Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Disequazioni lineari Disequazioni intere Risolvere problemi con le disequazioni

Fondamentali alla prova - Una prova in più - Le disequazioni lineari

13 esercizi

SVOLGI

INFO

Rappresentazione delle soluzioni

Quale delle seguenti notazioni rappresenta l'insieme

- 3 \leq x < 0 \lor x > 3

] - 3; 0] \cup] 3; + \infty]

[- 3; 0 [\cup] 3; + \infty [

[- 3; 0] \cup [3; + \infty]

[- 3; 0 [\cap [3; + \infty [

Scelta multipla

Problema geometrico con disequazioni lineari

In un rettangolo

A B C D

, la lunghezza di

A B

supera di

3

la lunghezza di

B C

. Inoltre, l'area del rettangolo non è minore della sedicesima parte del quadrato del perimetro. Quali valori può assumere la lunghezza di

A B

?

Indichiamo con

x

la lunghezza di

A B

. La lunghezza di

B C

è ________. Quindi l'area e il perimetro del rettangolo valgono rispettivamente ________ e ________.
Sappiamo che l'area del rettangolo non è minore della sedicesima parte del quadrato del perimetro, cioè

x^{2} + 3 x

________

\frac{1}{16} [2 (2 x + 3)]^{2}

x^{2} + 3 x

________

\frac{4}{16} (4 x^{2} + 12 x + 9)

x^{2} + 3 x \geq x^{2} + 3 x

________

\frac{9}{4}

0

________

\frac{9}{4}

.
La disequazione ________ verificata. In simboli: ________

x \in R

Completamento chiuso

Disequazioni equivalenti

Associa a ogni disequazione la sua equivalente.

a.

4 x - 7 < 3 x + 1

________
b.

- \frac{1}{5} x > - \frac{1}{3}

________
c.

2 (x - 5) + 4 > 2

________
d.

\frac{2 x - 3}{7} < \frac{4}{5}

________

Posizionamento

Disequazioni letterali intere

Risolvi la seguente disequazione nell'incognita

x

a (x - 3) + \frac{2}{3} (a x + 2) \leq \frac{5}{2} a + x .

Risolviamo le parentesi:

a (x - 3) + \frac{2}{3} (a x + 2) \leq \frac{5}{2} a + x

a x - 3 a + \frac{2}{3} a x + \frac{4}{3} \leq \frac{5}{2} a + x

.
Eliminiamo i denominatori moltiplicando membro a membro per il loro minimo comune multiplo mcm

(2; 3) =

________:

6 a x - 18 a +

________

+ 8 \leq

________

+ 6 x

________

- 6 x \leq

________

- 8

.
Raccogliamo

x

a fattor comune

x (10 a - 6) \leq 33 a - 8

.
Distinguiamo tre casi.

• Se

10 a - 6 > 0

, ossia

a >

________, possiamo dividere per

10 a - 6

senza cambiare il verso della disequazione e quindi

x \leq \frac{33 a - 8}{10 a - 6}

.

• Se

a < \frac{3}{5}

, dividiamo per

10 a - 6

cambiando il verso della disequazione e otteniamo

x \geq

________.

• Se

a = \frac{3}{5}

otteniamo

x \cdot

________

\leq 33 \cdot \frac{3}{5} - 8 =

\frac{99 - 40}{5} = \frac{59}{5} .

In questo caso la disuguaglianza ________ verificata e come soluzione possiamo scrivere:

\forall x \in R

.

Riassumiamo i risultati ottenuti:
Se

a < \frac{3}{5}, x \geq \frac{33 a - 8}{10 a - 6};

a = \frac{3}{5}, \forall x \in R;

a > \frac{3}{5}, x

________

\frac{33 a - 8}{10 a - 6} .

Completamento chiuso

Sistemi di disequazioni

Qual è la soluzione del sistema

{\begin{cases} x \leq 0 \lor x > 3 \\ x < \frac{7}{2} \\ x \geq 0 \end{cases}

] 3; + \infty [

] - \infty; 0]

] 3; \frac{7}{2} [

{0} \cup] 3; \frac{7}{2} [

Scelta multipla

Disequazioni intere

Qual è l'insieme di soluzioni delle disequazione

\frac{3 x - 7}{4} + \frac{x - 2}{3} \leq 3 \cdot \frac{x - 1}{2}

x \leq 11

x \geq - \frac{7}{5}

x \geq - \frac{11}{5}

x \leq \frac{13}{5}

Scelta multipla

Disuguaglianze numeriche

Completa inserendo i simboli

<

>

.

a.

- \frac{2}{3}

________

- \frac{1}{2}

\frac{4}{5}

________

\frac{3}{4}

- \frac{13}{5}

________

- \frac{13}{2}

\frac{5}{7}

________

\frac{7}{8}

Completamento chiuso

Problema algebrico con disequazioni lineari

Angela, fra tre anni, avrà il doppio dell'età della sorella Barbara. Sapendo che la somma delle loro età oggi è minore di

26

, qual è la massima età che Angela può avere?

Indichiamo con

x

y

le età di Angela e Barbara oggi. Sappiamo per ipotesi che

x + 3 = 2

________.
Poiché

x

y

sono numeri interi,

x + 3

è un numero ________ e quindi

x

è un numero ________. Ricaviamo

y

in funzione di

x

y =

________
Sappiamo anche che la somma delle età di Angela e Barbara oggi è minore di

26

, quindi

x + y < 26

.
Sostituiamo a

y

il suo valore trovato in funzione di

x

e risolviamo la disequazione:

x +

________

< 26

3 x +

________

< 52

x <

________.
Il valore di

x

che cerchiamo è più grande numero intero dispari minore di ________, cioè

x =

________.

Completamento chiuso

Equazioni con valori assoluti

Risolvi l'equazione

| 3 - 2 x | + 3 x = - 5.

