Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Matematica.azzurro biennio (3ª edizione) Volume 1 Fai il punto sulle competenze - Problemi sulle rette

Fai il punto sulle competenze - Problemi sulle rette

9 esercizi

SVOLGI

INFO

Utilizza i dati della figura, in cui la retta

B C

è parallela all'asse

x

, e determina le equazioni delle rette

C B

A B

.

Sostituiamo l'ascissa del punto

A

nell'equazione della retta

A C

e ricaviamo che l'ordinata del punto

A

vale ________.
Sostituiamo l'ascissa del punto

C

nell'equazione della retta

A C

e ricaviamo che l'ordinata del punto

C

vale ________. Il punto

B

ha la stessa ordinata del punto

C

.
Quindi l'equazione della retta

C B

è ________.
Usiamo l'equazione della retta passante per due punti e ricaviamo l'equazione della retta

A B

\frac{y - (- 1)}{3 - (- 1)} = \frac{x - 2}{5 - 2}

.
Svolgiamo i calcoli e troviamo che l'equazione della retta

A B

in forma implicita è:
________

= 0

Completamento chiuso

Considera il triangolo di vertici $A (- 4; - 1)$ , $B (3; - 2)$ , $C (2; 4)$ . Calcola la misura dell'altezza $h$ relativa al lato $B C$ e l'area del triangolo.

Rappresentiamo il triangolo nel piano cartesiano.

Determiniamo l'equazione della retta $r$ che contiene $B C$ :

$r$ : $y = - 6 x + 16$ .

Calcoliamo $h$ e $\bar{B C}$ :

$h = d (A; r) =$

$\| 6 \cdot (- 4) - 1 -$ ________ $\|$	$= \frac{41}{\sqrt{37}}$ ;
$\sqrt{36 + 1}$

$\bar{B C} = \sqrt{(3 - 2)^{2} + (- 2 - 4)^{2}} =$ ________.

Calcoliamo l'area del triangolo $A B C$ :

$\frac{\bar{B C} \cdot h}{2} =$ $\frac{1}{2} \cdot \sqrt{37} \cdot \frac{41}{\sqrt{37}} =$ ________.

Completamento chiuso

Determina l'equazione della retta

s

, perpendicolare alla retta

x - 3 y + 5 = 0

, e passante per

P (3; - 1)

. Individua su tale retta un punto

A

con ordinata tripla rispetto all'ascissa.

Chiamiamo

r

la retta di equazione

x - 3 y + 5 = 0

.
Scriviamo l'equazione della retta

r

in forma esplicita:

x - 3 y + 5 = 0 \to y = \frac{1}{3} x + \frac{5}{3} .

La retta

s

ha equazione

y = -

________

x + q

.
Determiniamo il valore di

q

- 1 = 3 \cdot 3 + q \to q =

________.
La retta

s

ha equazione

y = -

________

x

+ 8

.
Il punto

A

ha coordinate del tipo:

A (x; 3 x)

.
Sostituiamo le coordinate di

A

nella retta

s

3 x = - 3 x + 8 \to

x =

________.
Il punto

A

ha coordinate

(

\frac{4}{3}

;________

)

Completamento chiuso

Considera il triangolo di vertici

A (2; 3)

B (4; - 1)

C (0; 3)

. Determina le equazioni delle mediane e il loro punto di incontro.

Rappresentiamo il triangolo nel piano cartesiano.

Indichiamo

T

N

M

rispettivamente i punti medi dei segmenti

A B

B C

A C

.

Determiniamo le coordinate dei punti medi:

T = (

________;________

)

=

(3; 1)

;

N = (\frac{4}{2}; \frac{- 1 + 3}{2})

=

(2;

________

)

;

M = (\frac{2}{2}; \frac{3 + 3}{2}) =

(1;

________

)

.

Determiniamo le equazioni delle rette.
Equazione della retta

A N

x = 2

Equazione della retta

B M

\frac{y + 1}{4} = \frac{x - 4}{- 3} \to y =

________

x + \frac{13}{3}

.
Equazione della retta

C T

:
________

= \frac{x}{3} \to

y = - \frac{2}{3} x + 3

.

Dalla geometria euclidea sappiamo che le tre mediane si incontrano tutte in uno stesso punto.
Per trovare le sue coordinate intersechiamo, per esempio, le rette

A N

C T

{\begin{cases} x = 2 \\ y = - \frac{2}{3} x + 3 \end{cases} \to

y =

________.
Il punto cercato è

(2; \frac{5}{3})

Completamento chiuso

Scrivi le equazioni contenenti i lati del quadrilatero

A B C D

con

A (- 4; - 3)

B (6; 1)

C (3; 4)

A (- 2; 2)

. Verifica che tale quadrilatero è un trapezio.

Le equazioni delle rette cercate sono:

A B

y =

\frac{2}{5} x -

________;

B C

y = - x + 7

;

C D

y =

________

x + \frac{14}{5}

;

D A

y =

________

x

+ 7

;

Il quadrilatero è un trapezio perché i lati

A B

C D

sono ________.

