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Matematica

Operazioni
Considera le funzioni: f:(x;y)x+y2,conx,yNg:(x;y)xy,conx,yN{0}h:(x;y)M.C.D.(x,y)conx,yN Quali di esse definiscono un'operazione binaria in N?
A: f e g.
B: Tutte e tre.
C: g e h.
D: f e h.
E: Nessuna delle tre.
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Matematica

Operazioni
Sono date le funzioni: f:(x;y)max(x,y),conx,yNg:x3x,conxNh:(x;y)x+y2conx,yN. Quali di esse definiscono un'operazione binaria in R?
A: f e g.
B: Tutte e tre.
C: g e h.
D: f e h.
E: Nessuna delle tre.
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Operazioni
Considera le funzioni: f:(x;y)|xy|,conx,yRg:xx5,conxRh:x|x|conxR. Quali di esse definiscono una legge di composizione interna in R?
A: g e h.
B: f e h.
C: f e g.
D: Soltanto g.
E: Soltanto f.
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Matematica

Operazioni
In un piano sono date le seguenti funzioni:
f, che a ogni coppia di punti (A; B) associa il punto medio M del segmento AB;
g, che a ogni coppia di punti  (A; B) associa il numero reale non negativo che rappresenta la misura della lunghezza del segmento AB rispetto a una data unità di misura;
h, che a ogni coppia di punti (A; B) associa il punto Q del segmento AB che lo divide in due
parti che stanno nel rapporto dato: AQ¯QB¯=q. Quali di esse sono operazioni interne?
A: f e h.
B: g e h.
C: Tutte e tre.
D: Nessuna delle tre.
E: Soltanto g.
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Matematica

Operazioni - Tabelle delle operazioni
È data la struttura costituita dall'insieme A = {m, p, q, t, s} e dall'operazione definita dalla tabella a lato. Una delle seguenti proposizioni è vera. Quale?
A: ∗ è commutativa e q è l'elemento neutro.
B: m è l'elemento neutro e q è il simmetrico di p.
C: s è l'elemento neutro e l'operazione è commutativa.
D: (qs) ∗ pq ∗ (sp).
E: q è l'elemento neutro e per ogni elemento esiste il simmetrico.
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Matematica

Operazioni
Considera la seguente operazione in N{0}: x,yN{0}xy=xy. L'operazione è:
A: commutativa e non associativa.
B: associativa e non commutativa.
C: associativa e commutativa.
D: commutativa e non ammette elemento neutro.
E: non commutativa e non associativa.
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Matematica

Strutture e loro proprietà
Sono date le seguenti funzioni: f:x|x|,conxRg:(x;y)min(x,y),conx,yRh:(x;y)xyx,conx,yRQuale delle seguenti proposizioni è falsa?
A: f non è un'operazione (binaria), h è un'operazione non commutativa.
B: h è un'operazione commutativa.
C: h è un'operazione non associativa, g non ammette elemento neutro.
D: g è un'operazione commutativa, f non è un'operazione (binaria).
E: g è un'operazione commutativa.
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Matematica

Strutture isomorfe
Nelle tabelle sono definite le operazioni delle due strutture (A, ∗) e (B, ⊥), con A = {3, 9, 27} e B = {2, 4, 8} Una delle seguenti corrispondenze fra gli elementi di A e di B è un isomorfismo. Quale?
A: 3 ↔ 2, 9 ↔ 8, 27 ↔ 4.
B: 3 ↔ 8, 9 ↔ 4, 27 ↔ 2.
C: 3 ↔ 4, 9 ↔ 8, 27 ↔ 2.
D: 3 ↔ 2, 9 ↔ 4, 27 ↔ 8.
E: 3 ↔ 4, 9 ↔ 2, 27 ↔ 8.
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Matematica

Strutture isomorfe
Considera le strutture date dalle tabelle. Possiamo affermare che:
A: sono isomorfe solo (A, ∗, ⊥) e (C, ∧, ⊗).
B: sono isomorfe solo (A, ∗, ⊥) e (B, ⊕, #).
C: sono isomorfe solo (B, ⊕, #) e (C, ∧, ⊗).
D: nessuna delle tre è isomorfa alle altre.
E: sono tutte e tre isomorfe.
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Matematica

Strutture e loro proprietà
È data la struttura costituita dall'insieme
A = {a, b, c} e dalle operazioni definite dalle tabelle a lato. I risultati delle espressioni:
1. a ∗ [(b ⊥ a ) ∗ (b ⊥ c)],
2. a ∗ [b ⊥ (ac)]
sono rispettivamente:
A: a, c.
B: a, b.
C: c, a .
D: c, b.
E: c, c.
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Matematica

Strutture e loro proprietà
È data la struttura costituita dall'insieme A = {a, b, c} e dalle operazioni definite dalle tabelle a lato. In quali delle seguenti espressioni è applicata la proprietà distributiva di ⊥ rispetto a ∗?
1. (b ⊥ c) ∗ [a ⊥ (a ∗ c)] = (b ⊥ c) ∗ [(a ⊥ a) ∗ (a ⊥ c)];
2. b ∗ [a ∗ (c ⊥ a)] = b ∗ [(a ∗ c) ⊥ (a ∗ a)];
3. (c ∗ a) ⊥ (a ∗ b) = [(c ∗ a) ⊥ a] ∗ [(c ∗ a) ⊥ b].
A: In nessuna delle tre.
B: In tutte e tre.
C: In 1 e 2.
D: In 1 e 3.
E: In 2 e 3.
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Matematica

