Fai il punto sulle competenze - Le rette perpendicolari e parallele #377518

Due rette parallele formano con una trasversale angoli alterni interni congruenti. Dimostra che sono supplementari:
a. gli angoli coniugati interni;
b. gli angoli coniugati esterni.

a. Dobbiamo dimostrare che

β +

________

≅ 180^{\circ}

.
Per ipotesi,

α ≅

________; inoltre,

α + β ≅ 180^{\circ}

. Quindi:

β + γ ≅ β + α ≅ 180^{\circ}

.

b. Dobbiamo dimostrare che

δ +

________

≅ 180^{\circ}

.
Osserviamo che

ε ≅ γ

e

δ ≅

________ poiché angoli opposti al vertice. Allora:

δ + ε ≅ β + γ ≅ 180^{\circ}

.

Completamento chiuso

Da un punto

D

del lato

A C

del triangolo

A B C

traccia le parallele ai lati

C B

e

A B

che intersecano i lati

A B

e

C B

, rispettivamente nei punti

E

e

F

. Dimostra che

D \hat{E} B ≅ D \hat{F} B

.

Rappresentiamo il problema in figura.

Osservando la figura, possiamo dire che

E \hat{B} G ≅ D \hat{F} B

poiché angoli ________. Inoltre,

E \hat{B} G ≅ D \hat{E} B

poiché angoli ________.
Possiamo quindi concludere che

D \hat{F} B ≅ D \hat{E} B

per proprietà transitiva.

Completamento chiuso

Vero o falso?

A:

Se due rette formano con una terza retta angoli coniugati interni supplementari, allora sono parallele.

B:

Se due rette formano con una terza retta angoli coniugati interni congruenti, allora sono parallele.

C:

Se due rette formano con una terza retta incidente angoli esterni congruenti, allora sono parallele.

Vero o falso

Dal punto medio $M$ di un segmento $P Q$ traccia una retta $r$ , distinta da $P Q$ . Fissa su $r$ , da parti opposte rispetto a $M$ , due punti $S$ e $T$ tali che $M S ≅ M T$ . Dimostra che la retta $P T$ è parallela alla retta $Q S$ .

Rappresentiamo il problema in figura.

Consideriamo i triangoli $P M S$ e $T M Q$ . Essi hanno

$S M ≅ M T$ per ipotesi;
$P M ≅ M Q$ per ipotesi;
$S \hat{M} P ≅$ ________ perché angoli opposti al vertice.

Quindi $P M S ≅ T M Q$ per il ________ criterio di congruenza dei triangoli.

In particolare, $P \hat{S} M ≅$ ________ poiché elementi corrispondenti in triangoli congruenti e inoltre sono angoli alterni interni.

Per il criterio di parallelismo le rette $P T$ e $S Q$ sono parallele.

Completamento chiuso

Trova la misura dell'ampiezza dell'angolo indicato in rosso sapendo che $a ∥ b$ .

Prolunghiamo i segmenti $C B$ e $A B$ rispettivamente fino alle rette $a$ e $b$ .

Osserviamo che:

l'angolo $C \hat{B} E$ è un angolo piatto;
l'angolo $A \hat{E} B ≅$ ________ perché è alterno interno dell'angolo ________.

Per il teorema dell'angolo esterno

$A \hat{B} E ≅ 180^{\circ} - 38^{\circ} - 65^{\circ} ≅ 77^{\circ} .$ .

Quindi l'ampiezza dell'angolo $A \hat{B} C$ è

$A \hat{B} C ≅ 180^{\circ} +$ ________ $= 257^{\circ}$ .

Completamento chiuso

Dimostra che, se il quadrilatero

A B C D

è tale che il vertice

A

coincide con il punto di intersezione degli assi dei lati

B C

e

C D

, allora

A \hat{B} D ≅ A \hat{D} B

.
Disegniamo la figura.

Chiamiamo

E

il punto di intersezione del lato

B C

con il suo asse e

F

il punto di intersezione del lato

C D

con il suo asse. Consideriamo i triangoli

A B E

e

A E C

.
Essi hanno

B E ≅ C E

,

A \hat{E} B ≅

________

≅ 90^{\circ}

e il lato

A E

è in comune. Allora

A E

è in comune. Allora

A B E ≅ A E C

per il ________ criterio di congruenza, quindi il triangolo ________ è isoscele e

A B ≅ A C

. Consideriamo il triangolo

A C D

. In modo analogo possiamo dimostrare che il triangolo

A C D

è isoscele perché

C F ≅

________,

A \hat{F} C ≅ A \hat{F} D ≅ 90^{\circ}

e ________ è in comune. Allora

A C ≅ A D

. Poiché

A C ≅ A B

, concludiamo che il triangolo

A B D

è isoscele e perciò gli angoli alla base ________ e ________ sono congruenti fra loro.

Completamento chiuso

Vero o falso?

A:

Dati un punto

P

e una retta

r

, essite sempre almeno una retta passante per

P

e perpendicolare a

r

.

B:

La proiezione ortogonale di un segmento su una retta è sempre minore del segmento dato.

C:

La proiezione ortogonale di un punto su una retta è un punto.

D:

La distanza di un punto da una retta è un segmento.

E:

Per un punto del piano appartenente a una retta

r

passano infinite rette perpendicolari.

Vero o falso

Trova le misure delle ampiezze degli angoli indicati in rosso sapendo che $a ∥ b$ .

Osserviamo che $180^{\circ} - α =$ ________ perché $180^{\circ} - α$ e $32^{\circ}$ sono angoli corrispondenti.
Quindi $α =$ ________ $= 148^{\circ}$ .
L'angolo di $84^{\circ}$ è l'opposto al vertice di $γ$ , quindi $γ =$ ________.
Allora $β =$ ________ $= 64^{\circ}$ .

Completamento chiuso

Nella figura, la retta

l

è parallela alla retta

m

. La misura dell'angolo

D \hat{A} C

è

55^{\circ}

. Quanto misura la somma degli angoli:

x + y

?

A:

55^{\circ}

B:

110^{\circ}

C:

125^{\circ}

D:

135^{\circ}

Scelta multipla

I due angoli

α

e

β

sono coniugati interni formati da due rette parallele tagliate da una trasversale. Sapendo che l'ampiezza di

α

supera di

40^{\circ}

i

\frac{3}{4}

dell'ampiezza di

β

, determina le ampiezze di

α

e

β

.

Gli angoli

α

e

β

sono coniugati interni.
Quindi

α + β =

________.
Traduciamo gli altri dati in un'equazione:

α = \frac{3}{4} β + 40^{\circ}

.
Sostituiamo l'espressione di

α

nella somma degli angoli:

α + β = \frac{3}{4} β + 40^{\circ} + β = 180^{\circ} \to

\frac{7}{4} β = 140^{\circ}

\to β =

________.
L'ampiezza di

α

è ________.

Completamento chiuso