Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Proporzionalità e similitudine Grandezze geometriche proporzionali Teorema della bisettrice

Teorema di Talete e criteri di similitudine

10 esercizi

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Matematica

Dimostrazione con il teorema di Talete

Traccia una retta esterna al rombo \[ABCD\] e passante per il vertice \[A\]. Questa retta interseca i prolungamenti dei lati del rombo \[BC\] e \[CD\] rispettivamente in \[F\] e in \[G\]. Dimostra che \[AF : AG = BF : AB\].

Considera i segmenti paralleli ________ tagliati dai segmenti trasversali ________. Per il ________, ________. Poiché \[ABCD\] è un rombo ________. La sostituzione di questa uguaglianza nella proporzione trovata permette di concludere la dimostrazione.

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Matematica

Problema con il teorema di Talete

Nel triangolo \[ABC\], l'altezza rispetto al lato \[AB\] è lunga 60 cm. Una retta parallela ad \[AB\] interseca i lati \[AC\] e \[BC\] rispettivamente in \[D\] e in \[F\]. Sapendo che \[\displaystyle \overline{CD} = \frac{1}{5}\overline{AD}\], determina l'altezza del triangolo \[CDF\] rispetto al lato \[DF\].

L'altezza del triangolo \[CDF\] rispetto al lato \[DF\] misura ________ cm.

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Matematica

Dimostrazione con il teorema della bisettrice

La bisettrice dell'angolo \[A\hat{C}B\] interseca il lato \[AB\] del triangolo \[ABC\] nel punto \[D\].
Considera una retta parallela al lato \[AB\] che interseca rispettivamente \[AC\], \[DC\] e \[BC\] in \[F\], \[P\] e \[G\]. Dimostra che \[AF : BG = FP : PG\].

Per il ________ applicato al triangolo ________, \[FP : PG = CF : CG\].
Inoltre, per il ________ applicato ai segmenti paralleli ________ tagliati dai segmenti trasversali ________,
________.
La proprietà transitiva dell'uguaglianza applicata alle due proporzioni trovate permette di concludere la dimostrazione.

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Matematica

Problema con il teorema della bisettrice

Dato il triangolo \[ABC\] rettangolo in \[A\] costruisci il quadrato \[APQR\] tale che \[P \in AB, Q \in BC\] e \[R \in AC\]. Sapendo che \[\overline{AC} = 5\] cm e \[\overline{AB} = 12 \] cm, determina la lunghezza di \[BQ\].

A: \[\displaystyle \overline{BQ} = \frac{156}{17} \text{cm}\]

B: \[\displaystyle \overline{BQ} = \frac{65}{17} \text{cm}\]

C: \[\displaystyle \overline{BQ} = \frac{12}{13} \text{cm}\]

D: \[\displaystyle \overline{BQ} = \frac{221}{12} \text{cm}\]

Scelta multipla

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Matematica

Dimostrazione con il primo criterio di similitudine

Il triangolo \[ABC\] ha l'angolo \[B\hat{C}A\] ottuso. Indica con \[D\] il punto di \[AB\] tale che \[A\hat{C}D \cong A\hat{B}C\]. Dimostra che il quadrato costruito sul lato \[AC\] è equivalente al rettangolo di lati \[AB\] e \[AD\].

Si vuole dimostrare che ________. I triangoli ________ hanno:
- ________ per ipotesi;
- ________ in comune.
Quindi sono simili per il ________ criterio di similitudine.
In particolare ________.
Ricordando che in una proporzione il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi, si ottiene l'uguaglianza cercata.

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Matematica

Problema sul primo criterio di similitudine

Considera il parallelogramma \[ABCD\]. Una retta parallela ad \[AB\] interseca il lato \[AD\] in \[F\], il lato \[BC\] in \[G\] e la diagonale \[BD\] in \[P\]. Il perimetro del triangolo \[ABD\] misura 40 cm, \[\overline{AB} = 15\] cm e \[\overline{FP} = 9\] cm. Determina il perimetro del triangolo \[PGB\].

Il perimetro del triangolo \[PGB\] misura ________ cm.

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Matematica

Dimostrazione con il secondo criterio di similitudine

Chiama \[ABC\] il triangolo isoscele di base \[AB\]. Una retta parallela alla base \[AB\] interseca rispettivamente i lati \[AC\] e \[BC\] in \[D\] e \[F\]. Sapendo che \[AF : AC = AD : AF\], dimostra che \[A\hat{C}F \cong A\hat{F}D\].

I triangoli ________ hanno:
- ________ per ipotesi;
- ________ in comune.
Quindi sono simili per il ________ criterio di similitudine.
In particolare ________.

Completamento chiuso

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Matematica

Problema sul secondo criterio di similitudine

Nel quadrilatero \[ABCD\], vale la proporzione \[AD : AC = AC : AB\]. Inoltre si sa che la diagonale \[AC\] è anche bisettrice dell'angolo \[B\hat{A}D\]. Sapendo che \[D\hat{A}B = 40 °\], trova l'ampiezza di \[B\hat{C}D\].

L'ampiezza dell'angolo \[B\hat{C}D\] è ________ °.

Completamento aperto

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Matematica

Dimostrazione con il terzo criterio di similitudine

Siano \[ABC\] e \[DEF\] due triangoli tali che \[AB : DE = BC : EF = CA : FD\]. Dimostra che \[A\hat{B}C \cong D\hat{E}F\].

I triangoli \[ABC\] e \[DEF\] hanno:
- ________ per ipotesi;
- ________ per ipotesi.
Quindi sono simili per il ________ criterio di similitudine.
In particolare ________.

Completamento chiuso

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Matematica

Problema sul terzo criterio di similitudine

Nel quadrilatero \[ABCD\] vale la proporzione \[AD : DC = DC : BC = AC : BD \]. Sapendo che \[A\hat{D}C = 115 °\], determina l'ampiezza di \[B\hat{C}D\].

L'ampiezza dell'angolo \[B\hat{C}D\] è ________ °.

Completamento aperto

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