sqrt{2}} + \frac{2}{3} = \frac{x - 2}{\sqrt{2} - 2} + \frac{2 + 3 \sqrt{2}}{3}

\frac{(x^{2} - 9 x) (\sqrt{2} - 2) + 6 \sqrt{2} - 12 \sqrt{2} + 4 (\sqrt{2} - 2)}{6 (\sqrt{2} - 2)} =

\frac{6 (x - 2) + 2 (\sqrt{2} - 2) (2 + 3 \sqrt{2})}{6 (\sqrt{2} - 2)}

\sqrt{2} x^{2} - 2 x^{2} - 9 \sqrt{2} x + 18 x + 6 \sqrt{2} x - 12 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} - 8 =

6 x - 12 + 4 \sqrt{2} + 12 - 8 - 12 \sqrt{2}

\sqrt{2} x^{2} - 2 x^{2} + 12 x - 3 \sqrt{2} x = 0

________

= 0

Le soluzioni sono:
•

x

________

0

;
•

x (\sqrt{2} - 2) + 12 - 3 \sqrt{2} = 0 \to

x = \frac{3 \sqrt{2} - 12}{\sqrt{2} - 2} \cdot

________

x = \frac{6 + 6 \sqrt{2} - 12 \sqrt{2} - 24}{2 - 4} \to x = 9 + 3 \sqrt{2}

Completamento chiuso

Risolvi la seguente equazione utilizzando, quando è possibile, la formula ridotta.

(3 x + 1)^{2} - (3 x - 1)^{2} = (x - 3) (x + 3)

(3 x + 1)^{2} - (3 x - 1)^{2} = (x - 3) (x + 3)

9 x^{2} + 1 + 6 x - (9 x^{2} + 1 - 6 x) = x^{2} -

________

9 x^{2} + 1 + 6 x - 9 x^{2} - 1 + 6 x = x^{2} - 9

________

= 0

\frac{Δ}{4} =

________

+ 9 = 45

x_{1, 2} =

________

\to

x_{1, 2} = 6 \pm 3 \sqrt{5} \to

x_{1, 2} = 3 (1 \pm \sqrt{5})

Completamento chiuso

Risolvi la seguente equazione utilizzando, quando è possibile, la formula ridotta.

0, 1 (x + 1) + 0, 01 x = 0, 1 - (x - 3)^{2} - 5, 89 x

0, 1 (x + 1) + 0, 01 x = 0, 1 - (x - 3)^{2} - 5, 89 x

\frac{1}{10} (x + 1) +

________

x =

\frac{1}{10} - (x - 3)^{2} -

________

x

\frac{1}{10} x + \frac{1}{10} + \frac{1}{100} x = \frac{1}{10} - (x^{2} + 9

________

) - \frac{589}{100} x

\frac{1}{10} x + \frac{1}{10} + \frac{1}{100} x =

\frac{1}{10} - x^{2} - 9 + 6 x - \frac{589}{100} x

\frac{10 x + 10 + x}{100} = \frac{10 - 100 x^{2} - 900 + 600 x - 589 x}{100}

11 x = - 100 x^{2} - 900 + 11 x

100 x^{2} = - 900 \to

x^{2} = - 9 \to

________.

Completamento chiuso

Risolvi la seguente equazione senza svolgere i quadrati di binomio.

(26 x - 40 500)^{2} - (24 x - 500)^{2} = 0

L'equazione si può risolvere riconoscendo che si tratta di ________.

(26 x - 40500 + 24 x - 500) \cdot

(26 x - 40500 - 24 x

________

500) = 0

(50 x - 41000) \cdot (2 x - 40000) = 0

Per la legge di annullamento del prodotto:
•

50 x - 41000 = 0 \to x = 820

.
•

2 x - 40000 = 0 \to x = 20000

Completamento chiuso

Completa le seguenti equazioni e le relative soluzioni.

Equazione	Soluzioni
$x^{2} +$ ________ $x$ $= 0$	$x_{1} =$ ________ $x_{2} = 1$
$x^{2} - 4 x +$ ________ $= 0$	$x_{1} = x_{2} =$ ________
$x^{2} -$ ________ $= 0$	$x_{1} = - 3$ $x_{2} =$ ________
________ $x^{2} + 20 = 0$	$x_{1} =$ ________ $x_{2} = 2$

Completamento chiuso

Considera l'equazione

(2 x - 1)^{2} = x^{2} + a x (x + 2) + 1

e determina per quali valori di

a

ha:
a. le stesse soluzioni dell'equazione

2 x^{2} = x

;
b. una soluzione uguale a

- 3

.

a.
Risolviamo l'equazione

2 x^{2} = x

2 x^{2} - x = 0

x (2 x - 1) = 0 \to x = 0, x =

________.

Portiamo l'equazione con il parametro in forma normale.

(2 x - 1)^{2} = x^{2} + a x (x + 2) + 1

4 x^{2} + 1 - 4 x = x^{2} + a x^{2} + 2 a x + 1

3 x^{2} - a x^{2} - 2 a x - 4 x = 0

x^{2} (3 - a) + x (- 2 a - 4) = 0

x [

________

+ (- 2 a - 4)] = 0

L'equazione ha come soluzioni:
•

x = 0

;
•

x (3 - a) + (- 2 a - 4) = 0 \to

x = \frac{2 a + 4}{3 - a}

, con

a \neq 3

.

Affinché le soluzioni siano le stesse dell'altra equazione, dobbiamo porre

\frac{2 a + 4}{3 - a} =

________:

\frac{2 a + 4}{3 - a} - \frac{1}{2} = 0

\frac{2 (2 a + 4) - 3 + a}{2 (3 - a)} = 0

\frac{4 a + 8 - 3 + a}{2 (3 - a)} = 0

\frac{5 a + 5}{2 (3 - a)} = 0 \to

5 a + 5 = 0 \to

a = - 1

.

b.
Affinché una soluzione sia

- 3

dobbiamo porre

\frac{2 a + 4}{3 - a} = - 3

. Risolviamo:

\frac{2 a + 4}{3 - a} + 3 = 0

\frac{2 a + 4 + 9 - 3 a}{3 - a} = 0

\frac{- a + 13}{3 - a} = 0 \to

________

= 0 \to

a = 13

Completamento chiuso