Sezione C. Relazioni e funzioni #109192 - Prove ed esercizi Zanichelli

Relazioni e funzioni - Esercizio 2

Considera la funzione

f (x) = {\begin{matrix} 3 x + 2, se x < 0 \\ \frac{2}{\cos (x)}, se 0 \leq x < \frac{π}{2} \\ \sin (x), se x \geq \frac{π}{2} \end{matrix}

.
Essa

A:

è discontinua in x = 0 e in x =

\frac{π}{2}

.

B:

è continua su

] - \infty, + \infty [

.

C:

è discontinua in x =

\frac{π}{2}

dove presenta un salto finito.

D:

è discontinua in x =

\frac{π}{2}

dove presenta un salto infinito.

Scelta multipla

Relazioni e funzioni - Esercizio 1

Considera la funzione

f (x) = {\begin{matrix} 2 \cos (x), se x < 0 \\ 2, se x = 0 \\ 3 e^{x} - 1, se x > 0 \end{matrix}

.
Essa

A:

è continua su

] - \infty, + \infty [

.

B:

presenta una discontinuità eliminabile in x = 0.

C:

è discontinua in x = 0 dove presenta un salto finito.

D:

è discontinua in x = 0 dove presenta un salto infinito.

Scelta multipla

Relazioni e funzioni - Esercizio 3

Considera la funzione

f (x) = {\begin{matrix} a x^{2} - b e^{x}, se x < 0 \\ a + b, se x = 0 \\ 3 - a x, se x > 0 \end{matrix}

.
Determina i valori di a e di b che rendono ƒ continua su

] - \infty, + \infty [

.
a = ________ e b = ________

Completamento aperto

Relazioni e funzioni - Esercizio 6

Il

lim_{x \to + \infty} \frac{3 x^{3} - x^{2} + 2}{4 x - 2 x^{3} + 1}

A:

è uguale a

- \frac{3}{2}

.

B:

è uguale a

\frac{3}{4}

.

C:

è uguale a

+ \infty

.

D:

non esiste.

Scelta multipla

Relazioni e funzioni - Esercizio 4

Indica se ciascuna delle seguenti proposizioni è vera o falsa.

A:

La funzione ƒ(x) = ln(3x) + x ammette uno e un solo zero nell'intervallo

[\frac{1}{10}, \frac{1}{3}]

.

B:

La funzione ƒ(x) = x² – x – 3 non ammette alcuno zero nell'intervallo [ –10, 10].

C:

La funzione ƒ(x) = x⁷ – x – 1 ammette almeno uno zero nell'intervallo [1, 2].

Vero o falso

Relazioni e funzioni - Esercizio 8

Indica se ciascuna delle seguenti proposizioni è vera o falsa.

A:

Condizione necessaria affinché una funzione sia derivabile in un punto x₀ del suo dominio è che sia continua in x₀.

B:

La funzione ƒ(x) = |x³ – 1| è derivabile nel suo dominio naturale.

C:

La funzione ƒ(x) = x sin(x) è derivabile nel suo dominio naturale.

Vero o falso

Relazioni e funzioni - Esercizio 5

Il

lim_{x \to 2} \frac{3}{x - 2}

A:

è uguale a

+ \infty

.

B:

è uguale a

- \infty

.

C:

è uguale a 0.

D:

non esiste.

Scelta multipla

Relazioni e funzioni - Esercizio 7

Un'equazione della retta tangente al grafico della funzione ƒ(x) = 3x³ – 2x² + x – 5 in x = 1 è:

A:

y = –6x + 9.

B:

y = 6x – 9.

C:

y = –6x – 9.

D:

y = 6x + 9.

Scelta multipla

Relazioni e funzioni - Esercizio 13

Quanto vale l'area della regione finita di piano delimitata dalle due parabole di equazione y = 2x² e y = –x² + 3?
A = ________

Completamento aperto

Relazioni e funzioni - Esercizio 11

Il

lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sin (x) - \cos (x)}{2 x - \frac{π}{2}}

:

A:

non esiste.

B:

è

+ \infty

.

C:

è

\frac{\sqrt{2}}{2}

.

D:

è 1.

Scelta multipla

Relazioni e funzioni - Esercizio 9

Considera la funzione

f (x) = {\begin{matrix} - a x^{3} - 2 b x + 2 a, se x \leq 0 \\ a \sin (x) - b \cos (x) + 2 x, se x > 0 \end{matrix}

.
I due numeri a e b che la rendono derivabile sull'insieme dei numeri reali sono:

A:

a = 0 e b = 1.

B:

a = 1 e b = 0.

C:

a =

\frac{2}{3}

e b =

- \frac{4}{3}

.

D:

a =

- \frac{4}{3}

e b =

\frac{2}{3}

.

Scelta multipla

Relazioni e funzioni - Esercizio 16

Qual è il valor medio della funzione ƒ(x) = sin(2x) sull'intervallo

[0, \frac{π}{2}]

?

A:

\frac{2}{π}

B:

\frac{π}{2}

C:

0

D:

1

Scelta multipla

Relazioni e funzioni - Esercizio 15

Calcola

\int (x e^{- \frac{x}{2}}) d x

:

A:

(- 2 x - 4) e^{- \frac{x}{2}} + c

.

B:

(- 2 x - 4) e^{- \frac{x}{2}}

.

C:

- \frac{x^{2}}{4} e^{- \frac{x}{2}}

.

D:

- \frac{x^{2}}{4} e^{- \frac{x}{2}} + c

.

Scelta multipla

Relazioni e funzioni - Esercizio 14

Quanto vale l'integrale definito

\int_{0}^{π} \sin (3 x) d x

?

A:

0

B:

3

C:

\frac{1}{3}

D:

\frac{2}{3}

Scelta multipla

Relazioni e funzioni - Esercizio 12

Determina per quali valori reali dei parametri a e b il grafico della funzione ƒ(x) = 3ax³ – 2bx² – 3x ha un estremo relativo in A(1, –3). (Esprimi b sotto forma di numero decimale.)
a = ________ e b = ________

Completamento aperto

Relazioni e funzioni - Esercizio 10

La derivata di ƒ(x) = x² ln(2x + 4) per ogni x > – 2 è:

A:

f^{'} (x) = 2 x + \frac{1}{2 x + 4}

.

B:

f^{'} (x) = \frac{1}{2 x + 4}

.

C:

f^{'} (x) = 2 x \ln (2 x + 4) + \frac{x^{2}}{2 x + 4}

.

D:

f^{'} (x) = 2 x \ln (2 x + 4) + \frac{x^{2}}{x + 2}

.

Scelta multipla

Relazioni e funzioni - Esercizio 17

Indica se ciascuna delle seguenti proposizioni è vera o falsa.

A:

\int_{0}^{+ \infty} (x^{3} e^{- x}) d x

non esiste.

B:

Se

F (x) = \int_{0}^{x} (t + e^{- t^{2}}) d t

allora F'(x) = 1 – 2xe^-x².

C:

Il grafico della funzione integrale

F (x) = \int_{0}^{x} \frac{1}{t^{4} + 1} d t

ha due asintoti orizzontali.

Vero o falso