Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Matematica.azzurro biennio (3ª edizione) Volume 1 Fai il punto sulle competenze - Le simmetrie centrali, le simmetrie assiali, le omotetie

Fai il punto sulle competenze - Le simmetrie centrali, le simmetrie assiali

10 esercizi

SVOLGI

INFO

Determina le immagini del punto $A (3; 4)$ nelle trasformazioni $s_{O} \circ s_{P}$ e $s_{P} \circ s_{O}$ , dato il punto $P (1; - 2)$ .

Le equazioni della simmetria $s_{O}$ sono:

${\begin{cases} \end{cases}$	$x^{″} = - x^{'}$	.
	$y^{″} =$ ________

Le equazioni della simmetria $s_{P}$ sono:

${\begin{cases} \end{cases}$	$x^{'} = 2 - x$	.
	$y^{'} =$ ________

La composizione $s_{O} \circ s_{P}$ ha equazioni

${\begin{cases} \end{cases}$	$x^{″} =$ ________	.
	$y^{″} =$ ________

Quindi il punto $A^{'}$ nella trasformazione $s_{O} \circ s_{P}$ è

$A^{'} = (s_{O} \circ s_{P}) (A) = ($ ________,________ $)$ .

La composizione $s_{P} \circ s_{O}$ ha equazione

${\begin{cases} \end{cases}$	$x^{″} =$ ________	.
	$y^{″} = - 4 + y$

Quindi il punto $A^{″}$ nella trasformazione $s_{P} \circ s_{O}$ è

$A^{″} = (s_{P} \circ s_{O}) (A) = ($ ________,________ $)$ .

Completamento chiuso

Disegna il triangolo di vertici

A (1; 0)

B (- 3; 0)

C (- 2; 3)

. Determina le coordinate del punto medio

E

del lato

A C

e del punto medio

F

del lato

B C

e verifica, utilizzando le proprietà dell'omotetia, che

E F

è parallelo ad

A B

e che

E F

è la metà di

A B

.

Rappresentiamo il triangolo in figura.

Determiniamo le coordinate del punto medio

E

del lato

A C

e del punto medio

F

del lato

B C

x_{E} =

________

= - \frac{1}{2}

y_{E} = \frac{0 + 3}{2} = \frac{3}{2}

;

x_{F} =

________

= - \frac{5}{2}

y_{F} = \frac{0 + 3}{2} = \frac{3}{2}

.

Determiniamo il centro dell'omotetia e il rapporto

k

dell'omotetia per poter applicare il teorema dell'omotetia e dimostrare che

E F

è parallelo a

A B

\frac{\bar{E F}}{\bar{A B}} = k

.

Osserviamo che il centro dell'omotetia deve essere il punto

C

, infatti è l'unico punto che appartiene sia alla retta passante per i punti

A

C

E

, sia alla retta passante per i punti

B

C

F

.

Determiniamo l'equazione della retta

r

passante per i punti

A C

e verifichiamo che il punto

E

appartiene a tale retta.

Il coefficiente angolare della retta

r

m = \frac{3 - 0}{- 2 - 1} =

________

1

.

L'equazione della retta è

r

y - 0 = - 1 (x

________

1) \to

y = - x + 1

.

Il punto

E

di coordinate

(- \frac{1}{2}; \frac{3}{2})

appartiene ad

r

infatti:

y_{E} = - x_{E} + 1 = -

________

+ 1 =

\frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}

.

A questo punto calcoliamo le lunghezze dei lati

C E

C A

e determiniamo il rapporto

k

dell'omotetia:

\bar{C E} =

________

=

\sqrt{\frac{9}{4} + \frac{9}{4}} = \frac{\sqrt{18}}{2}

;

\bar{C A} = \sqrt{(- 2 - 1)^{2} + (3 - 0)^{2}} = \sqrt{18}

;

k = \frac{\bar{C E}}{\bar{C A}} = \frac{\sqrt{18}}{2} \cdot

________

= \frac{1}{2}

.

Allo stesso modo determiniamo l'equazione della retta

s

passante per i punti

B

C

e verifichiamo che il punto

F

appartiene a tale retta.
Il coefficiente angolare della retta

s

m = \frac{3 - 0}{- 2 - (- 3)} = 3

.
L'equazione della retta è

s

y - 0 = 3 (x

________

(- 3)) =

3 x + 9

.

Il punto

F

di coordinate

(- \frac{5}{2}; \frac{3}{2})

appartiene a

s

, infatti:

y_{F} = 3 x_{F} + 9 = 3 (- \frac{5}{2}) + 9 =

\frac{- 15}{2} + 9 = \frac{3}{2} .

Calcoliamo le lunghezze dei lati

C B

C F

e il loro rapporto, che ci aspettiamo essere uguale a

k

\bar{C B} = \sqrt{(- 2 - (- 3))^{2} + (3 - 0)^{2}} =

________

= \sqrt{10}

;

\bar{C F} = \sqrt{{(- 2 - (- \frac{5}{2}))}^{2} + {(3 - \frac{3}{2})}^{2}} =

\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{9}{4}} = \frac{\sqrt{10}}{2}

;

k = \frac{\bar{C F}}{\bar{C B}} = \frac{\sqrt{10}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{1}{2} .

