Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Collegamenti Strutture algebriche Strutture e loro proprietà

Le strutture algebriche e gli spazi vettoriali

35 esercizi

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Matematica

Operazioni

Considera le funzioni:

\begin{matrix} f : (x; y) \mapsto \frac{x + y}{2}, c o n x, y \in N \\ g : (x; y) \mapsto x^{y}, c o n x, y \in N - {0} \\ h : (x; y) \mapsto M . C . D . (x, y) c o n x, y \in N \end{matrix}

Quali di esse definiscono un'operazione binaria in

N

A: f e g.

B: Tutte e tre.

C: g e h.

D: f e h.

E: Nessuna delle tre.

Scelta multipla

Il punteggio di un esercizio è determinato
dalla difficoltà: da 1 (più facile) a 5 (più
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Matematica

Operazioni

Sono date le funzioni:

\begin{matrix} f : (x; y) \mapsto m a x (x, y), c o n x, y \in N \\ g : x \mapsto 3 x, c o n x \in N \\ h : (x; y) \mapsto \frac{x + y}{2} c o n x, y \in N \end{matrix}

. Quali di esse definiscono un'operazione binaria in

R

A: f e g.

B: Tutte e tre.

C: g e h.

D: f e h.

E: Nessuna delle tre.

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Matematica

Operazioni

Considera le funzioni:

\begin{matrix} f : (x; y) \mapsto \sqrt{| x y |}, c o n x, y \in R \\ g : x \mapsto x^{5}, c o n x \in R \\ h : x \mapsto \sqrt{| x |} c o n x \in R \end{matrix}

. Quali di esse definiscono una legge di composizione interna in

R

A: g e h.

B: f e h.

C: f e g.

D: Soltanto g.

E: Soltanto f.

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Matematica

Operazioni

In un piano sono date le seguenti funzioni:
f, che a ogni coppia di punti (A; B) associa il punto medio M del segmento AB;
g, che a ogni coppia di punti (A; B) associa il numero reale non negativo che rappresenta la misura della lunghezza del segmento AB rispetto a una data unità di misura;
h, che a ogni coppia di punti (A; B) associa il punto Q del segmento AB che lo divide in due
parti che stanno nel rapporto dato:

\frac{\bar{A Q}}{\bar{Q B}} = q

. Quali di esse sono operazioni interne?

A: f e h.

B: g e h.

C: Tutte e tre.

D: Nessuna delle tre.

E: Soltanto g.

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Matematica

Operazioni - Tabelle delle operazioni

È data la struttura costituita dall'insieme A = {m, p, q, t, s} e dall'operazione definita dalla tabella a lato. Una delle seguenti proposizioni è vera. Quale?

A: ∗ è commutativa e q è l'elemento neutro.

B: m è l'elemento neutro e q è il simmetrico di p.

C: s è l'elemento neutro e l'operazione è commutativa.

D: (q ∗ s) ∗ p ≠ q ∗ (s ∗ p).

E: q è l'elemento neutro e per ogni elemento esiste il simmetrico.

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Matematica

Operazioni

Considera la seguente operazione in

N - {0}

\forall x, y \in N - {0} x \otimes y = x^{y}

. L'operazione

\otimes

è:

A: commutativa e non associativa.

B: associativa e non commutativa.

C: associativa e commutativa.

D: commutativa e non ammette elemento neutro.

E: non commutativa e non associativa.

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Matematica

Strutture e loro proprietà

Sono date le seguenti funzioni:

\begin{matrix} f : x \mapsto | x |, c o n x \in R \\ g : (x; y) \mapsto m i n (x, y), c o n x, y \in R \\ h : (x; y) \mapsto x y - x, c o n x, y \in R \end{matrix}

Quale delle seguenti proposizioni è falsa?

A: f non è un'operazione (binaria), h è un'operazione non commutativa.

B: h è un'operazione commutativa.

C: h è un'operazione non associativa, g non ammette elemento neutro.

D: g è un'operazione commutativa, f non è un'operazione (binaria).

E: g è un'operazione commutativa.

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Matematica

Strutture isomorfe

Nelle tabelle sono definite le operazioni delle due strutture (A, ∗) e (B, ⊥), con A = {3, 9, 27} e B = {2, 4, 8} Una delle seguenti corrispondenze fra gli elementi di A e di B è un isomorfismo. Quale?

A: 3 ↔ 2, 9 ↔ 8, 27 ↔ 4.

B: 3 ↔ 8, 9 ↔ 4, 27 ↔ 2.

C: 3 ↔ 4, 9 ↔ 8, 27 ↔ 2.

D: 3 ↔ 2, 9 ↔ 4, 27 ↔ 8.

E: 3 ↔ 4, 9 ↔ 2, 27 ↔ 8.

