Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Limiti Definizioni e proprietà dei limiti Limite finito tendente ad un punto

I limiti

15 esercizi

SVOLGI

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Matematica

Gli intervalli e gli intorni

Quale di questi insiemi non rappresenta un intorno di

\infty

A = {x \in R | | x | > 2}

B = {x \in R | x^{2} - 2 x - 3 > 0}

C = {x \in R | x > 7 \lor x < 2}

D = {x \in R | \frac{1 - x}{x} \geq 0}

E = {x \in R | \ln | x | \geq 0}

Scelta multipla

Il punteggio di un esercizio è determinato
dalla difficoltà: da 1 (più facile) a 5 (più
difficile).Vuoi saperne di più? Consulta il
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Matematica

Definizione di \[\underset{x \to x_0}{\textrm{lim}}\ f(x)=\infty\]

\forall M > 10^{20}

esiste un intorno di

x = 2

tale che

f (x) - 3 + M < 0

, allora:

lim_{x \to 2} [f (x) - 3] = - \infty

lim_{x \to 3} [2 - f (x)] = - \infty

lim_{x \to 2} [3 - f (x)] = - \infty

lim_{x \to 2} [f (x) - 3] = + \infty

lim_{x \to 3} [f (x) - 2] = - \infty

Scelta multipla

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Matematica

Definizione di limite

\forall a > 0

la disequazione

| f (x) + 5 | < a

è verificata per

x > 1 + \frac{3}{a}

, allora:

lim_{x \to + \infty} [f (x) + 5] = 0

lim_{x \to 5} f (x) = 1

lim_{x \to 1} [f (x) + 5] = + \infty

lim_{x \to 1^{+}} [f (x) + 5] = + \infty

lim_{x \to - \infty} f (x) = - 5

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Matematica

Definizione di \[\underset{x \to x_0}{\textrm{lim}}\ f(x)=\ell\]

Risolvendo la disequazione

(x + 1) < ε

, puoi verificare uno solo fra i seguenti limiti. Quale?

A: Nessuno degli altri.

lim_{x \to 0} [x^{2} + 2 x + 1] = 1

lim_{x \to 0} (x^{2} + 2 x) = 0

lim_{x \to 1} (x^{2} + 2 x) = 3

lim_{x \to - 1} (x^{2} + 2 x) = - 1

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Matematica

Definizione di limite

\forall ε > 0

la disequazione

| f (x) - 2 | < ε

è verificata per

x < 3 - \frac{1}{ε}

, allora:

lim_{x \to - \infty} f (x) = 3

lim_{x \to + \infty} f (x) + 2 = 0

lim_{x \to 3^{-}} f (x) = + \infty

lim_{x \to + \infty} f (x) = 2

lim_{x \to - \infty} f (x) - 2 = 0

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Matematica

Definizione di \[\underset{x \to x_0}{\textrm{lim}}\ f(x)=\ell\]

Sia

f (x)

una funzione definita in

A = [2; 9]

. Se

\forall ε > 0 \exists k > 0 | \forall x \in A

, con

4 < x < 4 + k

| f (x) - 1 | < ε

, è vero che:

lim_{x \to 4} f (x) = 1^{+}

lim_{x \to 4^{+}} f (x) = 1^{-}

lim_{x \to + 4} f (x) = 1

lim_{x \to 4^{+}} f (x) = 1

lim_{x \to 4^{-}} f (x) = - 1

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Matematica

Definizione di limite

Data la funzione

y = f (x)

, se

\forall k > 0 \exists m > 0 | \forall x

, con

2 - m < x < 2

f (x) > k

, è vero che:

lim_{x \to k} f (x) = + \infty

lim_{x \to 2^{+}} f (x) = m

lim_{x \to m} f (x) = \infty

lim_{x \to 2^{-}} f (x) = + \infty

lim_{x \to 2} f (x) = + \infty

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Matematica

Definizione di limite

Data la funzione

f (x) = 4 - x^{4}

, l'espressione "Per ogni numero reale positivo m si può sempre determinare un numero reale positivo

c_{m}

tale che risulti

4 - x^{4} < - c_{m}

" è la definizione di:

lim_{x \to - \infty} (4 - x^{4}) = - \infty

lim_{x \to + \infty} (4 - x^{4}) = - \infty

lim_{x \to + \infty} (4 - x^{4}) = 1

lim_{x \to - \infty} (4 - x^{4}) = + \infty

lim_{x \to + \infty} (4 - x^{4}) = + \infty

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Matematica

Definizione di \[\underset{x \to x_0}{\textrm{lim}}\ f(x)=\ell\]

