Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Integrali Integrali indefiniti Integrali di funzioni con primitiva composta

Gli integrali indefiniti

37 esercizi

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Matematica

Primitive e integrale indefinito

Data la funzione

f (x) = \frac{- 3 e^{x}}{{(e^{x} + 2)}^{2}}

, la sua primitiva il cui grafico passa per il punto

(0; 1)

è:

f (x) = \frac{3}{e^{x} + 2}

f (x) = \frac{1}{e^{x} + 2} + \frac{2}{3}

f (x) = \frac{- 3}{e^{x} + 2} + 2

f (x) = \frac{9}{{(e^{x} + 2)}^{2}}

f (x) = \frac{9}{{(e^{x} + 2)}^{2}} - 1

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Matematica

Primitive e integrale indefinito

Delle seguenti funzioni una è primitiva di

y = \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{1}{1 + 4 x}

. Quale?

y = \frac{1}{2} a r c t g 2 \sqrt{x}

y = a r c t g 2 \sqrt{x}

y = \frac{1}{(1 + 4 x)^{2}}

y = \ln | 1 + 4 x |

y = \sqrt{x} \ln | 1 + 4 x |

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Matematica

Primitive e integrale indefinito

Quale tra le seguenti funzioni ha per primitiva

y = \sqrt{2 x^{2} - 4 x}

y = \frac{2 (x - 1)}{\sqrt{2 x^{2} - 4 x}}

y = \frac{1}{2 \sqrt{2 x^{2} - 4 x}}

y = \frac{1}{2 x^{2} - 4 x}

y = \frac{4 x - 4}{\sqrt{2 x^{2} - 4 x}}

y = \frac{x - 1}{\sqrt{2 x^{2} - 4 x}}

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Primitive e integrale indefinito

La funzione F(x) = p·senx + 2q·sen³x è una primitiva di f(x) = 8cos x − 6cos³x se:

A: p = −2, q = 1.

B: non è possibile trovare i valori di p e q.

C: p = 2, q = −1.

D: p = 1, q = 2.

E: p = 2, q = 1.

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Integrali indefiniti immediati

Affinché

\int \frac{d x}{x^{2} + 8} = \frac{\sqrt{2}}{4} a r c t g [f (x)] + c

occorre che

f (x)

sia uguale a:

\frac{x}{2 \sqrt{2}}

\frac{\sqrt{2}}{8} x

\frac{4}{\sqrt{2} x}

\frac{\sqrt{2} x}{2}

\frac{2}{\sqrt{2} x}

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Integrali indefiniti immediati

L'uguaglianza

\int \frac{1}{2 \sqrt{f (x)}} d x = \sqrt{f (x)} + c

è generalmente falsa. Tuttavia vale per una delle seguenti funzioni. Quale?

f (x) = x + 28

f (x) = s e n x

f (x) = 3 x

f (x) = e^{x}

f (x) = x^{2}

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Matematica

Integrali indefiniti immediati

L'integrale

\int x^{2 α - 3} d x

è uguale a:

\frac{1}{2 (α - 1)} x^{2 α - 2} + c

, con

α \neq 1

\frac{1}{2 α - 3} x^{2 α - 4} + c

, con

α \neq \frac{3}{2}

\frac{1}{2 α - 4} x^{2 α - 4} + c

, con

α \in R

\frac{1}{2 (α + 1)} x^{2 α - 3} + c

, con

α \neq - 1

\frac{1}{2 α - 4} x^{2 α - 3} + c

, con

α \neq 2

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Integrali indefiniti immediati

Considera

f (x) = \frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{x^{4}}

. Fra le seguenti funzioni, una sola è una sua primitiva. Quale?

- \frac{3}{7} \cdot \frac{1}{x^{\frac{7}{3}}} - \frac{7}{3}

\frac{7}{3} x^{- \frac{7}{3}}

\frac{3}{7} \cdot \frac{1}{x^{\frac{7}{3}}} + 5

x^{- \frac{7}{3}} + c

- \frac{3}{7} x^{\frac{3}{7}} + 2

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Matematica

Integrali indefiniti immediati

Sia

f (x)

una funzione continua e derivabile, tale che

f^{'} (x) = 3 x

, allora si può scrivere:

\int x f^{2} (x) d x = \frac{1}{9} f^{3} (x) + c

\int 2 x f (x) d x = 3 f^{2} (x) + c

\int 6 x f^{5} (x) d x = f^{6} (x) + c

\int x f (x) d x = f^{2} (x) + c

\int 3 x f^{2} (x) d x = f^{3} (x) + c

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Matematica

Integrali indefiniti immediati

Che valori devono assumere gli esponenti reali

a

b

affinché sia vera l'uguaglianza

\int \frac{3 + 2 x^{a} - 6 x^{b}}{x^{2}} d x = - \frac{3}{x} + x^{2} - 2 x^{3} + c

a = 3 \land b = 5

a = 2 \land b = 4

a = 4 \land b = 5

a = 3 \land b = 4

E: Nessuna delle altre risposte.