Completamento chiuso

Determina per quale valore di

k \in R

la retta di equazione

y = k x - 3 k + 5

:
a. dista dall'origine

3

;
b. passa per

A (4; 2)

;
c. è perpendicolare alla retta passante per

B (- 2; - 3)

C (- 4; 3)

.

a. Usiamo la formula

\frac{| c |}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}

che esprime la distanza di una retta dall'origine, dove

a

b

c

sono i valori dei coefficienti e del termine noto nell'equazione della retta in forma implicita

a x + b y + c = 0

. Poiché la retta dista

3

dall'origine, possiamo impostare l'equazione:

3 =

________.
Svolgiamo i calcoli:

(- 3 k + 5)^{2} =

________.
Risolviamo l'equazione e ricaviamo

k =

________.

b. Sostituiamo le coordinate del punto

A

nell'equazione della retta e ricaviamo

k =

________.

c. L'equazione della retta passante per i punti

B

C

si ricava dalla formula

\frac{y - y_{A}}{y_{B} - y_{A}} = \frac{x - x_{A}}{x_{B} - x_{A}}

.
Svolgendo i calcoli troviamo che l'equazione della retta in forma esplicita è:

y = - 3 x

________.
Poiché la retta data ha coefficiente angolare pari a

k

e deve essere perpendicolare alla retta passante per i punti

B

C

, ricaviamo

k =

________.

Completamento chiuso

Osserva la figura, usa i dati per stabilire se il triangolo

A B C

è rettangolo e calcolane l'area.

Dalla figura deduciamo che le coordinate del punto

B

sono

(4; 1)

. Inoltre, il punto

C

ha ________ pari a

6

e appartiene alla retta

y = \frac{1}{2} x + 3

, quindi la sua ordinata è

y = \frac{1}{2} \cdot 6 + 3 = 6 \to C (6; 6) .

Con un ragionamento analogo determiniamo le coordinate di

A

A (0;

________

) .

Determiniamo le rette

A B

B C

A B : \frac{y - 3}{1 - 3} = \frac{x - 0}{y - 0} \to

y_{A B} =

________.

B C : \frac{y - 1}{6 - 1} = \frac{x - 4}{6 - 4} \to

y_{B C} =

\frac{5}{2} x - 9

.
Poiché

m_{A B} \cdot m_{B C}

________

- 1

, il triangolo ________ rettangolo.
Determiniamo la distanza di

C

A B

, cioè l'altezza del triangolo:

h = \frac{| 6 + 12 - 6 |}{\sqrt{1 + 4}} =

________.
Determiniamo la base

\bar{A B}

\bar{A B} = \sqrt{(4 - 0)^{2} + (1 - 3)^{2}} =

\sqrt{16 + 4} = 2 \sqrt{5}

.
Quindi l'area del triangolo è

A = \frac{\bar{A B} \cdot h}{2} = \frac{1}{2} \cdot 2 \sqrt{5} \cdot \frac{12}{\sqrt{5}} = 12

Completamento chiuso

Sulla retta di equazione

y = - 2 x + 3

determina il punto

A

di ascissa

2

e il punto

B

di ordinata

5

. Sulla retta passante per il punto medio di

A B

e di coefficiente angolare

\frac{1}{2}

, trova un punto

C

di ascissa

\frac{9}{2}

e verifica che il triangolo

A B C

è isoscele.

Sostituiamo l'ascissa del punto

A

nell'equazione della retta data e ricaviamo l'ordinata di

A

y_{A} =

________.
Sostituiamo l'ordinata del punto

B

nell'equazione della retta data e ricaviamo l'ascissa di

B

x_{B} =

________.
Calcoliamo le coordinate del punto medio

M

A B

mediante la formula

(\frac{x_{A} + x_{B}}{2}; \frac{y_{A} + y_{B}}{2})

(x_{M}; y_{M}) =

________.
Per ricavare l'equazione della retta con coefficiente angolare

m = \frac{1}{2}

passante per il punto

M

sostituiamo i valori di

m

x_{M}

y_{M}

nella generica equazione della retta

y = m x + q

. Troviamo:

y =

________.
Analogamente a come abbiamo fatto per il punto

A

, troviamo l'ordinata del punto

C

y_{C} =

________.
Se il triangolo

A B C

è isoscele, allora ha due lati congruenti. Calcoliamo le lunghezze dei segmenti

A B

A C

B C

\bar{A B} = \sqrt{(- 1 - 2)^{2} + (5 + 1)^{2}} = \sqrt{45}

;

\bar{A C} = \sqrt{\frac{125}{4}}

;

\bar{B C} =

________.
Poiché due lati sono congruenti, possiamo concludere che il triangolo

A B C

è isoscele.

Completamento chiuso

Vero o falso?
La retta passante per

A (4; - 1)

B (2; 3)

passa per

C (3; 1)

è perpendicolare alla retta di equazione

2 y - x - 2 = 0

interseca l'asse

y

(0; 5)

forma con gli assi cartesiani un triangolo di area

49

Vero o falso