Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Studio di funzione Studio di funzione e applicazioni Applicazioni dello studio di funzione

Algoritmi e ricerca delle radici

15 esercizi

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Matematica

Risoluzione approssimata di un'equazione - Metodo delle secanti

Data l'equazione

f (x) = 0

x \in [a; b]

, il metodo delle secanti si può applicare:

A: soltanto se

f^{'} = 0

ha segno costante e

f (a) \cdot f (b) < 0

B: soltanto se

f^{'}

f^{″}

hanno segno costante e concorde.

C: soltanto se

f^{'}

f^{″}

hanno segno costante e discorde.

D: se

f^{″}

ha segno costante e

f (a)

f (b)

sono discordi.

E: soltanto se

f

è monotòna.

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Matematica

Teorema di esistenza degli zeri

f

è una funzione definita nell'intervallo

[a; b]

f (a) \cdot f (b) < 0

, allora

A: ammette sempre almeno uno zero.

B: ammette sempre soltanto uno zero.

C: non ammette mai alcuno zero.

D: non possiamo dire nulla di certo circa l'esistenza di zeri.

E: nessuna delle altre affermazioni è vera.

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Matematica

Separazione degli zeri di un'equazione

Separare gli zeri di un'equazione significa:

A: determinare gli intervalli contenenti almeno una soluzione per ciascuno.

B: determinare gli intervalli contenenti soltanto una soluzione per ciascuno.

C: dimostrare che l'equazione ammette soluzioni.

D: determinare tutte le soluzioni in modo esatto.

E: determinare almeno una soluzione in modo esatto

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Matematica

Soluzioni e zeri di un'equazione

Dell'equazione

3 x^{7} - 5 x + 1 = 0

, possiamo dire che:

A: ha 7 soluzioni.

B: ha soltanto 2 radici.

C: ha 4 soluzioni.

D: ha soltanto 3 zeri.

E: non ha soluzioni.

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Matematica

Risoluzione approssimata di un'equazione

Quale delle seguenti equazioni è risolubile in modo esatto?

x^{5} + x^{4} - 1 = 0

5^{x} = x^{5}

e^{x} = x^{4} + 1

tg x = 2 x

\ln x = \log_{x} π

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Matematica

Soluzioni di un'equazione

Dell'equazione

x^{5} - x - \frac{1}{4} = 0

possiamo dire che:

A: ha 5 soluzioni reali.

B: ha 3 soluzioni reali.

C: ha 1 soluzione reale.

D: ha 4 soluzioni reali.

E: non ha nessuna soluzione reale.

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Matematica

Risoluzione approssimata di un'equazione - Metodo di Lagrange

Consideriamo l'equazione

e^{x} - x^{2} = 0

x \in [- 1; 0]

, e poniamo

a_{0} = - 1

b = 0

. Utilizzando il metodo di Lagrange possiamo dire che l'equazione:

A: ha una soluzione e i valori approssimati si determinano con la formula

x_{n + 1} = x_{n} - \frac{e^{x_{n}} - x_{n}^{2}}{e^{x_{n}} - 2 x_{n}}

B: ha una soluzione e i valori approssimati si determinano con la formula

x_{n + 1} = x_{n} + \frac{x_{n}}{1 - e^{x_{n}} + x_{n}^{2}}

C: non ammette soluzioni.

D: ha una soluzione e i valori approssimati si determinano con la formula

x_{n + 1} = x_{n} - \frac{- 1 - x_{n}}{e^{- 1} - 1 - e^{x_{n}} + x_{n}^{2}} \cdot (e^{x_{n}} - x_{n}^{2})

E: ha una soluzione e i valori approssimati si determinano con la formula

x_{n + 1} = x_{n} + \frac{x_{n}}{1 - e^{x_{n}} + x_{n}^{2}} \cdot (e^{x_{n}} - x_{n}^{2})

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Matematica

Risoluzione approssimata di un'equazione - Metodo di Newton

Considera l'equazione

e^{x} + x - 5 = 0

x \in [- 1; 2]

. Posto

f (x) = e^{x} + x - 5

, possiamo applicare il metodo di Newton perché:

f (1) \cdot f (2) < 0

f^{'} (x)

è continua e positiva

\forall x \in [1; 2]

f (1) \cdot f (2) < 0

f^{″} (x) > 0 \forall x \in [1; 2]

f (1) \cdot f (2) < 0

f

è derivabile due volte in ogni punto dell'intervallo.

f^{'} (x) > 0

f^{″} (x) > 0

\forall x \in [1; 2]

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Risoluzione approssimata di un'equazione - Metodo di bisezione

Consideriamo l'equazione

x^{3} - x - 3 = 0

x \in [0; 2]

. Se utilizziamo il metodo di bisezione possiamo dire che:

A: esiste una soluzione compresa tra

1, 6

1, 7

con approssimazione

ε = 0, 05

B: l'equazione non ha radici nell'intervallo

[0; 2]

C: esiste una soluzione nell'intervallo

[0; 2]

ma non si può determinare l'approssimazione.