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Matematica

Strutture isomorfe

Considera le strutture date dalle tabelle. Possiamo affermare che:

A: sono isomorfe solo (A, ∗, ⊥) e (C, ∧, ⊗).

B: sono isomorfe solo (A, ∗, ⊥) e (B, ⊕, #).

C: sono isomorfe solo (B, ⊕, #) e (C, ∧, ⊗).

D: nessuna delle tre è isomorfa alle altre.

E: sono tutte e tre isomorfe.

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Matematica

Strutture e loro proprietà

È data la struttura costituita dall'insieme
A = {a, b, c} e dalle operazioni definite dalle tabelle a lato. I risultati delle espressioni:
1. a ∗ [(b ⊥ a ) ∗ (b ⊥ c)],
2. a ∗ [b ⊥ (a ∗ c)]
sono rispettivamente:

A: a, c.

B: a, b.

C: c, a .

D: c, b.

E: c, c.

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Matematica

Strutture e loro proprietà

È data la struttura costituita dall'insieme A = {a, b, c} e dalle operazioni definite dalle tabelle a lato. In quali delle seguenti espressioni è applicata la proprietà distributiva di ⊥ rispetto a ∗?
1. (b ⊥ c) ∗ [a ⊥ (a ∗ c)] = (b ⊥ c) ∗ [(a ⊥ a) ∗ (a ⊥ c)];
2. b ∗ [a ∗ (c ⊥ a)] = b ∗ [(a ∗ c) ⊥ (a ∗ a)];
3. (c ∗ a) ⊥ (a ∗ b) = [(c ∗ a) ⊥ a] ∗ [(c ∗ a) ⊥ b].

A: In nessuna delle tre.

B: In tutte e tre.

C: In 1 e 2.

D: In 1 e 3.

E: In 2 e 3.

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Matematica

Anelli e campi

Considera le strutture:

(N_{4}, +, \times)

(N_{5}, +, \times)

. Quale fra i seguenti enunciati è vero?

N_{4}

è anello commutativo;

N_{5}

è soltanto anello.

B: Entrambe sono soltanto anelli commutativi unitari.

C: Sono entrambe campi.

N_{4}

è anello non commutativo unitario;

N_{5}

è campo.

N_{4}

è anello commutativo unitario;

N_{5}

è campo.

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Matematica

Anelli e campi

È data la struttura a lato. Solo una delle seguenti proposizioni è vera. Quale?

A: (L, +, × ) è un anello e non è un campo.

B: × non è distributiva rispetto a +.

C: (L, +, × ) è un anello commutativo e non è un campo.

D: (L, +, × ) è un anello unitario e non è un campo.

E: (L, +, × ) è un campo.

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Matematica

Strutture algebriche e loro proprietà

Fra le seguenti coppie di insiemi e operazioni:
1.

(N_{p}, +)

N_{p} = {p | p \in N, p pari}

,
2.

(N_{d}, +)

N_{d} = {d | d \in N, d dispari}

,
3.

(N_{d}, \times)

N_{d} = {d | d \in N, d dispari}

,
quali sono strutture algebriche?

A: 1 e 3.

B: 1 e 2.

C: Tutte e tre.

D: Nessuna delle tre.

E: 2 e 3.

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Matematica

Strutture algebriche e loro proprietà

È data la struttura costituita dall'insieme A = {a, b, c, d} e dall'operazione definita dalla tabella a lato. Una delle seguenti proposizioni è falsa. Quale?

A: Non esiste l'elemento neutro.

B: (c ∗ c) ∗ c = c.

C: b ∗ (b ∗ b) = a.

D: Nessun elemento è dotato di simmetrico.

E: L'operazione è associativa.

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Matematica

Struttura di gruppo

Uno dei seguenti enunciati è falso. Quale? In ogni gruppo:

A: l'elemento neutro è unico.

B: l'operazione è interna, associativa e ammette l'elemento neutro.

C: per ogni elemento esiste il simmetrico.

D: l'operazione è associativa.

E: l'operazione è commutativa.

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Matematica

Operazioni - Tabelle delle operazioni

È data la struttura costituita dall'insieme A = {a, b, c, d} e dall'operazione definita dalla tabella a lato. Una delle seguenti proposizioni è falsa. Quale?

A: [a ∗ (a ∗ c)] ∗ d = (a ∗ a) ∗ (c ∗ d).

B: (a ∗ d) ∗ (a ∗ c) = a ∗ [d ∗ (a ∗ c)].

C: a ∗ [a ∗ (c ∗ d)] = (a ∗ a) ∗ (c ∗ d).

D: (a ∗ d) ∗ (a ∗ a) = (a ∗ a) ∗ (c ∗ d).

