Fondamentali alla prova - Successioni e progressioni #572243

Somma dei termini consecutivi di una progressione aritmetica

Determina l'ultimo termine di una progressione aritmetica di otto termini il cui primo termine è

- 6

, sapendo che la somma degli otto termini è

120

.

A:

36

B:

46

C:

21

D:

- 36

Scelta multipla

Principio di induzione

Dimostra, applicando il principio di induzione, che:

1 + 5 + 9 + 13 + \dots + (4 n - 3) = n (2 n - 1)

,
con

n \in N - {0}

.

Per

n =

________ la proposizione è vera, infatti il primo membro è

1

e il secondo membro è

1 (2 \cdot 1 - 1) = 1

.
Supponiamo che la proposizione sia vera per

n

, dimostriamo allora che è vera anche per ________.
Per

n + 1

il primo membro diventa:

1 + 5 + 9 + 13 + \dots + (4 n - 3) + [4 (n + 1) - 3] =

n (2 n - 1) + [4 n + 4 - 3] =

2 n^{2} + 3 n + 1

.
Il secondo membro per

n + 1

è:

(n + 1)

________

=

(n + 1) [2 n + 2 - 1] =

(n + 1) (2 n + 1) =

2 n^{2} + 3 n + 1

.
La proposizione è quindi vera per

n + 1

.
Poiché la proposizione è vera per

n = 1

e, supponendola vera per ________, è vera anche per ________, allora, per il principio di induzione, la proposizione è vera per ogni

n \geq 1

.

Completamento chiuso

Somma dei termini consecutivi di una progressione aritmetica

Calcola la seguente somma:

2 + \frac{5}{2} + 3 + \frac{7}{2} + 4 + \frac{9}{2}

.
Determina la ragione.

La somma

S_{6}

dei primi

6

termini di una progressione aritmetica è:

S_{6} =

________

\to

S_{6} = \frac{39}{2}

.
La ragione

d

è pari alla differenza tra ogni termine ed il suo ________, quindi per esempio:

d =

________

= \frac{1}{2}

.

Completamento chiuso

Successioni numeriche

Qual è l'espressione analitica la seguente successione?

4

,

\frac{5}{2}

\frac{6}{5}

,

\frac{7}{10}

,

\frac{8}{17}

,

\frac{9}{26}

,

\dots

A:

a_{n} = \frac{n + 3}{n}

,

n \in N

.

B:

a_{n} = \frac{n + 3}{n}

,

n \in N - {0}

.

C:

a_{n} = \frac{4 + n}{n^{2} + 1}

,

n \in N

.

D:

a_{n} = \frac{4 + n}{n^{2} + 1}

,

n \in N - {0}

.

Scelta multipla

Progressioni geometriche

Date le seguenti informazioni relative a una progressione geometrica, determina ciò che è richiesto.

a.

a_{3} = 12

e

q = 2

, calcola

S_{3}

.
________

b.

a_{2} = 512

e

a_{6} = 32

, calcola

S_{6}

.
________

c.

S_{5} = 10

e

q = - 1

, calcola

a_{1}

.
________

Completamento chiuso

Progressioni aritmetiche e geometriche

Per ciascuna delle seguenti successioni indica se è una progressione aritmetica o geometrica o nessuna delle due.
a.

3

,

2

,

\frac{4}{3}

,

\frac{8}{9}

,

\frac{16}{27}

,

\dots

b.

1

,

\frac{5}{2}

,

4

,

\frac{11}{2}

,

7

,

\dots

c.

\frac{2}{3}

,

\frac{3}{4}

,

\frac{4}{5}

,

\frac{5}{6}

,

\frac{6}{7}

,

\dots

a. Calcoliamo la differenza tra un termine e il suo precedente. Per esempio:
•

2 -

________

=

- 1

;
•

\frac{4}{3} -

________

=

- \frac{2}{3}

.
Quindi, poiché

- 1 \neq - \frac{2}{3}

, non può trattarsi di una progressione aritmetica. Calcoliamo il quoziente tra ciascun termine e il suo precedente:
•

2

e

3

:

\frac{2}{3}

;
•

\frac{4}{3}

e

2

:

\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{2}{3}

;
•

\frac{8}{9}

e

\frac{4}{3}

:

\frac{8}{9} \cdot

________

=

\frac{2}{3}

;
•

\frac{16}{27}

e

\frac{8}{9}

:

\frac{16}{27} \cdot \frac{9}{8} = \frac{2}{3}

.
Dato che il quoziente tra ciascun termine e il suo precedente è costante, si tratta di una progressione geometrica di ragione

\frac{2}{3}

.

b. Calcoliamo la differenza tra ciascun termine e il suo precedente:
•

\frac{5}{2} - 1 = \frac{3}{2}

;
•

4 - \frac{5}{2} = \frac{3}{2}

;
•

\frac{11}{2} - 4 = \frac{3}{2}

;
•

7 - \frac{11}{2} = \frac{3}{2}

.
Dato che la differenza tra ciascun termine e il suo precedente è costante, si tratta di una progressione ________ di ragione

\frac{3}{2}

.

c. Calcoliamo la differenza tra un termine e il suo precedente. Per esempio:
•

\frac{3}{4} - \frac{2}{3} = \frac{1}{12}

;
•

\frac{4}{5} - \frac{3}{4} =

________.
Quindi, poiché

\frac{1}{12} \neq \frac{1}{20}

, non può trattarsi di una progressione aritmetica. Calcoliamo il quoziente tra un termine e il suo precedente. Per esempio:
•

\frac{3}{4}

e

\frac{2}{3}

:

\frac{3}{4} \cdot

________

=

\frac{9}{8}

;
•

\frac{4}{5}

e

\frac{3}{4}

:

\frac{4}{5} \cdot \frac{4}{3} = \frac{16}{15}

.
Quindi, poiché

\frac{9}{8} \neq \frac{16}{15}

, non può trattarsi di una progressione geometrica.

Completamento chiuso

Progressioni aritmetiche

Date le seguenti informazioni relative a una progressione aritmetica, determina ciò che è richiesto.

a.

a_{5} = 1

e

d = - 1

, calcola

S_{5}

.
________

b.

a_{1} = - 3

e

S_{6} = 12

, calcola

d

.
________

c.

a_{7} = - 2

e

S_{7} = 28

, calcola

a_{1}

.
________

Completamento chiuso

Successioni numeriche

Associa ogni rappresentazione analitica, con

n \in N

, alla rappresentazione ricorsiva della stessa successione.

{\begin{matrix} a_{0} = - 1 \\ a_{n} = a_{n - 1} + 3 \end{matrix}

________

{\begin{matrix} a_{0} = 0 \\ a_{n} = a_{n - 1} + n \end{matrix}

________

{\begin{matrix} a_{0} = - 1 \\ a_{n} = a_{n - 1} + 2 \end{matrix}

________

{\begin{matrix} a_{0} = 1 \\ a_{n} = a_{n - 1} + 2 (n - 1) + 1 \end{matrix}

________

Posizionamento

Somma dei termini consecutivi di una progressione geometrica

Calcola la somma delle prime

8

potenze di

5

con esponente diverso da

0

.

A:

S_{5} = 37448

B:

S_{5} = 488280

C:

S_{8} = 488280

D:

S_{8} = 97656

Scelta multipla

Somma dei termini consecutivi di una progressione geometrica

Determina il primo termine di una progressione geometrica di ragione

5

, sapendo che la somma dei primi quattro termini è

312

.

A:

4

B:

2

C:

5

D:

\frac{1}{2}

Scelta multipla