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Matematica

Integrali indefiniti

A quale dei seguenti integrali è equivalente

\int 3 f (\frac{x}{2}) d x

\int 6 f (x) d x

\int \frac{3}{2} f (x) d x

\int \frac{2}{3} f (x) d x

\int 3 f (x) d x

\int 4 f (\frac{x}{3}) d x

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Matematica

Integrazione per sostituzione

Per risolvere

\int \sqrt{16 - x^{2}} d x

quale sostituzione si utilizza?

x = 4 s e n t

\sqrt{16 - x^{2}} = t - x

x = 4 - \cos t

x = 4 - s e n t

t^{2} = 16 - x^{2}

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Matematica

Integrazione per sostituzione

L'integrale

\int \frac{1}{\sqrt{x} - x} d x

con la sostituzione

\sqrt{x} = t

si trasforma in:

2 \int \frac{d t}{1 - t}

\int \frac{t}{1 - t} d t

2 \int \frac{t}{1 - t} d t

\int \frac{d t}{1 - t}

\int \frac{2}{t - t^{2}} d t

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Integrazione per sostituzione

Con l'opportuna sostituzione, l'integrale

\int \frac{1}{e^{x} + e^{- x}} d x

è uguale a:

a r c t g e^{x} + c

l n (e^{x} + e^{- x}) + c

l n (e^{x} + 1) + c

a r c t g (e^{x} + 1) + c

E: nessuno degli altri.

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Matematica

Integrazione per parti

Se applichiamo il metodo di integrazione per parti all'integrale ∫ x · cos xdx:

A: dobbiamo porre f(x) = x e g '(x) = cos x.

B: dobbiamo porre f'(x) = x e g '(x) = cos x.

C: dobbiamo porre f(x) = cos x e g '(x) = x.

D: dobbiamo porre f(x) = x e g(x) = cos x.

E: non riusciamo a risolvere l'integrale perché esso non si risolve in alcun modo per parti.

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Matematica

Integrazione per parti

Nell'uguaglianza

\int 2 x e^{h (x)} d x = 2 x e^{h (x)} - \int 2 e^{h (x)} d x

è stato applicato il metodo di integrazione per parti.

h (x)

è uguale a:

x^{2}

\frac{x}{4}

x

2 x

\frac{x}{2}

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Primitive e integrale indefinito

Dato il polinomio p(x) = 4x³ + 2x^k − 4, per quale valore di k una primitiva di p (x) è P (x) = x⁴ + x² − 4x + c?

A: 2

B: 1

C: nessuno degli altri.

D: −1

E: 0

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Matematica

Integrazione per sostituzione

Se nell'integrale

\int \frac{x + e^{2 \sqrt{x}}}{\sqrt{x}} d x

utilizziamo il metodo di sostituzione, ponendo

t = \sqrt{x}

, otteniamo:

\int \frac{t^{2} + e^{2 t}}{t^{2}} d t

\int 2 (t^{2} + e^{2 t}) d t

\int (t^{2} + e^{2 t}) d t

\int \frac{t^{2} + e^{2 t}}{t} d t

\int \frac{t^{2} + e^{2 t}}{2} d t

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Integrali indefiniti

Qual è il risultato dell'integrale

\int \frac{2 x + 1}{x^{2} + x} d x

\ln | x^{2} + x | + c

\ln | 2 x + 1 | + c

\ln | \frac{x + 1}{x} | + c

\ln | \frac{x}{x + 1} | + c

\ln | \frac{2 x + 1}{x^{2} + x} | + c

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Integrali indefiniti

Dato l'integrale

\int \frac{1}{9 - 6 x + x^{2}} d x

, il suo risultato è:

\frac{1}{3 - x} + c

- \frac{1}{{(3 - x)}^{3}} + c

\frac{1}{x - 3} + c

\frac{1}{2} \ln | 9 - 6 x + x^{2} | + c

(3 - x)^{3} + c

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Integrazione per parti

Data l'uguaglianza

\int f (x) \ln x d x = - \frac{1}{x} \ln x + \int \frac{1}{x^{2}} d x

, la

f (x)

è uguale a:

\frac{1}{x^{2}}

- \frac{1}{x^{2}}

- x^{2}

\frac{1}{x}

- \frac{1}{x}

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Integrali indefiniti

Sia

f (x)

una funzione continua, di cui

F (x)

è una primitiva immediata. Quale delle seguenti uguaglianze è corretta?

\int \frac{f (x)}{x} d x = \frac{F (x)}{x} + \int \frac{F (x)}{x^{2}} d x

\int e^{x} f (x) d x = F (x) e^{x} + \int F (x) e^{x} d x

\int x^{2} f (x) d x = x^{2} F (x) - \int 2 x f (x) d x

\int f (x) \cos x d x = F (x) s e n x - \int s e n x F (x) d x

\int f (x) \cdot f (x) d x = F (x) f (x) - \int f (x) f^{'} (x) d x

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Primitive e integrale indefinito

Quale delle seguenti funzioni è primitiva della funzione f(x) = 3x² − sen x?

A: F(x) = 6x² − sen x

B: F(x) = x³ − cos x

C: F(x) = 3x + cos x

D: F(x) = 6x − cos x

E: F(x) = x³ + cos x

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Integrali indefiniti

Quale delle seguenti uguaglianze è errata?

\int a^{x} d x = \ln a \cdot a^{x} + c

\int x^{- n} d x = \frac{x^{1 - n}}{1 - n} + c

\int (- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}) d x = \arccos x + c

\int - s e n x d x = \cos x + c

\int - \frac{1}{{s e n}^{2} x} d x = c o t g x + c

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Integrali indefiniti

Quale delle seguenti uguaglianze è errata?

\int {[f (x)]}^{n} d x = \frac{{[f (x)]}^{n - 1}}{n - 1} + c (n \neq 1)

\int \frac{f^{'} (x)}{f (x)} d x = \ln | f (x) | + c

\int f^{'} (x) s e n (f (x)) d x = - \cos f (x) + c

\int \frac{f^{'} (x)}{\cos^{2} f (x)} d x = t g f (x) + c

\int f^{'} (x) e^{f (x)} d x = e^{f (x)} + c

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Integrazione per parti

Per applicare il metodo di integrazione per parti all'integrale

\int \sqrt[3]{x} \ln x d x

A: dobbiamo porre

f (x) = \ln x

g^{'} (x) = \sqrt[3]{x}

B: dobbiamo porre

f (x) = \sqrt[3]{x}

g^{'} (x) = \ln x

C: dobbiamo porre

f^{'} (x) = \sqrt[3]{x}

g^{'} (x) = \ln x

D: dobbiamo porre

f (x) = \sqrt[3]{x}

g (x) = \ln x

E: non riusciamo a risolvere l'integrale perché esso non si risolve in alcun modo per parti.

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Primitive e intregrale indefinito

Considera la funzione

f (x) = | s e n x |, x \in [0; 2 π]

. Una delle seguenti funzioni è primitiva di

f

nell'intervallo

[0; 2 π]

. Quale?

F (x) = - \cos x s e 0 \leq x \leq π, \cos x + 2 s e π < x \leq 2 π

F (x) = | \cos x |, x \in [0; 2 π]

F (x) = - \cos x s e 0 \leq x \leq π, \cos x s e π < x \leq 2 π .

F (x) = - | \cos x |, x \in [0; 2 π]

F (x) = 1 - \cos x s e 0 \leq x \leq π, \cos x s e π < x \leq 2 π

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Integrali indefiniti

Quale dei seguenti integrali indefiniti ha come risultato

\frac{1}{2} a r c t g \frac{x}{2} + c

\int \frac{1}{4 + x^{2}} d x

\int \frac{x}{2 + x^{2}} d x

\int \frac{1}{2 + x^{2}} d x

\int \frac{x}{4 + x^{2}} d x

\int \frac{1}{4 - x^{2}} d x

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Integrali indefiniti

L'uguaglianza

\int \frac{k}{x^{2} + 9} d x = 3 \cdot a r c t g [f (x)] + c

è vera per:

k = 9 \land f (x) = \frac{x}{3}

k = 3 \land f (x) = 3 x

k = \frac{1}{3} \land f (x) = x

k = - 9 \land f (x) = - \frac{x}{3}

k = \frac{1}{9} \land f (x) = \frac{x}{9}

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Integrazione per sostituzione