Anelli e campi
Considera le strutture: (N4,+,×) e (N5,+,×). Quale fra i seguenti enunciati è vero?
A: N4 è anello commutativo; N5 è soltanto anello.
B: Entrambe sono soltanto anelli commutativi unitari.
C: Sono entrambe campi.
D: N4 è anello non commutativo unitario; N5 è campo.
E: N4 è anello commutativo unitario; N5 è campo.
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Matematica

Anelli e campi
È data la struttura a lato. Solo una delle seguenti proposizioni è vera. Quale?
A: (L, +, × ) è un anello e non è un campo.
B: × non è distributiva rispetto a +.
C: (L, +, × ) è un anello commutativo e non è un campo.
D: (L, +, × ) è un anello unitario e non è un campo.
E: (L, +, × ) è un campo.
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Matematica

Strutture algebriche e loro proprietà
Fra le seguenti coppie di insiemi e operazioni:
1. (Np,+), Np={p|pN,ppari},
2. (Nd,+), Nd={d|dN,ddispari},
3. (Nd,×), Nd={d|dN,ddispari},
quali sono strutture algebriche?
A: 1 e 3.
B: 1 e 2.
C: Tutte e tre.
D: Nessuna delle tre.
E: 2 e 3.
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Strutture algebriche e loro proprietà
È data la struttura costituita dall'insieme A = {a, b, c, d} e dall'operazione definita dalla tabella a lato. Una delle seguenti proposizioni è falsa. Quale?
A: Non esiste l'elemento neutro.
B: (cc) ∗ c = c.
C: b ∗ (bb) = a.
D: Nessun elemento è dotato di simmetrico.
E: L'operazione è associativa.
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Matematica

Struttura di gruppo
Uno dei seguenti enunciati è falso. Quale? In ogni gruppo:
A: l'elemento neutro è unico.
B: l'operazione è interna, associativa e ammette l'elemento neutro.
C: per ogni elemento esiste il simmetrico.
D: l'operazione è associativa.
E: l'operazione è commutativa.
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Operazioni - Tabelle delle operazioni
È data la struttura costituita dall'insieme A = {a, b, c, d} e dall'operazione definita dalla tabella a lato. Una delle seguenti proposizioni è falsa. Quale?
A: [a ∗ (a ∗ c)] ∗ d = (a ∗ a) ∗ (c ∗ d).
B: (a ∗ d) ∗ (a ∗ c) = a ∗ [d ∗ (a ∗ c)].
C: a ∗ [a ∗ (c ∗ d)] = (a ∗ a) ∗ (c ∗ d).
D: (a ∗ d) ∗ (a ∗ a) = (a ∗ a) ∗ (c ∗ d).
E: (a ∗ a) ∗ (c ∗ d) = (a ∗ c) ∗ (a ∗ d).
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Matematica

Operazioni - Tabelle delle operazioni
È data la struttura indicata nella tabella a lato. Una soltanto delle seguenti proposizioni è vera. Quale?
A: ∗ è commutativa e non è associativa.
B: La struttura è un gruppo.
C: Esiste l'elemento neutro ma alcuni elementi
non hanno il simmetrico.
D: ∗ non è commutativa.
E: ∗ non ammette elemento neutro.
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Matematica

Operazioni
Considera la seguente operazione definita in R: x,yRxy=xy2. Possiamo affermare che:
A: ⊗ è commutativa e non associativa.
B: ⊗ è associativa non commutativa.
C: ( - {0}, ⊗) è un gruppo abeliano.
D: 2 è l'elemento neutro e per ogni elemento di esiste il simmetrico.
E: (, ⊗) è un gruppo abeliano.
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Matematica

Operazioni
Considera l'insieme A = {1, - 1, i, -i} munito dell'ordinaria moltiplicazione ⋅ fra numeri complessi. Una sola delle seguenti proposizioni è falsa. Quale?
A: ⋅ è associativa.
B: ⋅ è una legge di composizione interna.
C: (A, ⋅) non è un gruppo.
D: ⋅ è commutativa.
E: 1 è l'elemento neutro.
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Struttura di gruppo
È dato il gruppo abeliano costituito dall'insieme A = {0, 1, 2, 3, 4} e dall'operazione definita dalla tabella a lato. Esamina  l'equazione: 2 ∗ 0 ∗ x = 4. Possiamo dire che:
A: ha per soluzioni tutti gli elementi di A tranne 4.
B: non ha alcuna soluzione.
C: ha per soluzioni tutti gli elementi di A.
D: ammette la soluzione x = 4.
E: ammette la soluzione x = 2.
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Operazioni - Tabelle delle operazioni
Una soltanto delle seguenti tabelle rappresenta la moltiplicazione in N4. Quale?
A:
B:
C:
D:
E:
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Matematica

