Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Matematica multimediale.blu (3ª ed.) Matematica multimediale.blu (3ª ed.) / Volume 1 Fai il punto sulle competenze - Sistemi di equazioni

FIP01BBblu12 - Sistemi di equazioni

10 esercizi

SVOLGI

INFO

Scrivi il sistema che permette di risolvere il seguente problema.
Nel giardino di Clara ci sono in totale

26

piante, tra alberi e cespugli. Il numero dei cespugli supera di

8

e i

\frac{4}{5}

del numero di alberi. Quanti alberi e quanti cespugli ha Clara in giardino?

Chiamiamo

x

il numero di alberi e

y

il numero di cespugli. In totale ci sono

26

piante quindi ________.
Dato che il numero di cespugli supera di

8

\frac{4}{5}

del numero di alberi, possiamo scrivere ________.
Poniamo a sistema le due equazioni:

{\begin{matrix} x + y = 26 \\ y = \frac{4}{5} x + 8 \end{matrix}

Completamento chiuso

Indica il grado dei seguenti sistemi.

a.

{\begin{matrix} x y + y^{2} = 1 \\ x + y = 0 \end{matrix}

________

b.

{\begin{matrix} x^{3} + x^{2} + x + y = 1 \\ x y = 1 \end{matrix}

________

c.

{\begin{matrix} x - y = 2^{3} \\ 2 x + 3^{2} y = 1 \end{matrix}

________

d.

{\begin{matrix} y = x^{2} + 2 \\ 2 x^{2} + y^{2} = 1 \end{matrix}

________

Completamento chiuso

Il sistema

{\begin{matrix} x - a y = - 2 \\ b x - 2 y^{n + 1} = 4 \end{matrix}

ha grado

3

e una soluzione è

(4; - 1)

. Trova

n \in N

a

b \in R

.

Il prodotto dei gradi delle singole equazioni deve essere

3

1 \cdot

________

= 3

n =

________
Riscriviamo il sistema con

n = 2

{\begin{matrix} x - a y = - 2 \\ b x - 2 y^{3} = 4 \end{matrix} .

Sostituiamo al posto di

x

y

i valori

4

- 1

:
________.
I valori di

a

b

sono:
________.

Completamento chiuso

Sono dati i seguenti sistemi di due equazioni in due incognite

x

y

s_{1} : {\begin{matrix} 5 x - 25 x y = - 8 \\ 3 x + y = 3 \end{matrix}

;

s_{2} : {\begin{matrix} x^{2} + y^{2} = 1 \\ 15 x - 25 y^{2} = 3 \end{matrix}

;

s_{3} : {\begin{matrix} 2 x y^{2} - y = 2 \\ x + 2 y = 2 \end{matrix}

.
a. Stabilisci il loro grado.
b. Determina quali sistemi ammettono come soluzione la coppia

a.
Il primo sistema ha grado

2

, il secondo ha grado ________, il terzo ha grado ________.

b.
Sostituiamo la coppia

(\frac{4}{5}; \frac{3}{5})

in ciascun sistema, e verifichiamo se soddisfa le equazioni.

s_{1} : {\begin{matrix} 5 \cdot \frac{4}{5} - 25 \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} = - 8 \\ 3 \cdot \frac{4}{5} + \frac{3}{5} = 3 \end{matrix} \to

{\begin{matrix} - 8 = - 8 \\ 3 = 3 \end{matrix}

Entrambe le equazioni risultano verificate, quindi

(\frac{4}{5}; \frac{3}{5})

________ soluzione di

s_{1}

s_{2} : {\begin{matrix} {(\frac{4}{5})}^{2} + {(\frac{3}{5})}^{2} = 1 \\ 15 \cdot \frac{4}{5} - 25 \cdot {(\frac{3}{5})}^{2} = 3 \end{matrix} \to

{\begin{matrix} 1 = 1 \\ 12 - 9 = 3 \end{matrix}

Entrambe le equazioni risultano verificate, quindi

(\frac{4}{5}; \frac{3}{5})

è soluzione di

s_{2}

s_{3} : {\begin{matrix} 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot {(\frac{3}{5})}^{2} - \frac{3}{5} = 2 \\ \frac{4}{5} + \frac{2 \cdot 3}{5} = 2 \end{matrix} \to

{\begin{matrix} \frac{72}{125} \neq 2 \\ 2 = 2 \end{matrix}

________ le equazioni risultano verificate, quindi

(\frac{4}{5}; \frac{3}{5})

non è soluzione di

s_{3}

Completamento chiuso

Riduci il seguente sistema in forma normale.

