Fondamentali alla prova - I triangoli

Osserva la figura e indica l'affermazione corretta.

Nel triangolo $ABC$, $M$ è il punto medio del lato $BC$. Abbiamo prolungato $AM$ di un segmento $ME\cong AM$ e congiunto $B$ con $E$. Dimostra che $AC\cong BE$.

Ipotesi
________$\cong MB$,
$ME\cong AM$.

Tesi
$AC\cong BE$

Dimostrazione

Consideriamo i triangoli $AMC$ e $BME$. Essi hanno:
• ________$\cong MB$ per ipotesi;
• $ME\cong AM$ per ipotesi;
• $A\hat{M}C\cong$________ perché opposti al vertice.
Quindi sono congruenti per il ________ criterio di congruenza.
In particolare, $AC\cong BE$ perché lati opposti alla coppia di angoli congruenti ________ e ________.

Osserva la figura, scrivi le ipotesi e dimostra che $B\hat{C}P\cong D\hat{C}P$.

Ipotesi
$AB\cong$________, ________$\cong DP$.

Tesi
$B\hat{C}P\cong D\hat{C}P$

Dimostrazione

Consideriamo i triangoli $ABP$ e $ADP$. Essi hanno:
• $AB\cong$________ per ipotesi;
• ________$\cong DP$ per ipotesi;
• $AP$ in comune.
Quindi sono congruenti per il ________ criterio. In particolare $B\hat{P}A\cong$________ perché angoli opposti ai lati congruenti $AB$ e ________.

Consideriamo ora i triangoli $BPC$ e $DPC$. Essi hanno:
• ________ in comune;
• $BP\cong$________ per ipotesi;
•  $B\hat{P}C\cong$________ perché supplementari degli angoli $B\hat{P}A$ e $D\hat{P}A$, congruenti per la dimostrazione precedente.
Quindi sono congruenti per il ________ criterio. In particolare, $B\hat{C}P\cong$________ perché angoli opposti ai lati congruenti $BP$ e $DP$.

Indica se le seguenti affermazioni sono vere o false.

Stabilisci se le seguenti terne possono rappresentare le misure in decimetri dei lati di un triangolo:

a.   $13;15;28;$   ________
b.   $12,2;18;26,3.$   ________

Stabilisci se le seguenti condizioni sono sufficienti per stabilire la congruenza di due triangoli $ABC$ e $DEF$ e, nel caso affermativo, in base a quale criterio.
a.   $AB\cong DE$, $BC\cong DF$, $\hat{B}\cong \hat{F}$.
b.   $AC\cong FE$, $AB\cong DE$, $BC\cong DF$.
c.   $BC\cong FE$, $AC\cong DF$, $\hat{C}\cong \hat{F}$.
d.   $\hat{B}\cong \hat{F}$, $\hat{C}\cong \hat{E}$, $CB\cong FE$.

Le condizioni sufficienti per stabilire la congruenza di due triangoli $ABC$ e $DEF$ sono ________.
La condizione ________ è sufficiente in base al ________ criterio.
La condizione b è sufficiente in base al ________ criterio.
La condizione ________ è sufficiente in base al ________ criterio.

I triangoli $ABC$ e $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ hanno $BC\cong B^{\prime }{C}^{\prime }$, $A\hat{B}C\cong A^{\prime }\widehat{B^{\prime }}{C}^{\prime }$, $A\hat{C}B\cong A^{\prime }\widehat{C^{\prime }}{B}^{\prime }$. $D$ e $D^{\prime }$ sono i punti medi di $AB$ e $A^{\prime }{B}^{\prime }$. $E$ ed $E^{\prime }$ sono i punti medi di $AC$ e $A^{\prime }{C}^{\prime }$. Dimostra che $DE\cong D^{\prime }{E}^{\prime }$.