Dal teorema dell'omotetia segue che

E F

è parallelo a

A B

\frac{\bar{E F}}{\bar{A B}} =

________.

Completamento chiuso

Dato il rombo di vertici $A (- 2; 1)$ , $B (- 3; 4)$ , $C (- 2; 7)$ e $D (- 1; 4)$ , trova la sua figura simmetrica rispetto all'asse di equazione $y = - 2$ e verifica che è ancora un rombo.

Le equazioni della simmetria assiale sono

$s_{r} : {\begin{cases} \end{cases}$	$x^{'} = x$	.
	$y^{'} =$ ________ $- y$

I vertici quindi sono

$A^{'} (- 2;$ ________ $)$ , $B^{'} (- 3;$ ________ $)$ ,

$C^{'} (- 2;$ ________ $)$ , $D^{'} (- 1;$ ________ $)$ .

$A B C D$ è un rombo, quindi $A B ≅ B C ≅ C D ≅ D A$ .

Poiché la simmetria assiale è una ________, il quadrilatero simmetrico di $A B C D$ è tale che $A B ≅ A^{'} B^{'}$ , $B C ≅ B^{'} C^{'}$ , $C D ≅ C^{'} D^{'}$ , $D A ≅ D^{'} A^{'}$ .

Un quadrilatero avente quattro lati uguali è necessariamente un ________.

Completamento chiuso

Date le equazioni delle simmetrie $s_{1}$ e $s_{2}$ , determina le equazioni delle trasformazioni composte $s_{1} \circ s_{2}$ e $s_{2} \circ s_{1}$ .

$s_{1} : {\begin{cases} x^{'} = y \\ y^{'} = x \end{cases}$ ; $s_{2} : {\begin{cases} x^{'} = - x \\ y^{'} = y \end{cases}$ .

La trasformazione $s_{1} \circ s_{2}$ ha equazioni:

${\begin{cases} \end{cases}$	$x^{'} =$ ________	.
	$y^{'} =$ ________

La trasformazione $s_{2} \circ s_{1}$ ha equazioni:

${\begin{cases} \end{cases}$	$x^{'} =$ ________	.
	$y^{'} =$ ________

Completamento chiuso

Data la retta $s$ di equazione
$x + 3 y + 6 = 0$
calcola la distanza del punto $A (- 3; 5)$ dalla retta $s^{'}$ , trasformata di $s$ nella simmetria con centro nell'origine.

Le equazioni della simmetria $s_{0}$ sono:

${\begin{cases} \end{cases}$	$x^{'} =$ ________	.
	$y^{'} =$ ________

Le equazioni della relativa trasformazione sono:

${\begin{cases} \end{cases}$	$x =$ ________	.
	$y = - y^{'}$

La retta $s^{'}$ ha equazione:

________ $x$ ________ $y + 6 = 0$ .

La distanza tra il punto $A (- 3; 5)$ e la retta $s^{'}$ è

$d_{(s^{'}, A)} =$	$\| -$ ________ $- 3 \cdot 5 + 6 \|$	$=$
	________

________	$= \frac{3}{5} \sqrt{10}$ .
$\sqrt{10}$

Completamento chiuso

Dimostra che un triangolo isoscele e il suo simmetrico rispetto alla base formano un rombo.

Disegniamo la figura.

Dato il triangolo isoscele di base

A B

, i lati

A C

B C

sono congruenti per ipotesi.
Applicando la simmetria assiale rispetto alla base, i vertici del segmento di base avranno sé stessi come immagini, cioè saranno dei punti ________.
Il vertice

C

è trasformato nel punto

C^{'}

, dall'altra parte rispetto alla base del triangolo. Il segmento

A C

è trasformato nel segmento

A C^{'}

, mentre il segmento

B C

B C^{'}

.
Poiché la simmetria assiale è una isometria,

A C

________

A C^{'}

B C

________

B C^{'}

, per ipotesi inoltre possiamo affermare che

A C^{'} ≅ A C ≅ B C ≅ B C^{'}

e che

C \hat{A} B ≅ C^{'} \hat{A} B

.
Il quadrilatero

C A C^{'} B

è quindi un ________ perché ha i lati opposti congruenti.
Le diagonali del quadrilatero

A B

C C^{'}

, sono ________ per costruzione della simmetria assiale.
Il quadrilatero

C A C^{'} B

è quindi un rombo.

Completamento chiuso

Dimostra che, se un poligono ha perimetro

l

, il suo trasformato mediante un'omotetia di rapporto

k

ha perimetro

| k | l

.