E: (a ∗ a) ∗ (c ∗ d) = (a ∗ c) ∗ (a ∗ d).

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Matematica

Operazioni - Tabelle delle operazioni

È data la struttura indicata nella tabella a lato. Una soltanto delle seguenti proposizioni è vera. Quale?

A: ∗ è commutativa e non è associativa.

B: La struttura è un gruppo.

C: Esiste l'elemento neutro ma alcuni elementi
non hanno il simmetrico.

D: ∗ non è commutativa.

E: ∗ non ammette elemento neutro.

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Matematica

Operazioni

Considera la seguente operazione definita in

R

\forall x, y \in R x \otimes y = \frac{x \cdot y}{2}

. Possiamo affermare che:

A: ⊗ è commutativa e non associativa.

B: ⊗ è associativa non commutativa.

C: ( - {0}, ⊗) è un gruppo abeliano.

D: 2 è l'elemento neutro e per ogni elemento di esiste il simmetrico.

E: (, ⊗) è un gruppo abeliano.

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Operazioni

Considera l'insieme A = {1, - 1, i, -i} munito dell'ordinaria moltiplicazione ⋅ fra numeri complessi. Una sola delle seguenti proposizioni è falsa. Quale?

A: ⋅ è associativa.

B: ⋅ è una legge di composizione interna.

C: (A, ⋅) non è un gruppo.

D: ⋅ è commutativa.

E: 1 è l'elemento neutro.

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Matematica

Struttura di gruppo

È dato il gruppo abeliano costituito dall'insieme A = {0, 1, 2, 3, 4} e dall'operazione definita dalla tabella a lato. Esamina l'equazione: 2 ∗ 0 ∗ x = 4. Possiamo dire che:

A: ha per soluzioni tutti gli elementi di A tranne 4.

B: non ha alcuna soluzione.

C: ha per soluzioni tutti gli elementi di A.

D: ammette la soluzione x = 4.

E: ammette la soluzione x = 2.

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Operazioni - Tabelle delle operazioni

Una soltanto delle seguenti tabelle rappresenta la moltiplicazione in

N_{4}

. Quale?

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Matematica

Vettori nel piano

Due segmenti orientati appresentano lo stesso vettore se:

A: sono equipollenti.

B: hanno lo stesso verso.

C: sono congruenti.

D: sono adiacenti.

E: sono paralleli.

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Matematica

Spazi vettoriali

In uno spazio vettoriale reale, quale delle seguenti uguaglianze è falsa?

\vec{v} + \vec{v} = \vec{v}

- \vec{v} + \vec{v} = \vec{0}

1 \cdot - \vec{v} = - \vec{v}

- 1 \cdot \vec{v} = - \vec{v}

0 \cdot \vec{v} = \vec{0}

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Matematica

Spazi vettoriali

La combinazione lineare dei vettori (3; 1), (0; 2), (−1;1) ∈

R^{2}

di coefficienti 1, −1, 2 è:

A: il vettore (1; 1).

B: lo scalare 1.

C: lo scalare 2.

D: il vettore (7; 3).

E: il vettore (−5; −1).

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Matematica

Vettori nel piano

La somma di due vettori aventi la stessa direzione è un vettore:

A: che ha direzione perpendicolare alla direzione data.

B: che ha modulo sempre uguale alla somma dei moduli.

C: che ha verso sempre uguale al verso del secondo dei due vettori dati.

D: che ha modulo uguale alla differenza dei moduli se i vettori hanno versi opposti.

E: che ha verso sempre uguale al verso del primo dei due vettori dati.

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Matematica

Vettori nel piano

Il prodotto di un vettore non nullo per uno scalare non nullo:

A: è uno scalare.

B: ha la stessa direzione del vettore dato.

C: ha sempre lo stesso verso del vettore dato.

D: ha sempre verso opposto a quello del vettore dato.

E: ha modulo doppio di quello del vettore dato.

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Matematica

Spazi vettoriali

L'insieme

R^{2}

è uno spazio vettoriale su

R

con le usuali operazioni:

A: che ammette basi con 3 elementi.

B: di dimensione 2.

C: che ammette come base ortogonale l'insieme costituito dai vettori

\vec{c} = (1; - 2)

\vec{d} = (- 2; 1)

D: che ammette come base l'insieme formato dai due vettori e .

E: di dimensione 2².

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Matematica

Vettori linearmente dipendenti e linearmente indipendenti

Quale fra i seguenti insiemi di vettori di

R^{3}

è formato da vettori linearmente indipendenti?