Ipotesi
$BC\cong B^{\prime }{C}^{\prime }$, $A\hat{B}C\cong A^{\prime }\widehat{B^{\prime }}{C}^{\prime }$, $A\hat{C}B\cong A^{\prime }\widehat{C^{\prime }}{B}^{\prime }$, $AE\cong EC$, $A^{\prime }{E}^{\prime }\cong E^{\prime }{C}^{\prime }$, $AD\cong DB$, $A^{\prime }{D}^{\prime }\cong D^{\prime }{B}^{\prime }$.

Tesi
$DE\cong D^{\prime }{E}^{\prime }$

Dimostrazione

Per ipotesi, i triangoli $ABC$ e $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ hanno ordinatamente congruenti un lato e i due angoli a esso adiacenti, quindi sono congruenti per il ________ criterio di congruenza.

In particolare, $AC\cong$________, $AB\cong$________ e $C\hat{A}B\cong C^{\prime }\widehat{A^{\prime }}{B}^{\prime }$ perché lati e angoli corrispondenti di triangoli congruenti.

Consideriamo ora i triangoli $AED$ e $A^{\prime }{E}^{\prime }{D}^{\prime }$. Essi hanno:
• $AE\cong A^{\prime }{E}^{\prime }$________;
• $AD\cong$________ perché metà di lati congruenti;
• $E\hat{A}D\cong C\hat{A}B\cong C^{\prime }\widehat{A^{\prime }}{B}^{\prime }\cong$________ per la dimostrazione precedente.
Quindi sono congruenti per il ________ criterio di congruenza.
In particolare, $DE\cong D^{\prime }{E}^{\prime }$ perché lati opposti alla coppia di angoli congruenti ________ e ________.

Sulla base $AB$ del triangolo isoscele $ABC$ sono stati presi i punti $F$ e $G$ tali che $AF\cong BG$ e sui lati obliqui $AC$ e $BC$ rispettivamente i punti $D$ ed $E$ tali che $CD\cong CE$ e $AF>AD$.
Detto $P$ il punto di intersezione delle rette $DF$ ed $EG$, dimostra che:
a. il triangolo $FPG$ è isoscele;
b. il punto $P$ appartiene alla bisettrice dell'angolo $A\hat{C}B$.

Ipotesi
$ABC$ isoscele, $AF\cong BG$, $CD\cong CE$, $AF>AD$.

Tesi
$FGP$ isoscele, $CP$ bisettrice di $A\hat{C}B$.

Dimostrazione

a.
Il triangolo $ABC$ è isoscele quindi, per ________ del triangolo isoscele, otteniamo: $C\hat{A}B\cong$________.

Consideriamo i triangoli $DAF$ e $EBG$. Essi hanno:
• $D\hat{A}F\cong C\hat{A}B\cong C\hat{B}A\cong$________ per la dimostrazione precedente;
• $AD\cong EB$ perché ________ di segmenti congruenti;
• $AF\cong$________ per ipotesi.
Quindi sono congruenti per il ________ criterio.
In particolare, $A\hat{F}D\cong$________ perché angoli opposti ai lati congruenti ________ e $EB$. Di conseguenza, $P\hat{F}G\cong$________ perché opposti al vertice di angoli congruenti. Quindi, per ________ del triangolo isoscele, il triangolo $FPG$ è isoscele.

b.
Abbiamo dimostrato che:
• $DAF\cong EGB$. In particolare $DF\cong EG$;
• il triangolo $FPG$ è isoscele con base ________, quindi $FP\cong$________.

Consideriamo ora i triangoli $CDP$ e $CEP$. Essi hanno:
• $DP\cong EP$ perché ________ di segmenti congruenti;
• $CP$ in comune;
• $CD\cong EC$ per ipotesi.
Quindi sono congruenti per il ________ criterio.
In particolare, $D\hat{C}P\cong$________ perché angoli opposti ai lati congruenti $DP$ e ________. Quindi $A\hat{C}P\cong D\hat{C}P\cong P\hat{C}E\cong P\hat{C}B$.
Concludiamo che $CP$ è la bisettrice dell'angolo $A\hat{C}B$.