\forall ε > 0

esiste un intorno destro di

- 2

tale che

4 - ε < f (x) \leq 4

, allora:

lim_{x \to - 2} f (x) = - 4

lim_{x \to 2^{-}} f (x) = 4^{-}

lim_{x \to 4} f (x) = - 2

lim_{x \to - 2^{+}} f (x) = 4

lim_{x \to - 2^{+}} f (x) = 4^{+}

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Matematica

Definizione di \[\underset{x \to \infty}{\textrm{lim}}\ f(x)=\ell\]

Scrivere

lim_{x \to - \infty} f (x) = 6

significa che:

A: la differenza in valore assoluto tra

f (x)

e 6 è minore di un numero positivo piccolo a piacere all'aumentare di

x

f (x)

si avvicina sempre più a

6

per valori di x non negativi.

C: la differenza in valore assoluto tra

f (x)

6

è maggiore di un numero positivo piccolo a piacere al diminuire di

x

f (x)

si avvicina sempre più a

6

per valori di

x

non positivi.

E: la differenza in valore assoluto tra

f (x)

6

è minore di un numero positivo piccolo a piacere al diminuire di

x

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Matematica

Definizione di limite

\forall a > 0

la disequazione

s e n x - f (x) > a

è verificata per

π - \frac{3}{a} \leq x \leq π + \frac{3}{a}

, allora:

lim_{x \to a} [s e n x - f (x)] = + \infty

lim_{x \to π} [s e n x - f (x)] = + \infty

lim_{x \to - \infty} [s e n x - f (x)] = π

lim_{x \to 0} [f (x) - s e n x] = π

lim_{x \to + \infty} [s e n x - f (x)] = π

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Matematica

Definizione di limite

Risolvendo la disequazione

| x - 4 | > \frac{4}{ε}

, con

ε > 0

, puoi verificare uno solo dei seguenti limiti. Quale?

lim_{x \to \infty} (x - 4) = + \infty

lim_{x \to \infty} \frac{x}{4 x - 4} = \frac{1}{4}

lim_{x \to \infty} \frac{x}{x - 4} = 1

lim_{x \to \infty} \frac{4 x - 4}{x} = 4

lim_{x \to \infty} \frac{x}{x - 4} = - 1

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Matematica

Definizione di \[\underset{x \to x_0}{\textrm{lim}}\ f(x)=\ell\]

lim_{x \to 1} (x^{2} - 3) = - 2

, allora

\forall ε > 0 \exists δ_{ε}

tale che per

| x - 1 | < δ_{ε}

si ha:

- \sqrt{1 + ε} < x < - \sqrt{1 - ε}

- \sqrt{ε} < x < \sqrt{ε}

\sqrt{1 - ε} < x < \sqrt{1 + ε}

- \sqrt{ε} + 1 < x < \sqrt{ε} + 1

- \sqrt{ε} - 1 < x < \sqrt{ε} + 1

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Matematica

Definizione di limite

\forall m > 0

esiste un

c > 0

tale che

e^{x^{2} + 1} > m

| x | > c

, allora è vero che:

lim_{x \to \pm \infty} e^{x^{2} + 1} = + \infty

lim_{x \to - \infty} e^{x^{2} + 1} = 0

lim_{x \to c} e^{x^{2} + 1} = + \infty

lim_{x \to + \infty} e^{x^{2} + 1} = - \infty

lim_{x \to + \infty} e^{x^{2} + 1} = m

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Definizione di \[\underset{x \to x_0}{\textrm{lim}}\ f(x)=\infty\]

Risolvendo la disequazione

x - 1 > - 2^{- M}

, possiamo verificare la validità di uno solo dei seguenti limiti. Quale?

lim_{x \to 1^{-}} \log_{2} (1 - x) = + \infty

lim_{x \to 0} \log_{2} (1 - x) = + \infty

lim_{x \to 1^{-}} \log_{2} (1 - x) = - \infty

lim_{x \to 1} \frac{1}{x - 1} = + \infty

lim_{x \to 1} 2^{\frac{1}{1 - x}} = + \infty

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