FIP01BBblu14 - Molt e div tra radicali, trasporto di un fattore dentro o fuori dal segno di radice

Discutendo al variare di $a$ e $x$ in $\mathbb{R}$, porta i fattori dentro al segno di radice.

a.   ${\displaystyle \frac{x}{a}\sqrt{5a}}$;

b.   $(a-2)\sqrt{a}$;

c.   $-x\sqrt[3]{x}$.

a.   La radice quadrata è definita per valori non negativi del radicando, dunque dobbiamo imporre la condizione
$5a$________.

Poiché $a$ compare anche al denominatore della frazione algebrica, dobbiamo scartare i valori di $a$ che annullano il denominatore.

Da queste due condizioni ricaviamo che il campo di esistenza di $a$ è $a$________$0$.

Poiché $x$ si trova al numeratore della frazione e un polinomio $P(x)$ è definito ________, non ci sono condizioni sui valori che può assumere $x$.

Poiché $a$ è positivo, il segno di ${\displaystyle \frac{x}{a}}$ dipende dal segno di $x$. Quindi:

• se $x\ge 0$: ${\displaystyle \frac{x}{a}\ge 0\to \frac{x}{a}\sqrt{5a}=}$________$=$${\displaystyle \sqrt{\frac{5x^2}{a}}}$;
• se $x<0$: ${\displaystyle \frac{x}{a}<0\to }$${\displaystyle \frac{x}{a}\sqrt{5a}=}$${\displaystyle -\frac{|x|}{a}\sqrt{5a}=}$${\displaystyle -\sqrt{\frac{5x^2}{a}}}$.

b.   Poiché possiamo portare dentro al segno di radice quadrata solo i fattori non negativi studiamo il segno di $a-2$:

• $a-2>0\to a>2$;
• $a-2=0\to a=2$;
• $a-2<0\to a<2$, ma la radice quadrate è definita per valori non negativi del radicando, quindi dobbiamo escludere i valori negativi di $a$.

Quindi:

• se $a\ge 2$$\to (a-2)\sqrt{a}=$________;
• se ________$\to$$(a-2)\sqrt{a}=-(2-a)\sqrt{a}=$$-\sqrt{a(a-2{)}^2}$.

c.   $\sqrt[3]{x}$ è definita ________.

Studiamo il segno del fattore $-x$:

• $-x\ge 0\to$________;
• $-x<0\to$________.

La radice cubica di un numero reale è sempre definita quindi, in entrambi i casi, abbiamo:
$-x\sqrt[3]{x}=-\sqrt[3]{x\cdot x^3}=-\sqrt[3]{x^4}$.

Scrivi le condizioni di esistenza e porta fuori dal segno di radice tutti i fattori possibili.

a.   $\sqrt{x^3+7x^2}$;

b.   $\sqrt[4]{\frac{48a^{12}b}{c^{10}}}$;

c.   $\sqrt[6]{a^7{x}^6}$.

a.   La radice quadrata è definita per valori non negativi del radicando, quindi deve essere soddisfatta la condizione:

$x^3+7x^2$________$0$.

Per determinare le condizioni di esistenza del radicando dobbiamo risolvere la disequazione:

________$\ge 0$.

Osserviamo che:

• $x^2>0\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$;
• $x^2=0\to x=0$.

Quindi il segno del radicando è determinato dal segno di $x+7$. Poiché il radicando deve essere non negativo, ricaviamo le condizioni di esistenza:

$x$________.

Portiamo fuori dal segno di radice tutti i fattori possibili:

$\sqrt{x^3+7x^2}=\sqrt{x^2(x+7)}=$

________$\sqrt{x+7}$.

b.   La radice quarta è definita per valori non negativi del radicando, quindi dobbiamo studiare il segno di ${\displaystyle \frac{48a^{12}b}{c^{10}}}$.

• $a^{12}$________$0$ $\mathrm{\forall }a\in \mathbb{R}$, $a\ne 0$;
• $b>0\iff b>0$;
• $c^{10}>0$  $\mathrm{\forall }c\in \mathbb{R}$, $c\ne 0$.

Determiniamo i valori di $a$, $b$, $c$ per i quali ${\displaystyle \frac{48a^{12}b}{c^{10}}\ge 0}$ e il denominatore della frazione algebrica non si annulla:

________

Portiamo fuori dal segno di radice tutti i fattori possibili:

${\displaystyle \sqrt[4]{\frac{48a^{12}b}{c^{10}}}={\displaystyle \frac{2a^3}{c^2}}}$________.

c.   La radice sesta non è definita per valori negativi del radicando.

Studiamo il segno di $a^7{x}^6$:

• $x^6$ è sempre ________
• $a^7$ si annulla se $a=0$ ed è positivo per $a>0$.

Quindi le condizioni di esistenza sono: ________.

Portiamo fuori dal segno di radice tutti i fattori possibili:

$\sqrt[6]{a^7{x}^6}=$________$\sqrt[6]{a}$.