{\begin{matrix} (x - 1)^{2} + y = (x + 2) (x - 3) \\ \frac{1}{3} x + 4 y^{2} = (2 y - 3)^{2} - \frac{5}{3} x \end{matrix}

Eliminiamo le parentesi.
________

Il sistema in forma normale è:
________.

Completamento chiuso

Completa con i coefficienti numerici mancati in modo che i seguenti sistemi ammettano come soluzione la coppia riportata a fianco.

a. ${\begin{matrix} \end{matrix}$	________ $x$ $- 2 y = 1$	$(1; - 2)$ ;
	$3 x +$ ________ $y = 5$

b. ${\begin{matrix} \end{matrix}$	$2 x +$ ________ $y = 3$	$(0; 3)$ ;
	$3 x - 2 y =$ ________

c. ${\begin{matrix} \end{matrix}$	$\frac{1}{2} x -$ ________ $y = 0$	$(\frac{1}{2}; \frac{1}{8})$ .
	________ $x$ $+ \frac{8}{3} y = - \frac{1}{6}$

Completamento chiuso

Indica per quale valore di

n \in N

il sistema

{\begin{matrix} x^{2} - y^{2} = 2 \\ 2 x y^{n + 1} + y = 5 \end{matrix}

ha grado

6

.
La prima equazione del sistema ha grado

2

, mentre la seconda ha grado ________.
Il grado del sistema è dato ________ dei gradi delle singole equazioni:

2 \cdot

________

= 6

.
L'equazione è soddisfatta per:
________.

Completamento chiuso

Determina i valori da attribuire al parametro reale $k$ affinché il sistema lineare

${\begin{matrix} (k - 2) x + 2 y = k + 2 \\ - x + 2 y = 3 \end{matrix}$

ammetta gli insiemi soluzione indicati.

a. $S = {(3; 3)}$

b. $S = \emptyset$

c. $S = {(0; \frac{3}{2})}$

Sostituiamo la coppia di valori $(3; 3)$ all'interno del sistema e risolviamo per $k$ .

${\begin{matrix} \end{matrix}$	$(k - 2) \cdot 3 + 2 \cdot 3 =$ ________ $+ 2$	$\to$
	$- 3 + 2 \cdot 3 = 3$

${\begin{matrix} k = 1 \\ 0 = 0 \end{matrix}$

Quindi ________.

Il sistema può essere reso impossibile rendendo uguali i membri di sinistra delle due equazioni, ma diversi i membri di destra.

I membri di sinistra sono uguali se
$k =$ ________.
In tal caso però le equazioni diventano

${\begin{matrix} - x + 2 y = 3 \\ - x + 2 y = 3 \end{matrix},$

ossia ci sono infinite soluzioni.

Quindi $∄ k \in R$ che soddisfi la richiesta.

Sostituiamo la coppia di valori $(0; \frac{3}{2})$ all'interno del sistema e risolviamo per $k$ .

${\begin{matrix} \end{matrix}$	$($ ________ $- 2) \cdot 0 + 2 \cdot \frac{3}{2} = k + 2$	$\to$
	$- 0 + 2 \cdot \frac{3}{2} = 3$

${\begin{matrix} k = 1 \\ 3 = 3 \end{matrix}$

Quindi ________.

Completamento chiuso

Scrivi il sistema che permette di risolvere il seguente problema.

Karen acquista

4

biglietti per uno spettacolo teatrale e

3

per un concerto al costo totale di

133

€. Suo fratello acquista

2

biglietti per lo stesso concerto spendendo

16

€ in più. Quanto costano i due tipi di biglietto?

Chiamiamo

x

il costo del biglietto per lo spettacolo teatrale e

y

il costo del biglietto per il concerto.
Considerando le spese effettuate da Karen, possiamo scrivere:
________

= 133

.
Considerando invece le spese del fratello di Karen scriviamo

2 x + 7 y =

________.
Poniamo a sistema le due equazioni:

{\begin{matrix} 4 x + 3 y = 133 \\ 2 x + 7 y = 149 \end{matrix} .

Completamento chiuso

Indica quale dei seguenti sistemi rappresenta l'intersezione delle rette in figura.

{\begin{matrix} - 3 x + 2 y = 0 \\ x + 2 y = 2 \end{matrix}

{\begin{matrix} 3 x - 4 y = - 6 \\ x + 2 y = 8 \end{matrix}

{\begin{matrix} \frac{3}{4} x - y + \frac{3}{2} = 0 \\ x + 2 y = 4 \end{matrix}

{\begin{matrix} 3 x - 4 y \\ \frac{1}{2} x + y \end{matrix}

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