Per calcolare l'integrale

\int \sqrt{a^{2} - x^{2}} d x

, (

a \neq 0

) possiamo procedere per sostituzione ponendo:

x = a s e n t

t = a s e n x

x^{2} = a^{2} - t^{2}

t^{2} = a^{2} - x^{2}

x = a^{2} - t^{2}

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Integrali indefiniti

Quale fra le seguenti uguaglianze è falsa?

\int \frac{e^{\frac{1}{x^{4}} - 3}}{x^{5}} d x = \frac{1}{4} e^{\frac{1}{x^{4}}} + c

\int \frac{s e n x + \cos x}{\cos x - s e n x} d x = \ln \frac{1}{| \cos x - s e n x |} + c

\int \frac{2}{\sqrt[3]{x}} s e n \sqrt[3]{x^{2}} d x = - 3 \cos \sqrt[3]{x^{2}} + c

\int \frac{x - 2}{s e n^{2} (x^{2} - 4 x)} d x = - \frac{1}{2} c o t g (x^{2} - 4 x) + c

\int \frac{e^{4 x - 3} + \frac{1}{4}}{e^{4 x - 3} + x} d x = \ln \sqrt[4]{| e^{4 x - 3} + x |} + c

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Integrali indefiniti

A cosa è uguale l'integrale indefinito

\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 4}} d x

\ln (x + \sqrt{x^{2} + 4}) + c

a r c s e n x + c

\sqrt{x^{2} + 4} + c

\ln \sqrt{x^{2} + 4} + c

\ln (x + \sqrt{x^{2} + 2}) + c

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Primitive e integrale indefinito

Indica quale delle seguenti affermazioni è falsa:

A: se una funzione è discontinua in qualche punto di un intervallo [a; b], allora non è integrabile in [a; b].

B: se una funzione è continua in

[a; b]

, allora è integrabile in

[a; b]

C: se una funzione è derivabile in

[a; b]

, allora è integrabile in

[a; b]

D: le primitive di una funzione sono funzioni continue.

E: se una funzione è sempre negativa in un intervallo

[a; b]

, allora ogni sua primitiva è una funzione decrescente in

[a; b]

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Primitive e integrale indefinito

Sia

F (x) = x s e n x

una primitiva di una funzione

f (x)

continua e derivabile in un intervallo

[a; b]

. Se

2 π \in [a; b]

f (2 π)

vale:

- 2 π

\frac{3}{2} π

2 π

D: non è possibile calcolare

f (2 π)

\frac{π}{2}

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Integrali indefiniti

L'integrale indefinito

I = \int (x^{2} \ln x + \cos x) d x

è dato da:

\frac{1}{3} x^{3} \ln x + s e n x - \frac{1}{9} x^{3} + c

\frac{1}{3} x^{3} \ln x - \frac{1}{9} x^{3} + s e n x

\frac{1}{3} x^{3} \ln x - \frac{1}{3} x^{3} + s e n x + c

\frac{1}{3} x^{3} \ln x + s e n x + c

x \ln x + x - s e n x + c

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Integrali indefiniti

\int \frac{1}{\cos^{2} x \cdot \sqrt[3]{f (x)}} d x = \frac{3}{2} \sqrt[3]{f^{2} (x)} + c

se:

f (x) = tg x

f (x) = tg \frac{x}{2}

f (x) = {tg}^{2} x

f (x) = t g x^{2}

f (x) = t g (\frac{3}{2} x)

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Integrali indefiniti

Sapendo che la derivata della funzione

y = f (x)

è il polinomio

P (x)

, quale delle seguenti uguaglianze è falsa?

\int \frac{P (x)}{f^{2} (x)} d x = \frac{1}{f (x)} + c

\int \frac{P (x)}{f (x)} d x = \ln | f (x) | + c

\int 2 P (x) f (x) d x = f^{2} (x) + c

3 \int P (x) f^{2} (x) d x = f^{3} (x) + c

\int \frac{P (x)}{f^{3} (x)} d x = - \frac{1}{2 f^{2} (x)} + c

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