Gli integrali definiti #98129 - Prove ed esercizi Zanichelli

Integrali definiti

Quanto vale

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos x \cdot e^{s e n x} d x

?

A:

1 - e

B:

- 1

C:

e - 1

D:

e

E:

0

Scelta multipla

Proprietà dell'integrale definito

Quale delle seguenti uguaglianze è errata?

A:

\int_{k \cdot a}^{k \cdot b} f (x) d x = k \cdot \int_{b}^{a} f (x) d x

B:

\int_{a}^{b} f (x) d x = - \int_{b}^{a} f (x) d x

C:

\int_{a}^{a} f (x) d x = \int_{b}^{b} f (x) d x

D:

\int_{a}^{c} f (x) d x = \int_{a}^{b} f (x) d x + \int_{b}^{c} f (x) d x

E:

\int_{a}^{b} [f (x) - g (x)] d x = \int_{b}^{a} [g (x) - f (x)] d x

Scelta multipla

Integrali definiti - Calcolo delle aree di superfici piane

L'area della regione piana delimitata dal grafico di

y = x^{2} - 2 x

,

x \in [0; 3]

, e dall'asse

x

è data da:

A:

\int_{0}^{2} (2 x - x^{2}) d x + \int_{2}^{3} (x^{2} - 2 x) d x

.

B:

\int_{0}^{2} (x^{2} - 2 x) d x + \int_{2}^{3} (x^{2} - 2 x) d x

.

C:

\int_{0}^{2} (x^{2} - 2 x) d x + \int_{2}^{3} (2 x - x^{2}) d x

.

D:

\int_{0}^{3} (2 x - x^{2}) d x

.

E:

\int_{0}^{3} (x^{2} - 2 x) d x

.

Scelta multipla

Integrali impropri

La funzione

f (x)

è continua

\forall x \in R - {0}

ed è tale che

lim_{x \to 0} f (x) = + \infty

. Quale, fra i seguenti integrali, non è improprio?

A:

\int_{2}^{100} f (x) d x

.

B:

\int_{2}^{+ \infty} f (x) d x

.

C:

\int_{- \infty}^{- 1} f (x) d x

.

D:

\int_{0}^{3} f (x) d x

.

E:

\int_{- 1}^{1} f (x) d x

.

Scelta multipla

Teorema della media

Per quale valore di

a \in R

la funzione

f (x) = x^{2}

ha valor medio

\frac{4}{3}

nell'intervallo [0;

a

]?

A:

4

B:

2

C:

1

D:

3

E:

5

Scelta multipla

Teorema della media

Quanto vale il valor medio della funzione

f (x) = x^{3}

nell'intervallo

[0; 2]

?

A:

2

B:

64

C:

32

D:

16

E:

128

Scelta multipla

Integrali impropri

Quale, fra i seguenti integrali impropri, è convergente?

A:

\int_{3}^{+ \infty} \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} d x

B:

\int_{0}^{2} \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} d x

.

C:

\int_{1}^{2} \frac{1}{x - 1} d x

D:

\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{4}} d x

E:

\int_{1}^{+ \infty} \frac{1}{\sqrt{x}} d x

Scelta multipla

Integrali definiti - Integrazione per sostituzione

Calcoliamo l'integrale

\int_{4}^{9} \frac{1}{x - \sqrt{x}} d x

per sostituzione ponendo

t = \sqrt{x} - 1

. Otteniamo:

A:

2 \ln 2

.

B:

\ln 9 - \ln 4

.

C:

\ln 5

.

D:

\ln 2

.

E:

2 \cdot (\ln 9 - \ln 4)

.

Scelta multipla

Integrali definiti

Se

\int_{a}^{b} f (x) d x = 0

allora è necessario che:

A:

nessuna delle altre risposte.

B:

a = b = 0

.

C:

a = - b

e

f (x)

sia dispari.

D:

a = b

.

E:

f (x) = 0

.

Scelta multipla

Calcolo delle aree di superfici piane

Quanto vale l'area della superficie indicata in figura?

A:

−10

B:

−

\frac{23}{3}

C:

10

D:

\frac{23}{3}

E:

\frac{7}{3}

Scelta multipla

Calcolo delle aree di superfici piane

Quanto vale l'area del trapezoide in figura?

A:

\frac{45}{2}

B:

- \frac{45}{2}

C:

- \frac{70}{3}

D:

\frac{70}{3}

E:

\frac{343}{6}

Scelta multipla

Teorema della media

Riguardo al valor medio della funzione

f (x) = \frac{| x |}{\sqrt{x^{2} + 1}}

nell'intervallo

[- 1; 1]

, possiamo affermare che:

A:

è uguale a

\sqrt{2} - 1

.

B:

non si può calcolare.

C:

nessuna delle altre risposte è vera.

D:

è uguale a

0

.

E:

è uguale a

2 (\sqrt{2} - 1)

.

Scelta multipla

Calcolo delle aree di superfici piane

La funzione

f (x)

, continua nell'intervallo

[- 1; 3]

, è tale che

f (x) > 0

se e solo se

x \in [- 1; 0]

. Allora l'area della parte di piano compresa fra il grafico della funzione

f (x)

, l'asse delle ascisse e le rette

x = - 1

e

x = 3

vale:

A:

\int_{3}^{0} f (x) d x + \int_{- 1}^{0} f (x) d x

.

B:

\int_{- 1}^{0} f (x) d x - \int_{3}^{0} f (x) d x

.

C:

\int_{- 1}^{0} f (x) d x - \int_{0}^{1} f (x) d x

.

D:

\int_{- 1}^{3} f (x) d x - \int_{- 1}^{0} f (x) d x

.

E:

\int_{- 1}^{3} f (x) d x

.

Scelta multipla

Calcolo delle aree di superfici piane

L'area del trapezoide delimitato dalla funzione y = x³ in [−1; 0] è uguale a:

A:

\frac{1}{4}

.

B:

3.

C:

−

\frac{1}{3}

.

D:

\frac{1}{3}

.

E:

- \frac{1}{4}

.

Scelta multipla

Solidi di rotazione - Calcolo dei volumi

Quale dei seguenti integrali permette di calcolare il volume del solido ottenuto dalla rotazione completa attorno all'asse x della regione di piano della figura?

A:

π \int_{2}^{5} \frac{1}{2} \sqrt{9 x^{2} - 36} d x

B:

π \int_{2}^{5} \frac{1}{4} (9 x^{2} - 36) d x

C:

\int_{2}^{5} \frac{1}{2} \sqrt{9 x^{2} - 36} d x

D:

π \int_{2}^{5} \frac{1}{2} (9 x^{2} - 36) d x

E:

\int_{2}^{5} \frac{1}{4} (9 x^{2} - 36) d x

Scelta multipla