Indichiamo con

L_{i}

l'i-esimo lato del poligono di

n

lati.
Il perimetro del poligono è pari alla ________ dei suoi lati:

P = l = L_{1}

________

L_{2}

\dots

________

L_{n}

.
Applicando una omotetia di rapporto

k

e denominando

L_{1}^{'}

il lato del poligono trasformato, abbiamo: ________

= | k |

.
Esprimiamo il valore di

L_{i}^{'} =

________.
Il perimetro

P^{'}

del poligono trasformato è:

P^{'} = L_{1}^{'} + \dots + L_{n}^{'} =

________

+ \dots +

________.
Raccogliamo il fattore |k| in modo da dimostrare la tesi:

P^{'} = | k | P

Completamento chiuso

Siano $o_{1}$ l'omotetia di equazioni ${\begin{cases} x^{'} = \frac{1}{2} x \\ y^{'} = \frac{1}{2} y \end{cases}$ e $o_{2}$ l'omotetia di equazioni ${\begin{cases} x^{'} = 5 x \\ y^{'} = 5 y \end{cases}$ . Determina l'equazione della retta $r^{'}$ , immagine, nella trasformazione $o = o_{1} \circ o_{2}$ , della retta $r$ di equazione $2 x + y + 1 = 0$ .

Per prima cosa esplicitiamo i valori di $x$ e $y$ nelle equazioni delle omotetie $o_{1}$ e $o_{2}$ .

Abbiamo

$o_{1} {\begin{cases} \end{cases}$	$x =$ ________	e
	$y = 2 y^{'}$

$o_{2} {\begin{cases} \end{cases}$	$x =$ ________	.
	$y = \frac{y^{'}}{5}$

Applichiamo la trasformazione $o = o_{1} \circ o_{2}$ alla retta $r$ .

Applichiamo per prima la trasformazione $o_{2}$ .

Sostituiamo quindi la $x$ e la $y$ nell′equazione della retta $r$ con i valori forniti dalla $o_{2}$ :

$2 \cdot \frac{x^{'}}{5} + \frac{y^{'}}{5} + 1 = 0$ .

Ora sostituiamo i valori di $x^{'}$ e $y^{'}$ con i valori di $x$ e $y$ forniti dalla $o_{1}$ :

$2 \cdot$ ________ $+ 2 \cdot \frac{y^{'}}{5} + 1 = 0 \to$

$4 x^{'} + 2 y^{'} + 5 = 0$ .

La retta $r^{'}$ , immagine della trasformazione $o = o_{1} \circ o_{2}$ , ha equazione, togliendo gli apici, $4 x + 2 y + 5 = 0$ .

Completamento chiuso

Data la retta $r$ di equazione
$2 x + 4 y - 1 = 0$ ,
determina la sua simmetrica $r^{'}$ rispetto all'asse di equazione $y = x$ . Dove si incontrano $r$ e $r^{'}$ ?

Le equazioni della simmetria assiale sono:

${\begin{cases} \end{cases}$	$x^{'} =$ ________	.
	$y^{'} =$ ________

Le equazioni della trasformazione sono:

${\begin{cases} \end{cases}$	$x =$ ________	.
	$y =$ ________

La retta $r^{'}$ simmetrica di $r$ rispetto all'asse $y = x$ è: ________.

Il punto di intersezione tra la retta $r$ ed $r^{'}$ è l'unico punto delle due rette in cui il valore dell'ascissa è uguale a quello della ordinata.

Sostituiamo la condizione $x = y$ nell'equazione della retta $r$ .

$2 x + 4$ ________ $- 1 = 0$ .

Le rette $r$ e $r^{'}$ si incontreranno nel punto
$P ($ ________ $, \frac{1}{6})$ .

Completamento chiuso

Sia $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ il corrispondente del parallelogramma di vertici $A (- 8; - 6)$ , $B (- 4; - 5)$ , $C (- 1; - 1)$ e $D (- 5; - 2)$ nell'omotetia di centro $O$ e rapporto $k = - \frac{1}{3}$ . Verifica, per almeno due coppie di lati omologhi, che tali lati sono paralleli.

Le equazioni della omotetia di centro $O$ e rapporto $k = - \frac{1}{3}$ sono:

${\begin{cases} \end{cases}$	$x^{'} =$ ________	.
	$y^{'} =$ ________

Determiniamo le coordinate dei punti $A^{'}$ , $B^{'}$ , $C^{'}$ e $D^{'}$ :

$A^{'} (\frac{8}{3},$ ________ $)$ ; $B^{'} ($ ________, $\frac{5}{3}$ $)$ ;

$C^{'} ($ $\frac{1}{3}$ ,________ $)$ ; $D^{'} (\frac{5}{3}; \frac{2}{3})$ .

Per verificare che due lati corrispondenti sono paralleli basta calcolare il ________ dei rispettivi lati.

$m_{A B} =$	$- 5 + 6$	$= \frac{1}{4}$
	________

$m_{A^{'} B^{'}} =$	$2 - \frac{5}{3}$	$= \frac{1}{4}$
	________

Pertanto, i lati $A B$ e $A^{'} B^{'}$ sono paralleli.

$m_{B C} =$	$- 1 + 5$	$= \frac{4}{3}$
	________

$m_{B^{'} C^{'}} =$	$\frac{1}{3} - \frac{5}{3}$	$= \frac{4}{3}$
	________

Pertanto i lati $B C$ e $B^{'} C^{'}$ sono paralleli.

Completamento chiuso