Algoritmi e ricerca delle radici #98148 - Prove ed esercizi Zanichelli

Separazione degli zeri di un'equazione

Separare gli zeri di un'equazione significa:

A:

determinare gli intervalli contenenti almeno una soluzione per ciascuno.

B:

determinare gli intervalli contenenti soltanto una soluzione per ciascuno.

C:

dimostrare che l'equazione ammette soluzioni.

D:

determinare tutte le soluzioni in modo esatto.

E:

determinare almeno una soluzione in modo esatto

Scelta multipla

Risoluzione approssimata di un'equazione - Metodo di Lagrange

Consideriamo l'equazione

e^{x} - x^{2} = 0

,

x \in [- 1; 0]

, e poniamo

a_{0} = - 1

,

b = 0

. Utilizzando il metodo di Lagrange possiamo dire che l'equazione:

A:

ha una soluzione e i valori approssimati si determinano con la formula

x_{n + 1} = x_{n} - \frac{e^{x_{n}} - x_{n}^{2}}{e^{x_{n}} - 2 x_{n}}

.

B:

ha una soluzione e i valori approssimati si determinano con la formula

x_{n + 1} = x_{n} + \frac{x_{n}}{1 - e^{x_{n}} + x_{n}^{2}}

.

C:

non ammette soluzioni.

D:

ha una soluzione e i valori approssimati si determinano con la formula

x_{n + 1} = x_{n} - \frac{- 1 - x_{n}}{e^{- 1} - 1 - e^{x_{n}} + x_{n}^{2}} \cdot (e^{x_{n}} - x_{n}^{2})

.

E:

ha una soluzione e i valori approssimati si determinano con la formula

x_{n + 1} = x_{n} + \frac{x_{n}}{1 - e^{x_{n}} + x_{n}^{2}} \cdot (e^{x_{n}} - x_{n}^{2})

.

Scelta multipla

Teorema di esistenza degli zeri

Se

f

è una funzione definita nell'intervallo

[a; b]

e

f (a) \cdot f (b) < 0

, allora

A:

ammette sempre almeno uno zero.

B:

ammette sempre soltanto uno zero.

C:

non ammette mai alcuno zero.

D:

non possiamo dire nulla di certo circa l'esistenza di zeri.

E:

nessuna delle altre affermazioni è vera.

Scelta multipla

Risoluzione approssimata di un'equazione - Metodo di Newton

Considera l'equazione

e^{x} + x - 5 = 0

,

x \in [- 1; 2]

. Posto

f (x) = e^{x} + x - 5

, possiamo applicare il metodo di Newton perché:

A:

f (1) \cdot f (2) < 0

.

B:

f^{'} (x)

è continua e positiva

\forall x \in [1; 2]

.

C:

f (1) \cdot f (2) < 0

e

f^{″} (x) > 0 \forall x \in [1; 2]

.

D:

f (1) \cdot f (2) < 0

e

f

è derivabile due volte in ogni punto dell'intervallo.

E:

f^{'} (x) > 0

e

f^{″} (x) > 0

\forall x \in [1; 2]

.

Scelta multipla

Soluzioni e zeri di un'equazione

Dell'equazione

3 x^{7} - 5 x + 1 = 0

, possiamo dire che:

A:

ha 7 soluzioni.

B:

ha soltanto 2 radici.

C:

ha 4 soluzioni.

D:

ha soltanto 3 zeri.

E:

non ha soluzioni.

Scelta multipla

Soluzioni di un'equazione

Dell'equazione

x^{5} - x - \frac{1}{4} = 0

possiamo dire che:

A:

ha 5 soluzioni reali.

B:

ha 3 soluzioni reali.

C:

ha 1 soluzione reale.

D:

ha 4 soluzioni reali.

E:

non ha nessuna soluzione reale.

Scelta multipla

Risoluzione approssimata di un'equazione - Metodo delle secanti

Data l'equazione

f (x) = 0

,

x \in [a; b]

, il metodo delle secanti si può applicare:

A:

soltanto se

f^{'} = 0

ha segno costante e

f (a) \cdot f (b) < 0

.

B:

soltanto se

f^{'}

e

f^{″}

hanno segno costante e concorde.

C:

soltanto se

f^{'}

e

f^{″}

hanno segno costante e discorde.

D:

se

f^{″}

ha segno costante e

f (a)

e

f (b)

sono discordi.

E:

soltanto se

f

è monotòna.

Scelta multipla

Risoluzione approssimata di un'equazione

Quale delle seguenti equazioni è risolubile in modo esatto?

A:

x^{5} + x^{4} - 1 = 0

B:

5^{x} = x^{5}

C:

e^{x} = x^{4} + 1

D:

tg x = 2 x

E:

\ln x = \log_{x} π

Scelta multipla

Risoluzione approssimata di un'equazione - Metodo iterativo

Applichiamo il metodo iterativo all'equazione

g (x) = x

, con

g (x) = \ln (2 + s e n x)

e

x \in [a; b] = [0; \frac{5}{12} π]

, scegliendo come punto iniziale

x_{0} = \frac{π}{3}

.

