FIP01BBblu13 - Numeri reali e radicali #461829 - Prove ed esercizi Zanichelli

Quale fra le seguenti radici non esiste in

R

?

A:

\sqrt[3]{(- 1)^{5}}

B:

\sqrt{\frac{1}{(- 2)^{4}}}

C:

\sqrt[3]{0}

D:

\sqrt{\frac{2^{4}}{(- 2)^{5}}}

Scelta multipla

Semplifica la seguente espressione.

\sqrt{\frac{1}{4} + \sqrt{1 - \frac{9}{25}} - (1, 25)^{- 1}} - \sqrt[3]{\frac{(- 3)^{4} \cdot 3}{3^{2}}}

\sqrt{\frac{1}{4} + \sqrt{1 - \frac{9}{25}} - (1, 25)^{- 1}} - \sqrt[3]{\frac{(- 3)^{4} \cdot 3}{3^{2}}} =

\sqrt{\frac{1}{4} + \sqrt{\frac{16}{25}} - {(\frac{5}{4})}^{- 1}} -

________

=

________________

3 =

\frac{1}{2}

________

3 =

________

Completamento chiuso

Associa a ogni espressione le rispettive condizioni di esistenza.

a.

\sqrt{\frac{x + 1}{x^{2} - 4 x + 4}}

________

b.

\sqrt[3]{\frac{x + 1}{x^{2} - 4 x + 4}}

________

c.

\sqrt{\frac{1}{x + 1}} + \sqrt[3]{x^{2} - 4 x + 4}

________

d.

\sqrt{x + 1} + \sqrt{x^{2} - 4 x + 4}

________

Posizionamento

Determina per quali valori reali di

x

esiste la seguente espressione.

\frac{\sqrt{3 x^{2} - 12}}{\sqrt[3]{x^{2} - 3 x - 10}} + \sqrt{- x^{4} (x^{2} + x - 12)}

L'espressione

\frac{\sqrt{3 x^{2} - 12}}{\sqrt[3]{x^{2} - 3 x - 10}} + \sqrt{- x^{4} (x^{2} + x - 12)}

esiste se è verificato il sistema ________.

1.

3 x^{2} - 12 \geq 0 \to

3 (x +

________

) (x -

________

) \geq 0

.
Poniamo ciascun fattore

> 0

:
•

x + 2 > 0 \to x >

________;
•

x - 2 > 0 \to x >

________.
Poiché si richiede che il prodotto sia positivo o nullo, le soluzioni della disequazione sono ________.

2.

x^{2} - 3 x - 10

________

0 \to

(x - 5) (x + 2)

________

0 \to

________.

3.

- x^{4} (x^{2} + x - 12) \geq 0 \to

________

\geq 0

.
Poniamo ciascun fattore

> 0

:
•

- x^{4} > 0 \to x^{4}

________

0 \to

________;
•

x + 4 > 0 \to x

________

- 4

;
•

x - 3 > 0 \to x >

________.
Dallo studio del segno concludiamo che

- x^{4} (x^{2} + x - 12) \geq 0

se

- 4 \leq x \leq 3

.

La rappresentazione grafica del sistema è quella in figura ________, quindi ________.

Completamento chiuso

Se

\sqrt[3]{3 \sqrt{3 a}} = 3

, quanto vale

a

?

A:

1

B:

3

C:

9

D:

27

Scelta multipla

Determina le condizioni di esistenza della seguente espressione e studia il suo segno.

(2 x + 3) \sqrt{\frac{x}{x + 4}}

Determiniamo le condizioni di esistenza.
C.E.: ________

\to

________.
Studiamo il segno. Indichiamo

A (x) = 2 x + 3

e

B (x) = \sqrt{\frac{x}{x + 4}}

.
•

A (x) > 0 \to 2 x + 3 > 0 \to

________;
•

B (x) > 0 \to \sqrt{\frac{x}{x + 4}} > 0 \to

________.
La rappresentazione grafica dello studio del segno della disequazione è quella in figura ________, quindi l'espressione è:
• negativa se ________;
• positiva se ________;
• nulla se ________.

