Fai il punto sulle competenze - Le proprietà degli angoli dei poligoni #381251

In un triangolo

A B C

un angolo esterno è congruente alla somma dell'angolo interno a esso adiacente con uno degli altri due angoli interni. Dimostra che il triangolo è isoscele.
Disegnamo la figura.

δ ≅ β + α

e

δ ≅

________, allora

180^{\circ} - β ≅

________ ovvero

180^{\circ} ≅

________.
Sappiamo anche che la somma degli angoli interni di un triangolo è pari a

180^{\circ}

, quindi

180^{\circ} ≅

________

≅ α + β + γ

.
Allora

γ

________

β

. Questo equivale a dire che il triangolo

A B C

è isoscele.

Completamento chiuso

Determina le misure delle ampiezze degli angoli indicati in rosso.

Indichiamo alcuni vertici e angoli come in figura.

Determiniamo la misura dell'angolo

α

:

α ≅

________

≅ 105^{\circ}

.
Determiniamo la misura di

β

. Osserviamo che il triangolo

B D F

è isoscele perché i lati

B D

e ________ sono congruenti.
Quindi anche gli angoli alla base

D \hat{B} F

e

D \hat{F} B

sono congruenti e pari a ________

≅ 37, 5^{\circ}

.
Segue che

A \hat{F} D ≅

________ e

A \hat{D} F ≅ 180^{\circ} - 105^{\circ}

. Infine, concludiamo che

β ≅ 180^{\circ}

________

≅ 67, 5^{\circ}

.

Completamento chiuso

Marco manda la pallina in buca dopo ben quattro rimbalzi sulle sponde del tavolo da biliardo in figura. Quali sono le misure degli angoli

α

,

β

e

γ

?
L'ultimo tratto

D O

percorso dalla pallina è parallelo alla direzione della stecca? Motiva la risposta.

Dalla figura, determiniamo:

α ≅

________;

β ≅

________;
Osserviamo che

γ

≅

________ perché

γ

e

β

sono angoli alterni interni che si formano considerando la retta trasversale passante per

C D

rispetto alle rette parallele passanti per

C O

e

A D

.

L'ultimo tratto

D O

è parallelo alla direzione della stecca perché le rette passanti per ________ e

F E

e tagliate dalla trasversale passante per

A D

formano angoli alterni interni congruenti.

Completamento chiuso

Nell'esagono regolare della figura, che rappresenta la pianta dell'abitato storico di Grammichele, in Sicilia, trova le ampiezze di

α

,

β

,

γ

,

δ

,

ω

.

Nominiamo i vertici come in figura.

Il valore di ogni angolo interno dell'esagono regolare è pari a
________

≅

120^{\circ}

.
Osserviamo che il triangolo ________ è isoscele perché

A B ≅

________, quindi

α ≅ \frac{180^{\circ} - 120^{\circ}}{2} ≅ 30^{\circ}

.

Le stesse considerazioni valgono anche per il triangolo

C D E

, quindi anche

δ ≅ 30^{\circ}

. Determiniamo il valore di

ω

:

ω ≅

________

- 30^{\circ}

≅ 90^{\circ}

.
Anche ________

≅ 90^{\circ}

perché

D \hat{E} F ≅ 120^{\circ}

e

D \hat{E} C ≅ 30^{\circ}

.

Osserviamo infine che ________

≅ C F E

perché

C F

è in comune,

A F ≅ F E

e

ω ≅

________

≅ 90^{\circ}

.
Possiamo allora concludere che

β ≅

________

≅ \frac{120^{\circ} - 2 \cdot 30^{\circ}}{2} = 30^{\circ}

.

Completamento chiuso

Determina la misura dell'ampiezza dell'angolo indicato in rosso.

Indichiamo l'angolo

α

in figura e con

β

l'angolo incognito.

Osserviamo che

α ≅

________

≅ 112^{\circ}

.
Allora

β ≅ 360^{\circ}

________

≅ 94^{\circ}

.

Completamento chiuso

In natura alcuni fiori hanno approssimativamente il profilo di un pentagono regolare, come quello in figura. Trova le ampiezze di

α

,

β

,

γ

.

Nominiamo i vertici come in figura.

La somma degli angoli interni di un pentagono regolare è pari a

\frac{(5 - 2) π}{5} =

________ e i lati sono tra loro congruenti. Quindi

A B C ≅

________.
Allora

α

≅

________

≅ \frac{180^{\circ} - 108^{\circ}}{2} ≅ 36^{\circ}

.
Anche l'angolo

α + β + γ ≅

108^{\circ}

.
Allora

γ

≅

________

- (2 \cdot 36^{\circ}) = 36^{\circ}

.

Completamento chiuso

Osserva la figura, in cui

A D

è parallelo a

B C

. L'angolo

x

è uguale a:

A:

α + β

.

B:

2 β - α

.

C:

180^{\circ} - α

.

D:

180^{\circ} - β

.

Scelta multipla

Determina la misura dell'ampiezza dell'angolo indicato in rosso.

Indichiamo i vertici dei triangoli come in figura.

Osserviamo che

A \hat{B} D ≅

________.

D \hat{C} B ≅

________.
Allora

A \hat{B} C ≅

________

≅ 56^{\circ}

e

A \hat{B} D ≅ D \hat{B} C ≅ \frac{56^{\circ}}{2} ≅ 28^{\circ}

.
Concludiamo che

B \hat{D} C ≅

________

≅ 93^{\circ}

.

Completamento chiuso