Vettori nel piano
Due segmenti orientati appresentano lo stesso vettore se:
A: sono equipollenti.
B: hanno lo stesso verso.
C: sono congruenti.
D: sono adiacenti.
E: sono paralleli.
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Spazi vettoriali
In uno spazio vettoriale reale, quale delle seguenti uguaglianze è falsa?
A: v+v=v
B: v+v=0
C: 1v=v
D: 1v=v
E: 0v=0
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Matematica

Spazi vettoriali
La combinazione lineare dei vettori (3; 1), (0; 2), (−1;1) ∈ R2 di coefficienti 1, −1, 2 è:
A: il vettore (1; 1).
B: lo scalare 1.
C: lo scalare 2.
D: il vettore (7; 3).
E: il vettore (−5; −1).
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Vettori nel piano
La somma di due vettori aventi la stessa direzione è un vettore:
A: che ha direzione perpendicolare alla direzione data.
B: che ha modulo sempre uguale alla somma dei moduli.
C: che ha verso sempre uguale al verso del secondo dei due vettori dati.
D: che ha modulo uguale alla differenza dei moduli se i vettori hanno versi opposti.
E: che ha verso sempre uguale al verso del primo dei due vettori dati.
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Matematica

Vettori nel piano
Il prodotto di un vettore non nullo per uno scalare non nullo:
A: è uno scalare.
B: ha la stessa direzione del vettore dato.
C: ha sempre lo stesso verso del vettore dato.
D: ha sempre verso opposto a quello del vettore dato.
E: ha modulo doppio di quello del vettore dato.
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Spazi vettoriali
L'insieme R2 è uno spazio vettoriale su R con le usuali operazioni:
A: che ammette basi con 3 elementi.
B: di dimensione 2.
C: che ammette come base ortogonale l'insieme costituito dai vettori c=(1;2)
e d=(2;1).
D: che ammette come base l'insieme formato dai due vettori e .
E: di dimensione 22.
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Vettori linearmente dipendenti e linearmente indipendenti
Quale fra i seguenti insiemi di vettori di R3 è formato da vettori linearmente indipendenti?
A: {(1; 0; 0), (0; 0; 0), (0; 0; 1)}
B: {(1; 1; 1), (1; 1; 0), (1; 0; 0)}
C: {(1; 1; 0), (1; −1; 0), (2; 0; 0)}
D: {(1; 0; 1), (−1; 1; 0), (2; 1; 3)}
E: {(1; 2; 3), (1; 0; 0), (1; 1; 0), (1; −1; 2)}
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Spazi vettoriali
Quale fra i seguenti insiemi di vettori è una base di R2?
A: {(1; 2), (2; 4)}
B: {(0; 0), (1; 0)}
C: {(1; 1), (1; −1), (1; 0)}
D: {(1; 1), (1; 0)}
E: {(1; 0), (0; 1), (−1; −1)}
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Spazi vettoriali
Quale fra i seguenti insiemi di vettori è una base di R3?
A: {(1; 1; 1), (2; 2; 0), (3; 0; 0)}
B: {(1; 0; 0), (0; 1; 0)}
C: {(1; 2; 3), (1; −1; 0), (1; 0; 0), (1; −1; 1)}
D: {(1; −5; 3), (7; 2; 1), (6; 7; −2)}
E: {(1; 0; 0), (1; 1; 0)}
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Spazi vettoriali
Quale dei seguenti insiemi di vettori è una base ortonormale di R3?
A: {(13;13;13),(12;12;0),(16;16;26)}
B: {(1;1;1),(1;1;0),(1;0;0)}
C: {(13;13;13),(12;12;0),(16;16;26)}
D: {(13;13;13),(12;12;0),(1;0;0)}
E: {(113;113;113),(12;12;0),(0;1;0)}
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Matematica

Spazi vettoriali
La matrice quadrata A=[32134] ha componenti (3;2;5;1) rispetto alla base:
A: {[1111],[1110],[1100],[1000]}.
B: {[1000],[0100],[0010],[0001]}.
C: {[0002],[0033],[0444],[5555]}.
D: {[1232],[1100],[1010],[1122]}.
E: {[1232],[1010],[1100],[1122]}.
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Spazi vettoriali
Il vettore (4; 3; −2) ha componenti (1; 3; 3) rispetto alla base:
A: {(1; 1; 1), (1; 1; 0), (1; 0; 0)}.
B: {(1; 0; 0), (0; 1; 0), (0; 0; 1)}.
C: {(1; 0; 1), (1; 0; 1), (0; 1; 0)}.
D: {(1; 0; 1), (1; 0; −1), (0; 1; 0)}.
E: {(1; 0; 1), (1; 0; − 1), (0; 0; 1)}.
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Matematica

Vettori linearmente dipendenti e linearmente indipendenti
Le matrici: A=[i01i], B=[1201], C=[1111] sono:
A: tali che A = iB + C.
B: tali che B = A - C.
C: linearmente dipendenti.
D: linearmente indipendenti.
E: tali che C = A - B.
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