A:

La successione

x_{0}, x_{1}, . . ., x_{n}, . . .

è convergente perché

| x_{0} - b | < 1

.

B:

La successione

x_{0}, x_{1}, . . ., x_{n}, . . .

non converge perché

x_{0} > \frac{a + b}{2}

.

C:

La successione

x_{0}, x_{1}, . . ., x_{n}, . . .

non converge perché

| g^{'} (x) | > \frac{2}{25}

\forall x \in [a; b]

.

D:

La successione

x_{0}, x_{1}, . . ., x_{n}, . . .

è convergente perché

| g^{'} (x) | < \frac{1}{3}

\forall x \in [a; b]

.

E:

Nessuna delle affermazioni precedenti è vera.

Scelta multipla

Risoluzione approssimata di un'equazione - Metodo di bisezione

Consideriamo l'equazione

x^{3} - x - 3 = 0

,

x \in [0; 2]

. Se utilizziamo il metodo di bisezione possiamo dire che:

A:

esiste una soluzione compresa tra

1, 6

e

1, 7

con approssimazione

ε = 0, 05

.

B:

l'equazione non ha radici nell'intervallo

[0; 2]

.

C:

esiste una soluzione nell'intervallo

[0; 2]

ma non si può determinare l'approssimazione.

D:

il metodo non è applicabile perché la funzione

y = x^{3} - x - 3

non è monotona nell'intervallo

[0; 2]

.

E:

esiste una soluzione compresa tra

1, 5

e

1, 75

con approssimazione

ε = 0, 125

.

Scelta multipla

Risoluzione approssimata di un'equazione

Quale fra le seguenti equazioni è risolubile in modo esatto?

A:

\ln (x + 5) = x^{2}

.

B:

e^{2 x} = \ln (1 + x)

.

C:

x^{3} - (5 + π) x^{2} + (6 + 5 π) x - 6 π = 0

.

D:

x \ln (1 + x) = 2^{x}

.

E:

x^{2} = 4^{x}

.

Scelta multipla

Soluzioni di un'equazione

Considera le equazioni

\ln \frac{x^{2} - x + 10}{x} + 3 x - 5 = 0

e

x^{5} + x^{3} - 1 = 0

. Una delle seguenti affermazioni è vera. Quale?

A:

La prima ammette due radici reali e la seconda una.

B:

La prima ammette una radice reale e la seconda due.

C:

La prima non ha radici reali, la seconda ne ha almeno una.

D:

Hanno entrambe soltanto una soluzione reale.

E:

Nessuna delle due ha soluzioni reali.

Scelta multipla

Integrazione numerica - Metodo di Cavalieri-Simpson

Nel calcolo approssimato dell'integrale

\int_{a}^{b} f (x) d x

mediante la formula di Cavalieri-Simpson:

A:

si suddivide l'intervallo

[a; b]

utilizzando un numero dispari di punti.

B:

si esclude il punto

(b; f (b))

.

C:

si suddivide l'intervallo

[a; b]

in un numero dispari di intervalli uguali.

D:

si esclude il punto

(a; f (a))

.

E:

si suddivide l'intervallo

[a; b]

utilizzando un numero pari di punti.

Scelta multipla

Risoluzione approssimata di un'equazione

Considera le soluzioni approssimate dell'equazione

\frac{1}{2 + \cos x} = x

, con

x \in [0; \frac{π}{4}]

. Possiamo dire che:

A:

le prime tre approssimazioni calcolate con il metodo iterativo sono

0, 6

;

0, 36

;

0, 35

.

B:

il metodo del punto unito non si può applicare.

C:

le prime tre approssimazioni calcolate con il metodo dicotomico sono

0, 39

;

0, 34

;

0, 33

.

D:

le prime tre approssimazioni calcolate con il metodo delle secanti sono

0, 39

;

0, 34

;

0, 33

.

E:

le prime tre approssimazioni calcolate con il metodo delle tangenti sono

0, 33

;

0, 34

;

0, 34

.

Scelta multipla

Risoluzione approssimata di un'equazione - Metodo delle secanti

Nell'intervallo

[0; 1]

l'equazione

\cos x - x^{2} = 0

ha un'unica radice. Mediante il metodo delle secanti otteniamo un valore approssimato della soluzione con 4 cifre decimali stabili:

A:

a partire da

n = 5

.

B:

a partire da

n = 4

.

C:

a partire da

n = 3

.

D:

se dividiamo l'intervallo in 4 parti uguali.

E:

se dividiamo l'intervallo in 5 parti uguali.

Scelta multipla