Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Matematica multimediale.blu (3ª ed.) Matematica multimediale.blu (3ª ed.) / Volume 1 Fondamentali alla prova - Proporzionalità e similitudine

FAPBBbluG7 - Proporzionalità e similitudine

10 esercizi

SVOLGI

INFO

Matematica

Teorema della bisettrice

Nel triangolo

A B C

, la bisettrice

A D

dell'angolo

\hat{A}

divide il lato

B C

in due segmenti lunghi

5

cm e

11

cm. Determina la lunghezza di

A B

A C

, sapendo che il perimetro del triangolo è di

128

cm.

Disegniamo la figura.

\bar{B D} : \bar{D C} =

________

:

________ per il teorema della bisettrice.

A B + A C = 128

________

(11 + 5) = 112

cm.
Quindi ________

:

________

=

(112

________

\bar{A C}) : \bar{A C}

.
________

:

11 = 112 : \bar{A C}

per la proprietà del ________ e quindi

A C =

________

=

________ cm.
Infine

A B = 35

cm.

Completamento chiuso

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Matematica

Teorema delle secanti

Nella circonferenza in figura di centro

O

, considera le secanti

P A

P C

. Determina

\bar{C D}

\bar{P A} :

________

=

\bar{P D} :

________ per il teorema delle secanti.

Quindi

(\frac{5}{2} x

________

2

)

:

(3

________

x)

= 3 : 2 \to

2 (\frac{5}{2} x

________

2

)

=

3 (3

________

x)

\to

2 x = 5 \to x =

________.
Quindi

\bar{C D} =

________.

Completamento chiuso

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Matematica

Lunghezza della semicirconferenza e area del cerchio

Completa.

a. Il rapporto tra l'area di un cerchio e il quadrato del raggio è ________.

b. Dati due cerchi di raggio

r

2 r

, il rapporto tra le lunghezze delle circonferenze è ________.

c. Il raggio di un cerchio di area

100 π

cm² misura ________ cm.

d. Una circonferenza di diametro

13

cm è lunga ________ cm.

Completamento chiuso

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Matematica

Similitudine e triangoli

Sul lato $A B$ di un parallelogramma $A B C D$ individua un punto $P$ tale che $P B ≅ 2 A P$ . Traccia da $P$ la parallela al lato $B C$ , che interseca in $Q$ la diagonale $A C$ . Determina l'area del triangolo $A P Q$ , sapendo che l'area del parallelogramma è $36$ cm².

Disegniamo la figura.

Consideriamo i triangoli $A P Q$ e $A B C$ . Essi hanno:

$\hat{A}$ è in comune;
$A \hat{Q} P ≅ A \hat{C} B$ perché sono angoli ________ su rette parallele;

quindi $A P Q \sim A B C$ per il ________ criterio di similitudine.

In particolare, $A B ≅$ ________ per ipotesi quindi il rapporto di similitudine è $3$ .

Inoltre $A_{A B C D} = 2 A_{A B C}$ e
$A_{A B C} =$ ________ $A_{A P Q}$ quindi
$A_{A P Q} =$ ________ $=$ $2$ cm².

Completamento chiuso

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Matematica

Teorema della secante e della tangente

Da un punto

P

esterno a una circonferenza di raggio

20

cm traccia una retta tangente in

T

e una retta secante che interseca la circonferenza in

A

B

(con

P A > P B

). La distanza dal centro della corda

A B

2 \sqrt{19}

cm e

P A = 42

cm. Trova la lunghezza di

P T

.

Disegniamo la figura.

Nel triangolo rettangolo

O H B

possiamo trovare

\bar{B H}

B H =

________

= \sqrt{324} =

________ cm per il teorema di Pitagora.
Quindi

P B = 42 -

________

=

________ cm.
Inoltre,

\bar{P A} : \bar{P T} =

________

:

\bar{P B}

per il teorema della secante e della tangente.

42 : \bar{P T} =

________

:

________

\to

{\bar{P T}}^{2} = 252 \to \bar{P T} = 6 \sqrt{7}

cm.

Completamento chiuso

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Matematica

Teorema di Talete

Per realizzare un origami devi ritagliare due triangoli isosceli da un rombo, come in figura, in modo che, per ciascuno dei due triangoli, il lato obliquo sia

\frac{1}{4}

del lato del rombo e la base sia parallela alla diagonale minore.
Se l'area del rombo è

42

cm² e la diagonale minore misura

7

cm, quanto è lunga l'altezza di ciascuno dei due triangoli ritagliati?