Per definizione di valore assoluto scriviamo

| 3 - 2 x | = {\begin{cases} 3 - 2 x se 3 - 2 x \geq 0 \\ - 3 + 2 x se 3 - 2 x < 0 \end{cases} .

Le soluzioni dell'equazione si trovano come unione di due sistemi:

{\begin{cases} 3 - 2 x + 3 x = - 5 \\ 3 - 2 x \geq 0 \end{cases}

e
________.

Primo sistema

{\begin{cases} 3 - 2 x + 3 x = - 5 \\ 3 - 2 x \geq 0 \end{cases} \to

________
Poichè

- 8 \leq \frac{3}{2}

x = - 8

è una soluzione ________.

Secondo sistema

{\begin{cases} - 3 + 2 x + 3 x = - 5 \\ 3 - 2 x < 0 \end{cases} \to

________

\to

{\begin{cases} x = - \frac{2}{5} \\ x > \frac{3}{2} \end{cases} .

Poiché

- \frac{2}{5} < \frac{3}{2}

x = - \frac{2}{5}

è una soluzione ________.
L'unica soluzione dell'equazione è

x =

________.

Completamento chiuso

Disequazioni con valori assoluti

Associa a ogni disequazione l'insieme di soluzioni corretto.

a.

| x | < 5

________
b.

| x - 1 | < 4

________
c.

| 3 x - 15 | \leq - 1

________
d.

| 2 x - 4 | \geq 2

________
e.

| 3 x | > 9

________
f.

| 21 - 7 x | > 0

________

Posizionamento

Disequazioni letterali fratte

Risolvi, nell'incognita

x

, la disequazione

\frac{(a + 1) (2 x + 1)}{x + a} \geq 0.

Considera il fattore

(a + 1)

che non contiene

x

e distinguiamo tre casi.

• Se

a + 1 = 0

, cioè

a = - 1

, la disequazione diventa

0 \cdot \frac{2 x + 1}{x - 1} \geq 0

,
ed è verificata per ogni

x \in R

con ________.

• Se

a + 1 > 0

, cioè

a > - 1

, possiamo applicare il secondo principio di equivalenza e scrivere

\frac{2 x + 1}{x + a} \geq 0.

Studiamo il segno della frazione:

N \geq 0 2 x + 1 \geq 0 \to x \geq

________

D > 0 x + a > 0 \to x > - a .

Poiché

- a < - \frac{1}{2}

quando ________, abbiamo tre sottocasi:
○ se

- 1 < a < \frac{1}{2}

, la soluzione della disequazione è

x \leq - \frac{1}{2} \lor x > - a

;
○ se

a > \frac{1}{2}

, la soluzione è ________;
○ se

a = \frac{1}{2}

, la disequazione diventa

\frac{2 x + 1}{x + \frac{1}{2}} \geq 0 \to 2 \frac{2 x + 1}{2 x + 1} \geq 0

, che è verificata per ogni

x \in R

con

x \neq

________.

• Se

a + 1 < 0

, cioè se

a < - 1

, possiamo applicare il secondo principio di equivalenza e scrivere

\frac{2 x + 1}{x + a} \leq 0

.
Studiamo il segno della frazione:

N \geq 0 2 x + 1 \geq 0 \to x \geq - \frac{1}{2}

N > 0 x + a > 0 \to x >

________.

Tenendo conto che

a < - 1

, risulta

- \frac{1}{2}

________

- a

e la soluzione della disequazione è
________.
Riassumiamo i risultati ottenuti.
Se

a < - 1

- \frac{1}{2} \leq x < - a

;
se

a = - 1

\forall x \neq

________
se

- 1 < a < \frac{1}{2}

x \leq - \frac{1}{2} \lor x > - a

;
se

a = \frac{1}{2}, \forall x \neq

________;
se

a > \frac{1}{2}

, ________.

Completamento chiuso

Segno di un prodotto

Quale dei seguenti insiemi indica la soluzione della disequazione

(3 - 2 x) (x - 4) (5 - 3 x) \leq 0

\frac{3}{2} \leq x \leq \frac{5}{3} \lor x \geq 4

x \leq \frac{5}{3} \lor \frac{3}{2} \leq x \leq 4

x \leq \frac{3}{2} \lor \frac{5}{3} \leq x \leq 4

\frac{5}{3} \leq x \leq \frac{3}{2} \lor x \geq 4

Scelta multipla

Disequazioni fratte

Risolvi la disequazione

\frac{2 x - 6}{5 x - 4 - x^{2}} - \frac{3}{x - 1} \leq \frac{2}{4 - x} .

Portiamo tutti i termini al primo membro e scomponiamo i denominatori riducibili

\frac{2 x - 6}{5 x - 4 - x^{2}} - \frac{3}{x - 1} \leq \frac{2}{4 - x} .

________
________

Scriviamo ogni termine con lo stesso denominatore:
mcm

{(x - 1) (x - 4); (x - 1); (x - 4)} =

________.

________
________
Studiamo i segni del numeratore

N

e dei due fattori del denominatore

D_{1} = x - 1

D_{2} = x - 4

ponendo

N \geq 0

D_{1} > 0

D_{2} > 0

N \geq 0

________

\geq 0 \to

x \leq

________

D_{1} > 0

x - 1 > 0 \to x > 1

D_{2} > 0

x - 4 > 0 \to x

________

4

Rappresentando graficamente i segni dei fattori in una tabella, cerchiamo i valori di

x

per cui la frazione è negativa o nulla:
________.

Completamento chiuso