Gli integrali #98704 - Prove ed esercizi Zanichelli

Integrali indefiniti immediati

L'integrale

\int x^{2 α - 3} d x

è uguale a:

A:

\frac{1}{2 (α - 1)} x^{2 α - 2} + c

, con

α \neq 1

.

B:

\frac{1}{2 α - 3} x^{2 α - 4} + c

, con

α \neq \frac{3}{2}

.

C:

\frac{1}{2 α - 4} x^{2 α - 4} + c

, con

α \in R

.

D:

\frac{1}{2 (α + 1)} x^{2 α - 3} + c

, con

α \neq - 1

.

E:

\frac{1}{2 α - 4} x^{2 α - 3} + c

, con

α \neq 2

.

Scelta multipla

Primitive e integrale indefinito

Quale tra le seguenti funzioni ha per primitiva

y = \sqrt{2 x^{2} - 4 x}

?

A:

y = \frac{2 (x - 1)}{\sqrt{2 x^{2} - 4 x}}

.

B:

y = \frac{1}{2 \sqrt{2 x^{2} - 4 x}}

.

C:

y = \frac{1}{2 x^{2} - 4 x}

.

D:

y = \frac{4 x - 4}{\sqrt{2 x^{2} - 4 x}}

.

E:

y = \frac{x - 1}{\sqrt{2 x^{2} - 4 x}}

.

Scelta multipla

Integrali indefiniti immediati

Sia

f (x)

una funzione continua e derivabile, tale che

f^{'} (x) = 3 x

, allora si può scrivere:

A:

\int x f^{2} (x) d x = \frac{1}{9} f^{3} (x) + c

.

B:

\int 2 x f (x) d x = 3 f^{2} (x) + c

.

C:

\int 6 x f^{5} (x) d x = f^{6} (x) + c

.

D:

\int x f (x) d x = f^{2} (x) + c

.

E:

\int 3 x f^{2} (x) d x = f^{3} (x) + c

.

Scelta multipla

Integrali indefiniti immediati

L'uguaglianza

\int \frac{1}{2 \sqrt{f (x)}} d x = \sqrt{f (x)} + c

è generalmente falsa. Tuttavia vale per una delle seguenti funzioni. Quale?

A:

f (x) = x + 28

B:

f (x) = s e n x

C:

f (x) = 3 x

D:

f (x) = e^{x}

E:

f (x) = x^{2}

Scelta multipla

Primitive e integrale indefinito

Quale delle seguenti funzioni è primitiva della funzione f(x) = 3x² − sen x?

A:

F(x) = 6x² − sen x

B:

F(x) = x³ − cos x

C:

F(x) = 3x + cos x

D:

F(x) = 6x − cos x

E:

F(x) = x³ + cos x

Scelta multipla

Primitive e integrale indefinito

Data la funzione

f (x) = \frac{- 3 e^{x}}{{(e^{x} + 2)}^{2}}

, la sua primitiva il cui grafico passa per il punto

(0; 1)

è:

A:

f (x) = \frac{3}{e^{x} + 2}

.

B:

f (x) = \frac{1}{e^{x} + 2} + \frac{2}{3}

.

C:

f (x) = \frac{- 3}{e^{x} + 2} + 2

.

D:

f (x) = \frac{9}{{(e^{x} + 2)}^{2}}

.

E:

f (x) = \frac{9}{{(e^{x} + 2)}^{2}} - 1

.

Scelta multipla

Integrali indefiniti immediati

Che valori devono assumere gli esponenti reali

a

e

b

affinché sia vera l'uguaglianza

\int \frac{3 + 2 x^{a} - 6 x^{b}}{x^{2}} d x = - \frac{3}{x} + x^{2} - 2 x^{3} + c

?

A:

a = 3 \land b = 5

B:

a = 2 \land b = 4

C:

a = 4 \land b = 5

D:

a = 3 \land b = 4

E:

Nessuna delle altre risposte.

Scelta multipla

Integrali indefiniti immediati

Affinché

\int \frac{d x}{x^{2} + 8} = \frac{\sqrt{2}}{4} a r c t g [f (x)] + c

occorre che

f (x)

sia uguale a:

A:

\frac{x}{2 \sqrt{2}}

.

B:

\frac{\sqrt{2}}{8} x

.

C:

\frac{4}{\sqrt{2} x}

.

D:

\frac{\sqrt{2} x}{2}

.

E:

\frac{2}{\sqrt{2} x}

.

Scelta multipla

Teorema della media

Quanto vale il valor medio della funzione

f (x) = x^{3}

nell'intervallo

[0; 2]

?

A:

2

B:

64

C:

32

D:

16

E:

128

Scelta multipla

Teorema della media

Per quale valore di

a \in R

la funzione

f (x) = x^{2}

ha valor medio

\frac{4}{3}

nell'intervallo [0;

a

]?

A:

4

B:

2

C:

1

D:

3

E:

5

Scelta multipla

Proprietà dell'integrale definito

Quale delle seguenti uguaglianze è errata?

A:

\int_{k \cdot a}^{k \cdot b} f (x) d x = k \cdot \int_{b}^{a} f (x) d x

B:

\int_{a}^{b} f (x) d x = - \int_{b}^{a} f (x) d x

C:

\int_{a}^{a} f (x) d x = \int_{b}^{b} f (x) d x

D:

\int_{a}^{c} f (x) d x = \int_{a}^{b} f (x) d x + \int_{b}^{c} f (x) d x

E:

\int_{a}^{b} [f (x) - g (x)] d x = \int_{b}^{a} [g (x) - f (x)] d x

Scelta multipla

Integrali definiti

Se

\int_{a}^{b} f (x) d x = 0

allora è necessario che:

A:

nessuna delle altre risposte.

B:

a = b = 0

.

C:

a = - b

e

f (x)

sia dispari.

D:

a = b

.

E:

f (x) = 0

.

Scelta multipla

Integrali indefiniti

Quale delle seguenti uguaglianze è errata?

A:

\int a^{x} d x = \ln a \cdot a^{x} + c

B:

\int x^{- n} d x = \frac{x^{1 - n}}{1 - n} + c

C:

\int (- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}) d x = \arccos x + c

D:

\int - s e n x d x = \cos x + c

E:

\int - \frac{1}{{s e n}^{2} x} d x = c o t g x + c

Scelta multipla

Integrali definiti

Quanto vale

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos x \cdot e^{s e n x} d x

?

A:

1 - e

B:

- 1

C:

e - 1

D:

e

E:

0

Scelta multipla

Integrali indefiniti

Quale dei seguenti integrali indefiniti ha come risultato

\frac{1}{2} a r c t g \frac{x}{2} + c

?

A:

\int \frac{1}{4 + x^{2}} d x

.

B:

\int \frac{x}{2 + x^{2}} d x

.

C:

\int \frac{1}{2 + x^{2}} d x

.

D:

\int \frac{x}{4 + x^{2}} d x

.

E:

\int \frac{1}{4 - x^{2}} d x

.

Scelta multipla