D: il metodo non è applicabile perché la funzione

y = x^{3} - x - 3

non è monotona nell'intervallo

[0; 2]

E: esiste una soluzione compresa tra

1, 5

1, 75

con approssimazione

ε = 0, 125

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Matematica

Soluzioni di un'equazione

Considera le equazioni

\ln \frac{x^{2} - x + 10}{x} + 3 x - 5 = 0

x^{5} + x^{3} - 1 = 0

. Una delle seguenti affermazioni è vera. Quale?

A: La prima ammette due radici reali e la seconda una.

B: La prima ammette una radice reale e la seconda due.

C: La prima non ha radici reali, la seconda ne ha almeno una.

D: Hanno entrambe soltanto una soluzione reale.

E: Nessuna delle due ha soluzioni reali.

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Matematica

Risoluzione approssimata di un'equazione - Metodo delle secanti

Nell'intervallo

[0; 1]

l'equazione

\cos x - x^{2} = 0

ha un'unica radice. Mediante il metodo delle secanti otteniamo un valore approssimato della soluzione con 4 cifre decimali stabili:

A: a partire da

n = 5

B: a partire da

n = 4

C: a partire da

n = 3

D: se dividiamo l'intervallo in 4 parti uguali.

E: se dividiamo l'intervallo in 5 parti uguali.

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Risoluzione approssimata di un'equazione

Quale fra le seguenti equazioni è risolubile in modo esatto?

\ln (x + 5) = x^{2}

e^{2 x} = \ln (1 + x)

x^{3} - (5 + π) x^{2} + (6 + 5 π) x - 6 π = 0

x \ln (1 + x) = 2^{x}

x^{2} = 4^{x}

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Matematica

Risoluzione approssimata di un'equazione - Metodo iterativo

Applichiamo il metodo iterativo all'equazione

g (x) = x

, con

g (x) = \ln (2 + s e n x)

x \in [a; b] = [0; \frac{5}{12} π]

, scegliendo come punto iniziale

x_{0} = \frac{π}{3}

A: La successione

x_{0}, x_{1}, . . ., x_{n}, . . .

è convergente perché

| x_{0} - b | < 1

B: La successione

x_{0}, x_{1}, . . ., x_{n}, . . .

non converge perché

x_{0} > \frac{a + b}{2}

C: La successione

x_{0}, x_{1}, . . ., x_{n}, . . .

non converge perché

| g^{'} (x) | > \frac{2}{25}

\forall x \in [a; b]

D: La successione

x_{0}, x_{1}, . . ., x_{n}, . . .

è convergente perché

| g^{'} (x) | < \frac{1}{3}

\forall x \in [a; b]

E: Nessuna delle affermazioni precedenti è vera.

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Risoluzione approssimata di un'equazione

Considera le soluzioni approssimate dell'equazione

\frac{1}{2 + \cos x} = x

, con

x \in [0; \frac{π}{4}]

. Possiamo dire che:

A: le prime tre approssimazioni calcolate con il metodo iterativo sono

0, 6

;

0, 36

;

0, 35

B: il metodo del punto unito non si può applicare.

C: le prime tre approssimazioni calcolate con il metodo dicotomico sono

0, 39

;

0, 34

;

0, 33

D: le prime tre approssimazioni calcolate con il metodo delle secanti sono

0, 39

;

0, 34

;

0, 33

E: le prime tre approssimazioni calcolate con il metodo delle tangenti sono

0, 33

;

0, 34

;

0, 34

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Matematica

Integrazione numerica - Metodo di Cavalieri-Simpson

Nel calcolo approssimato dell'integrale

\int_{a}^{b} f (x) d x

mediante la formula di Cavalieri-Simpson:

A: si suddivide l'intervallo

[a; b]

utilizzando un numero dispari di punti.

B: si esclude il punto

(b; f (b))

C: si suddivide l'intervallo

[a; b]

in un numero dispari di intervalli uguali.

D: si esclude il punto

(a; f (a))

E: si suddivide l'intervallo

[a; b]

utilizzando un numero pari di punti.

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