A: {(1; 0; 0), (0; 0; 0), (0; 0; 1)}

B: {(1; 1; 1), (1; 1; 0), (1; 0; 0)}

C: {(1; 1; 0), (1; −1; 0), (2; 0; 0)}

D: {(1; 0; 1), (−1; 1; 0), (2; 1; 3)}

E: {(1; 2; 3), (1; 0; 0), (1; 1; 0), (1; −1; 2)}

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Matematica

Spazi vettoriali

Quale fra i seguenti insiemi di vettori è una base di

R^{2}

A: {(1; 2), (2; 4)}

B: {(0; 0), (1; 0)}

C: {(1; 1), (1; −1), (1; 0)}

D: {(1; 1), (1; 0)}

E: {(1; 0), (0; 1), (−1; −1)}

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Matematica

Spazi vettoriali

Quale fra i seguenti insiemi di vettori è una base di

R^{3}

A: {(1; 1; 1), (2; 2; 0), (3; 0; 0)}

B: {(1; 0; 0), (0; 1; 0)}

C: {(1; 2; 3), (1; −1; 0), (1; 0; 0), (1; −1; 1)}

D: {(1; −5; 3), (7; 2; 1), (6; 7; −2)}

E: {(1; 0; 0), (1; 1; 0)}

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Matematica

Spazi vettoriali

Quale dei seguenti insiemi di vettori è una base ortonormale di

R^{3}

{(\frac{1}{\sqrt{3}}; \frac{1}{\sqrt{3}}; \frac{1}{\sqrt{3}}), (\frac{1}{\sqrt{2}}; \frac{1}{\sqrt{2}}; 0), (\frac{1}{\sqrt{6}}; \frac{1}{\sqrt{6}}; \frac{2}{\sqrt{6}})}

{(1; 1; 1), (1; 1; 0), (1; 0; 0)}

{(\frac{1}{\sqrt{3}}; \frac{1}{\sqrt{3}}; \frac{1}{\sqrt{3}}), (\frac{1}{\sqrt{2}}; \frac{1}{\sqrt{2}}; 0), (\frac{1}{\sqrt{6}}; \frac{1}{\sqrt{6}}; - \frac{2}{\sqrt{6}})}

{(\frac{1}{\sqrt{3}}; \frac{1}{\sqrt{3}}; \frac{1}{\sqrt{3}}), (\frac{1}{\sqrt{2}}; \frac{1}{\sqrt{2}}; 0), (1; 0; 0)}

{(\frac{1}{\sqrt{13}}; \frac{1}{\sqrt{13}}; \frac{1}{\sqrt{13}}), (\frac{1}{\sqrt{2}}; \frac{1}{\sqrt{2}}; 0), (0; 1; 0)}

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Matematica

Spazi vettoriali

La matrice quadrata

A = [\begin{matrix} - 3 & 2 \\ - 13 & - 4 \end{matrix}]

ha componenti

(3; - 2; 5; 1)

rispetto alla base:

{[\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}], [\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}], [\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}], [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}]}

{[\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}], [\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}], [\begin{matrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix}], [\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]}

{[\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix}], [\begin{matrix} 0 & 0 \\ 3 & 3 \end{matrix}], [\begin{matrix} 0 & 4 \\ 4 & 4 \end{matrix}], [\begin{matrix} 5 & 5 \\ 5 & 5 \end{matrix}]}

{[\begin{matrix} 1 & 2 \\ - 3 & - 2 \end{matrix}], [\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}], [\begin{matrix} - 1 & 0 \\ - 1 & 0 \end{matrix}], [\begin{matrix} 1 & 1 \\ - 2 & 2 \end{matrix}]}

{[\begin{matrix} 1 & 2 \\ - 3 & - 2 \end{matrix}], [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix}], [\begin{matrix} - 1 & - 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}], [\begin{matrix} 1 & 1 \\ - 2 & 2 \end{matrix}]}

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Matematica

Spazi vettoriali

Il vettore (4; 3; −2) ha componenti (1; 3; 3) rispetto alla base:

A: {(1; 1; 1), (1; 1; 0), (1; 0; 0)}.

B: {(1; 0; 0), (0; 1; 0), (0; 0; 1)}.

C: {(1; 0; 1), (1; 0; 1), (0; 1; 0)}.

D: {(1; 0; 1), (1; 0; −1), (0; 1; 0)}.

E: {(1; 0; 1), (1; 0; − 1), (0; 0; 1)}.

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Matematica

Vettori linearmente dipendenti e linearmente indipendenti

Le matrici:

A = [\begin{matrix} i & 0 \\ 1 & - i \end{matrix}]

B = [\begin{matrix} 1 & \sqrt{2} \\ 0 & 1 \end{matrix}]

C = [\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}]

sono:

A: tali che A = iB + C.

B: tali che B = A - C.

C: linearmente dipendenti.

D: linearmente indipendenti.

E: tali che C = A - B.

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