Completamento chiuso

Vero o falso?

A:

\sqrt{- 9}

è un numero reale.

B:

0, 1 \bar{5}

è un numero razionale.

C:

- 2

è un numero razionale.

D:

\sqrt[4]{(- 2)^{4}} = - 2

E:

- \sqrt[3]{- 2} = \sqrt[3]{2}

F:

\sqrt{16} = \pm 4

Vero o falso

Considera la funzione $f (x) = \sqrt{\frac{9 - 5 x}{x + 4}} + \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}}$ .

a. Trova il suo dominio.

b. Determina il suo segno.

c. Calcola $f (0)$ .

a. Per determinare il dominio della funzione dobbiamo risolvere il seguente sistema:

${\begin{cases} \end{cases}$	$\frac{9 - 5 x}{x + 4} \geq 0$	.
	$9 - x^{2}$ ________ $0$

Le soluzioni delle due disequazioni sono

${\begin{cases} \end{cases}$	$- 4 < x \leq \frac{9}{5}$
	$- 3$ ________ $x$ ________ $3$

e pertanto il dominio della funzione è ________ $< x \leq \frac{9}{5}$ .

b. La funzione risulta ________ per ogni $x$ appartenente al dominio della funzione.

c. $f (0) =$ ________ $+ \frac{3}{\sqrt{9}} =$ ________

Completamento chiuso

Un corpo immerso in un fluido viene spinto verso l'alto dalla spinta di Archimede,

S = d_{f} g V_{imm}

, dove

d_{f}

è la densità del fluido,

V_{imm}

è il volume immerso e

g

è l'accelerazione di gravità, che puoi approssimare a

10

m/s².
Una sfera di massa

0, 1 π

kg galleggia nell'acqua, che ha densità

d = 1000

kg/m³, quando è immersa per metà del suo volume. Calcola il raggio della sfera.

Poiché la sfera galleggia sull'acqua, si ha che l'intensità della forza peso è ________ intensità della spinta di Archimede.
Calcoliamo la forza peso:

F_{p} = m g = 0, 1 π \cdot 10 = π

N.
Dunque,

S

________

π

N.
Partendo dalla formula

S = d_{f} g V_{imm}

, si ottiene che

V_{imm} =

________.
Quindi,

V_{imm} = 10^{- 4} π

m³ e il volume totale della sfera risulta essere

V =

________ m³.
Poiché il volume della sfera si calcola con la formula

V = \frac{4}{3} π r^{3}

, si ha che

r =

________, ossia

r ≅ 0, 053

m.

Completamento chiuso

La terza legge di Keplero, nella sua forma semplificata, esprime la relazione tra il tempo

t

impiegato da un pianeta a percorrere la sua orbita attorno al Sole e il raggio medio

r

di circa quest'ultima:

\frac{t^{2}}{r^{3}} = k

, dove

k

è una costante uguale per tutti i pianeti del sistema solare.
a. Determina

k

, sapendo che il periodo di rivoluzione della Terra è di circa

365

giorni e che la sua orbita ha un raggio medio di circa

1, 5 \cdot 10^{8}

km.
b. Calcola il raggio medio dell'orbita di Marte, sapendo che ha un periodo di rivoluzione di circa

687

giorni.

Indichiamo con

T

il periodo di rivoluzione e con

r

il raggio medio.
a. Esprimiamo

T

ed

r

in secondi e metri rispettivamente:

T = 365

giorni

=

________ s;

r = 1, 5 \cdot 10^{8}

km

= 1, 5 \cdot

________ m.

k = \frac{t^{2}}{r^{3}} ≃

________ s²/m³.

b. Esprimiamo

t

in secondi:

t = 687

giorni

=

________ s;

r =

________

≅ 2, 3 \cdot 10^{11}

m.

Completamento chiuso