Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Teoremi di Euclide e Pitagora Teoremi di Euclide e Pitagora Teorema di Pitagora

G5. Equivalenza e aree

10 esercizi

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Equivalenze e aree - Esercizio 1

CUCINA In cucina sono disponibili due stampi, uno quadrato e l'altro esagonale, come mostrato in figura. Indicando con A la superficie dello stampo quadrato e con B quella dello stampo esagonale, possiamo affermare che:

A B

A: A è maggiore di B.

B: A è minore di B.

C: A e B sono equivalenti.

D: non è possibile confrontare A e B perché non sono note le misure dei lati.

Scelta multipla

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Equivalenze e aree - Esercizio 2

In un trapezio isoscele di area 264 cm², la base maggiore è lunga 24 cm e la base minore è i

\frac{3}{8}

della base maggiore. Calcola il perimetro di un rettangolo che ha l'altezza uguale a quella del trapezio e la diagonale lunga 20 cm.
Risposta: ________ cm (Scrivi il risultato come numero.)

Completamento aperto

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Equivalenze e aree - Esercizio 3

A: Un triangolo ottusangolo e un triangolo rettangolo che hanno un lato congruente non possono essere equivalenti.

B: Un rombo con la diagonale minore congruente all'altezza di un trapezio e la diagonale maggiore uguale alla somma delle basi del trapezio è equivalente al trapezio stesso.

C: Se un rombo e un quadrato hanno lo stesso perimetro, il rombo ha area maggiore di quella del quadrato.

Vero o falso

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Equivalenze e aree - Esercizio 4

Osserva la figura e completa le uguaglianze.

a.

{\bar{C H}}^{2} = {\bar{A C}}^{2}

– ________

b.

{\bar{A C}}^{2} = \bar{A H}

∙ ________

c.

{\bar{A D}}^{2} = \bar{D C}

∙ ________

Completamento chiuso

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Equivalenze e aree - Esercizio 5

Calcola l'area della mensola rappresentata in figura sapendo che

A B = 74 cm

B C

è il doppio di

A B

D C

è la metà di

A E

. (Approssima le misure a numeri interi.)

A: 8029 cm²

B: 13 024 cm²

C: 10 580 cm²

D: 9028 cm²

Scelta multipla

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Equivalenze e aree - Esercizio 6

ACCOGLIENZA TURISTICA Nella sala per la colazione il signor Verdi è seduto a un tavolo vicino alla finestra (T ). Di fronte a sé a una distanza di 8 m c'è la zona bevande (B ) e, alla destra della zona bevande, a 6 m di distanza da essa, c'è la zona buffet con i dolci (D). Il signor Verdi si muove una prima volta verso il buffet dei dolci, poi passa dalla zona bevande e di lì torna diretto al proprio tavolo. Se si alza una seconda volta per recarsi solo al buffet con i dolci e ritornare al proprio posto, quanti metri in meno percorre il signor Verdi la seconda volta?

A: 14 m

B: 10 m

C: 6 m

D: 4 m

Scelta multipla

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Equivalenze e aree - Esercizio 7

In un trapezio isoscele gli angoli alla base misurano 45°. La base minore è

\frac{4}{7}

della maggiore e la loro somma è 22 dm. Determina l'area del trapezio.
Risposta: ________

Completamento chiuso

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Equivalenze e aree - Esercizio 8

Determina il perimetro di un rombo di area 120 cm², sapendo che la diagonale minore è uguale ai

\frac{5}{12}

della diagonale maggiore.

Risposta: ________ cm

Completamento aperto

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Equivalenze e aree - Esercizio 9

In un parallelogramma ABCD si prolunga la diagonale BD di un segmento DE congruente a BD. Dimostra che i triangoli ABD e DCE sono equivalenti.

Ipotesi:
• ABCD parallelogramma;
• DB________DE.

Tesi: ABD________DCE.

Dimostrazione
La diagonale DB divide il parallelogramma nei due triangoli ABD e DBC________, quindi equivalenti: ABD

≐

DBC.
I triangoli DBC e DCE hanno le basi DB e ________ congruenti per ipotesi.
L'altezza del triangolo DBC relativa alla base DB è la distanza tra il vertice C opposto alla base e la base stessa, che giace sulla retta EB.
L'altezza del triangolo DCE relativa alla base DE è la distanza tra il vertice C opposto alla base e la base stessa, che giace sulla retta ________.
I due triangoli hanno basi congruenti e la stessa altezza, sono perciò equivalenti.
Poiché ABD

≐

DBC e DBC

≐

DCE, per la proprietà ________ dell'equivalenza si ha che ABD

≐

DCE.

Completamento chiuso

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Equivalenze e aree - Esercizio 10

Dimostra che in un rombo ABCD la somma dei quadrati costruiti sui lati è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sulle diagonali.

Ipotesi:

A B C D

rombo.

Tesi:

{\bar{A B}}^{2} + {\bar{B C}}^{2} + {\bar{C D}}^{2} + {\bar{D A}}^{2} = {\bar{A C}}^{2} +

________.

Dimostrazione
Poiché

A B C D

è un rombo, le diagonali

A C

B D

sono perpendicolari.
Consideriamo il triangolo

A O D

rettangolo in ________.
Applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo

A O D

si ottiene la relazione:

{\bar{D A}}^{2} = {\bar{A O}}^{2} +

________
Analogamente, considerando il triangolo rettangolo

D O C

si ottiene la relazione:

{\bar{C D}}^{2} =

________ +

{\bar{O D}}^{2}

.
In modo simile per i triangoli rettangoli

A O B

B O C

si può scrivere:

{\bar{A B}}^{2} = {\bar{A O}}^{2} + {\bar{O B}}^{2}; {\bar{B C}}^{2} = {\bar{O C}}^{2} + {\bar{O B}}^{2}

.
Sommando tutti i primi membri e tutti i secondi membri delle quattro relazioni, si ottiene:

{\bar{D A}}^{2} + {\bar{C D}}^{2} + {\bar{A B}}^{2} + {\bar{B C}}^{2} = {\bar{A O}}^{2} + {\bar{O D}}^{2} + {\bar{O C}}^{2} + {\bar{O D}}^{2} + {\bar{A O}}^{2} + {\bar{O B}}^{2} + {\bar{O C}}^{2} + {\bar{O B}}^{2} \to

{\bar{D A}}^{2} + {\bar{C D}}^{2} + {\bar{A B}}^{2} + {\bar{B C}}^{2} = 2 {\bar{A O}}^{2} + 2 {\bar{O C}}^{2} + 2 {\bar{O D}}^{2} + 2 {\bar{O B}}^{2}

.
Poiché

A O ≅

________ e

O B ≅

________, il membro a destra della relazione può essere riscritto come:

2 {\bar{A O}}^{2} + 2 {\bar{O C}}^{2} + 2 {\bar{O D}}^{2} + 2 {\bar{O B}}^{2} = 4 {\bar{A O}}^{2} + 4 {\bar{O B}}^{2} \to

________.
Poiché

2 \bar{A O} = \bar{A C}

2 \bar{O B} = \bar{B D}

si ha:

4 {\bar{A O}}^{2} + 4 {\bar{O B}}^{2} = {\bar{A C}}^{2} + {\bar{B D}}^{2}

.
Vale dunque la relazione

{\bar{A B}}^{2} + {\bar{B C}}^{2} + {\bar{C D}}^{2} + {\bar{D A}}^{2} = {\bar{A C}}^{2} + {\bar{B D}}^{2}

, che è la tesi.

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