Fondamentali alla prova - Integrali indefiniti #570972

Integrale di una potenza di x

Calcola il seguente integrale.

\int (\sqrt{x} + \frac{2}{x^{3}}) d x

________

Completamento chiuso

Integrale indefinito

Stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false.

A:

y = 3 x + 2

e

y = 3 x - 7

sono primitive della stessa funzione.

B:

La derivata di

\int (3 x^{2} - 5) d x

è

6 x

.

C:

y = - \sin x

è una primitiva di

y = \cos x

.

D:

y = x^{3}

ha come unica primitiva

y = \frac{x^{4}}{4}

.

Vero o falso

Integrale di una potenza di x

Calcola il seguente integrale.

\int (3 x - \frac{1}{x^{2}}) d x

________

Completamento chiuso

Integrale di una potenza di x

Calcola il seguente integrale.

\int \frac{2 - 5 x}{x^{2}} d x

________

Completamento chiuso

Proprietà dell'integrale indefinito

L'integrale indefinito

\int 3 x f (x) d x

è uguale a:

A:

\int 3 x d x \cdot \int f (x) d x

.

B:

3 x \int f (x) d x

.

C:

3 \int x f (x) d x

.

D:

f (x) \int 3 x d x

.

Scelta multipla

Integrale della funzione esponenziale

Calcola il seguente integrale.

\int (2 \cdot 3^{x} - 7 e^{x}) d x

________

Completamento chiuso

Integrale della funzione esponenziale

Calcola il seguente integrale.

\int (3 e^{x} + 2) d x

________

Completamento chiuso

Integrale di una potenza di x

Calcola il seguente integrale.

\int (x^{4} + \frac{1}{x}) d x

________

Completamento chiuso

Integrale delle funzioni goniometriche

Calcola il seguente integrale.

\int (\frac{1}{\cos^{2} x} - 3 \cos x) d x

________

Completamento chiuso

Integrale delle funzioni goniometriche

Calcola il seguente integrale.

\int (3 x + 5 \sin x) d x

________

Completamento chiuso

Integrazione per sostituzione

Calcola l'integrale indefinito

\int \frac{x}{\sqrt{3 x + 1}} d x

con il metodo di sostituzione.

Con la sostituzione

t = \sqrt{3 x + 1}

l'integrale diventa:
________

Il valore dell'integrale indefinito è:
________

Completamento chiuso

Integrale delle funzioni la cui primitiva è una funzione composta

Calcola il seguente integrale.

\int \frac{x^{3}}{x^{4} + 5} d x

________

Completamento chiuso

Integrazione per parti

Calcola l'integrale applicando la formula di integrazione per parti:

\int 2 x e^{x} d x

.

________

Completamento chiuso

Integrale delle funzioni la cui primitiva è una funzione composta

Calcola il seguente integrale.

\int (\sin 5 x - 3 \cos 3 x) d x

________

Completamento chiuso

Verifica della soluzione

Quale delle seguenti funzioni è l'integrale generale dell'equazione

y^{'} - 6 y = 0

?

A:

y = e^{6 x} + x

B:

y = e^{6 x} + c

C:

y = c e^{6 x}

D:

y = e^{c x}

Scelta multipla

Integrale delle funzioni la cui primitiva è una funzione composta

Calcola il seguente integrale.

\int x (5 x^{2} - 4)^{3} d x

________

Completamento chiuso

Problema con integrale indefinito

Tra le primitive della funzione

f (x) = \frac{4 x - 2}{x^{2} - x}

determina quella il cui grafico interseca l'asse

x

nel punto di ascissa

2

.

Le primitive della funzione

f (x)

sono:
________

La primitiva che soddisfa la condizione è:
________

Completamento chiuso

Risoluzione di un'equazione differenziale del primo ordine

Determina l'integrale generale dell'equazione differenziale

y^{'} = 4 x \sqrt{y - 1}

.

È un'equazione a variabili separabili:

\frac{d y}{d x} = 4 x \sqrt{y - 1}

.
Per

y \neq 1

e abbiamo:

\frac{d y}{\sqrt{y - 1}} = 4 x d x

\int \frac{d y}{\sqrt{y - 1}} = \int 4 x d x

________

\sqrt{y - 1} =

________

x^{2} + c

4 (y - 1) = (2 x + c)^{2}

y = {(\frac{2 x + c}{2})}^{2} + 1

,

c \in R

.
Inoltre

y = 1

________ soluzione dell'equazione differenziale.

Completamento chiuso

Integrale delle funzioni la cui primitiva è una funzione composta

Calcola il seguente integrale.

\int 5 x e^{x^{2}} d x

________

Completamento chiuso

Risoluzione di un'equazione differenziale del primo ordine

Determina l'integrale generale dell'equazione differenziale

y^{'} + 3 \sin x = y \sin x

.

È un'equazione a variabile separabili:

y^{'} = y \sin x - 3 \sin x

\frac{d y}{d x} = \sin x (y - 3)

.
Per

y \neq

________ abbiamo:

\frac{d y}{y - 3} = \sin x d x

\int \frac{d y}{y - 3} = \int \sin x d x

\ln | y - 3 | =

________

\cos x + c

| y - 3 | = e^{- \cos x + c}

y - 3 = \pm e^{- \cos x + c}

y = k e^{- \cos x} +

________,

k \in R - {0}

.
Osservato che anche

y = 3

è soluzione dell'equazione, l'integrale generale può quindi essere scritto come:

y = k e^{- \cos x} + 3, k \in R

.

Completamento chiuso

Risoluzione di un'equazione differenziale del primo ordine

Determina l'integrale generale dell'equazione differenziale

y^{'} + x e^{x} = 1

.
È un'equazione del tipo

y^{'} = f (x)

:

y^{'} = 1 - x e^{x}

y = \int 1 - x e^{x} d x

y =

________

- x e^{x}

________

\int e^{x} d x

y = x - x e^{x} + e^{x} + c

.

Completamento chiuso