2

1

1, 5

0, 75

Scelta multipla

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Matematica

Teorema delle corde

In una circonferenza di centro

O

, due corde

A B

C D

si intersecano in

E

. Sai che

\bar{A E} = 8

\bar{E B} = 3

\bar{C D} = 10

C D > E D

. Trova

E D

.

Disegniamo la figura.

\bar{A E} : \bar{C E} = \bar{E D} : \bar{E B}

per il teorema delle ________.
Quindi
________

:

(10

________

\bar{E D})

=

\bar{E D} :

________

\to

10 \bar{E D}

________

{\bar{E D}}^{2} = 24 \to

{\bar{E D}}^{2}

________

10 \bar{E D} + 24 = 0 \to

\bar{E D} = 6 \lor \bar{E D} = 4

.
Quindi

E D =

________ cm.

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Matematica

Raggio della circonferenza inscritta e circoscritta

Un triangolo ha i lati di

12

cm,

18

cm e

24

cm. Calcola la misura dell'area compresa tra la circonferenza inscritta e quella circoscritta al triangolo.

Disegniamo la figura.

Troviamo il perimetro del triangolo

A B C

2 p = 12 + 18 + 24 = 54

cm.

Troviamo l'area del triangolo

A B C

A = \sqrt{27 \cdot (27 - 12) \cdot (27 - 18) \cdot (27 - 24)} =

27 \sqrt{15}

cm² per la formula di Erone.

Quindi il raggio della circonferenza inscritta è

r =

________

=

\frac{27 \sqrt{15}}{27} = \sqrt{15}

cm.
E il raggio della circonferenza circoscritta è

R =

________

=

________

=

\frac{16}{5} \sqrt{5}

cm.
Calcoliamo le aree delle due circonferenze:

A_{c} =

________ cm²

A_{C} =

{(\frac{16}{\sqrt{5}})}^{2} π = \frac{768}{5} π

cm².
Infine troviamo

A_{C c} = \frac{768}{5} π

________

15 π =

\frac{693}{5} π = 138, 6 π

cm².

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Matematica

Lunghezza di un arco e area di un settore circolare

Un triangolo equilatero

A B C

è inscritto in un cerchio di area

144 π

cm². Determina l'area del segmento circolare individuato da un suo lato e la lunghezza dell'arco

\overset{⌢}{B C}

.

Disegniamo la figura.

Troviamo il raggio della circonferenza:

r = \sqrt{\frac{A}{π}} =

________ cm.

L'altezza relativa al lato

B C

è ________ per l'applicazione del teorema di Pitagora ai triangoli equilateri.

Scriviamo quindi l'area del triangolo

A B C

come

\frac{1}{2} \bar{B C} \cdot

________

=

\frac{\sqrt{3}}{4} {\bar{B C}}^{2}

.

Inoltre

r = \frac{{\bar{B C}}^{3}}{4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}} {\bar{B C}}^{2} = \frac{\sqrt{3}}{3} \bar{B C}

.

Quindi ________

= \frac{\sqrt{3}}{3} \bar{B C}

, cioè

B C = 12 \sqrt{3}

cm e l'area di

A B C

\frac{\sqrt{3}}{4} (12 \sqrt{3})^{2} = 108 \sqrt{3}

cm².

S =

________

=

12 (4 π

________

3 \sqrt{3}

)

cm².

Infine, l'angolo

B \hat{O} C =

________ quindi

\overset{⌢}{B C}

=

________

= 8 π

cm.

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Matematica

Proporzioni fra grandezze

In un triangolo rettangolo gli angoli acuti sono proporzionali a

10

8

. Determina la loro ampiezza.

Disegniamo la figura.

\hat{B} = 90^{\circ}

________

\hat{C}

perché il triangolo

A B C

è rettangolo in

\hat{A}

e la somma degli angoli ________ di un triangolo è di

180^{\circ}

\hat{B} : \hat{C} = 8 : 10 \to

(90^{\circ}

________

\hat{C}) : \hat{C} = 8 : 10 \to

90^{\circ} : \hat{C} = 18 : 10

per la proprietà del ________

\to

\hat{C} = \frac{90^{\circ} \cdot 10}{18} =

________.

Quindi

\hat{B} =

________.

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