Matematica - Scuola secondaria di secondo gradoMatematica multimediale.blu (3ª ed.) Matematica multimediale.blu (3ª ed.) / Volume unicoFondamentali alla prova - Parabole, equazioni, sistemi

FAPBBblu17 - Parabole, equazioni, sistemi

12 esercizi
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Matematica

Funzione quadratica e parabola
Completa l'equazione della parabola in figura:


L'equazione della parabola in figura è:
y=(________)x2+(________)x+(________).
Completamento chiuso
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Matematica

Rappresentazione di una parabola

Considera la parabola di equazione

y=2x2+2x32.

Determina le coordinate del vertice e le intersezioni con gli assi cartesiani e disegna la parabola.


Determiniamo le coordinate del vertice

•   xV=b2a=24=________;

•   yV=Δ4a=________=2.

Troviamo le intersezioni con gli assi cartesiani.

Intersezioni con l'asse x:

{....________=0
y=2x2+2x32

2x2+2x32=0.

Δ4=1+3=4  

x1,2=________x1=12,x2=32.

Per cui le intersezioni con l'asse x sono (12;0) e (32;0).

Intersezioni con l'asse y:

{....________  y=32.
y=2x2+2x32

Quindi l'intersezione con l'asse y è in (0;32).

Rappresentiamo la parabola nel piano cartesiano:





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Matematica

Problemi di massimo e minimo
Si hanno a disposizione 60 m di rete con i quali recintare un'area formata da un rettangolo sormontato da un semicerchio. Determina il raggio del semicerchio affinché l'area recintata sia massima.

Chiamiamo x il raggio del semicerchio e h l'altezza del rettangolo.
Disponiamo di 60 m di rete per recintare, quindi:
60=πx+2h+________.
Ricaviamo h in funzione di x:
________.
Indichiamo con y l'area e la esprimiamo in funzione di x e h:
y=________.
Sostituiamo l'espressione di h in y
y=πx22+2x(60πx2x)2 
y=(π22)x2+60x
Osserviamo che la parabola ha concavità verso ________.
Affinché l'area sia massima, x deve assumere un valore pari all'________ del vertice, quindi:
x=b2a=602(π22)x=60π+4.
Quindi il raggio del semicerchio avrà lunghezza pari a 60π+4 m.
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Matematica

Sistemi di secondo grado
Risolvi il sistema.
{xy=7x2+xy+y2=19

Ricaviamo x dalla prima equazione e sostituiamola nella seconda:
________.
Riscriviamo il sistema come
________.
Le soluzioni della seconda equazione sono y1=________5 e y2=________2.
Sostituendo questi valori nella prima equazione otteniamo
x1=________ e x2=________.
Dunque, le soluzioni del sistema sono le coppie
(________;________5) e (________;________2).
Completamento chiuso
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Matematica

Sistemi simmetrici
Risolvi il seguente sistema simmetrico.
{x+y=3x2+y2=29

Riscriviamo il sistema come
________.
Sostituiamo il valore di x+y nella seconda equazione e otteniamo:
________.
Utilizziamo l'incognita ausiliaria t e risolviamo l'equazione
t2________3t________10=0, che possiamo riscrivere come
(t________2)(t________5)=0.
Le soluzioni sono t1=________2
e t2=________5 e formano le coppie ordinate che sono soluzioni del sistema dato.
Allora, le soluzioni del sistema sono
(________2;________5) e (________5;________2).
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Matematica

Problemi con i sistemi di secondo grado
Luigi è figlio di Davide. La somma delle loro età oggi è 38, mentre il prodotto vale 165. Quanti anni aveva Davide alla nascita del figlio?

Chiamiamo x l'età di Luigi e y l'età di Davide.
Affinché il problema abbia senso, deve essere: x, yN e x________y.
Allora il sistema risolvente è:
________.
Utilizziamo l'incognita ausiliaria t e risolviamo l'equazione
t2________38t________165=0, che possiamo riscrivere come
(t________5)(t________33)=0.
Le soluzioni sono
t1=________5 e t2=________33.
Dunque, alla nascita del figlio, Davide aveva
33________5=________ anni.
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Matematica

Equazione binomie
Associa a ogni equazione la sua soluzione.

1.   2x2+18=0   ________
2.   4x3+108=0   ________
3.   x481=0   ________
4.   127x59=0    ________
Posizionamento
1

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Matematica

Equazioni trinomie
Completa per ottenere delle equazioni trinomie (sono possibili più soluzioni).

a.   x10x5=0   ________

b.   2x+3x61=0   ________

c.   3x42x2+=0   ________

d.   x8+7x3=0   ________
Completamento chiuso
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Matematica

Equazioni con la scomposizione in fattori
Associa ogni equazione all'insieme delle sue soluzioni.

8x3+18x2+9x=0
________

4x53x4=0
________

18x28x3+18x=0
________

x(x4)=3x2(x4)
________
Posizionamento
1

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Matematica

Sistemi di grado superiore al secondo
Risolvi il seguente sistema.
{y=x21x2+y2y=2

Sostituendo il valore di y nella seconda equazione otteniamo
x2+(x21)2(x21)=2, che possiamo riscrivere come
________.
Le soluzioni sono x1=________, x2=0 e x3=+________.
Sostituendo tali valori nella prima equazione otteniamo:
y1=________, y2=1 e y3=________.
Dunque, le soluzioni del sistema dato sono le coppie
(________;________),(0;1),
(________;________).
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Matematica

Problemi con i sistemi di grado superiore al secondo
In un triangolo rettangolo la somma dei quadrati delle proiezioni dei cateti sull'ipotenusa è 153 cm². L'altezza relativa all'ipotenusa misura 6 cm. Calcola il perimetro e area del triangolo.

Chiamiamo x e y le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa.
Allora: ________.
Per il ________ teorema di Euclide possiamo scrivere:
x:6=6:y  xy=36.
Mettiamo a sistema le due equazioni trovate e risolviamo. Poniamo x0 e y0.
{x2+y2=153xy=36
{y4153y2+1296=0x=36y
Risolviamo la prima equazione con la sostituzione t=y2.
Risolvendo l'equazione di secondo grado otteniamo:
t1=144 e t2=9.
Quindi y2=144y1=12 e y2=3, dove abbiamo scartato le soluzioni negative in quanto non accettabili.
Sostituendo nel sistema, troviamo che le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa misurano 3 cm e 12 cm.
Quindi i due cateti del triangolo misureranno
45=35 e 180=65.
Calcoliamo quindi perimetro e area:
•   p=35+65+3+12=(15+95) cm;
•   A=________=45 cm².
Completamento chiuso
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Matematica

Interpretazione grafica di un sistema
Rappresenta graficamente il sistema e le sue soluzioni.
{y=2x22x+y=4

Riscriviamo il sistema mettendo in evidenza la y: {y=2x2y=42x
La prima equazione del sistema è l'equazione di una ________,
la seconda è l'equazione di una ________.
Risolvendo il sistema, troviamo, se esistono, i punti di intersezione fra la parabola e la retta.
Con il metodo del confronto, otteniamo:
2x2=42x
x1=________, x2=________1,
a cui corrispondono y1=________ e y2=2.
Dunque, la retta è secante la parabola in due punti:
(________; ________) e (________1;2).
Completamento chiuso
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