Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Equazioni e sistemi non lineari Equazioni di secondo grado Equazioni numeriche fratte di secondo grado

Fai il punto sulle competenze - Le equazioni fratte

12 esercizi

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Per quali valori di

a

e di

b

l'equazione

\frac{3 x - 1}{x^{2} - 2 a x + 3 a} - \frac{7 x}{2 x + b} = 0

ha condizioni di esistenza

x \neq - 1 \land x \neq 3

a = - \frac{1}{5}, b = - 6.

\forall a, b = 3.

a = 3, b = 2

, oppure

a = - \frac{1}{5}

b = - 6.

a = 9, b = - 2.

Scelta multipla

Hanno le stesse condizioni di esistenza:

\frac{x}{x^{2} - 2 x + 1} = 3

\frac{1}{x - 1} = \frac{1}{2}

\frac{2 x + 1}{x - 3} = \frac{2 x}{x + 3}

\frac{5 x}{9 - x^{2}} = 6

\frac{11 - x}{x^{2} + x - 6} = x

\frac{1}{x + 2} + \frac{3 x}{x - 3} = 0

\frac{1}{3 x} - \frac{5 x + 2}{x^{2} + 1} = 0

\frac{3 x - 4}{x^{3} + x^{2}} = 5

Vero o falso

Quale tra le seguenti equazioni è equivalente a

(x + 1)^{2} = x (x - 4) - x^{2} - 8

nel dominio comune?

\frac{1 - x^{3}}{x^{2} - 9} - \frac{1}{2 x} = 0

\frac{2 x + 5}{x^{2} - 4} = \frac{1}{x - 2}

\frac{1}{x^{2} + 5 x + 6} = - \frac{1}{x + 3}

\frac{x^{2} + 9}{x^{2} + 3 x} = 1

Scelta multipla

Risolvi la seguente equazione.

\frac{x - 2}{x^{2} + 2 x} - \frac{x + 2}{2 x - x^{2}} = \frac{2 x - 4}{x^{2} + 2 x} + \frac{7}{x^{2} - 4}

Scomponiamo, quando possibile, i denominatori, cambiamo eventuali segni e scriviamo le C.E.:

\frac{x - 2}{x (x + 2)}

________

\frac{x + 2}{x (x - 2)} - \frac{2 (x - 2)}{x (x + 2)} - \frac{7}{(x + 2) (x - 2)} = 0

C.E.:

x \neq 0 \land x \neq \pm 2.

Riduciamo a denominatore comune e semplifichiamo il denominatore:

(x - 2)^{2} + (x + 2)^{2} - 2 (x - 2)^{2} - 7

________

= 0.

________

+ (x + 2)^{2} - 7 x = 0

- (x^{2} + 4 - 4 x) + x^{2} + 4 + 4 x - 7 x = 0

- x^{2} - 4 + 4 x + x^{2} + 4 + 4 x - 7 x = 0 \to

________.
La soluzione è ________.

Completamento chiuso

Stabilisci se l'uguaglianza

\frac{12}{5 x} (\frac{x^{2}}{8} + \frac{x}{3} + 1) = \frac{3 (x - 1) (x + 2)}{10 x} + \frac{x + 6}{2 x}

è un'identità e, in caso affermativo, scrivi sotto quali condizioni ha significato.
Se la interpretassi come equazione nell'incognita

x

, quali sarebbero le sue soluzioni?

Consideriamo il primo membro.
Le C.E. sono:

x \neq

________.

Svolgendo i calcoli otteniamo:
________

+ \frac{4}{5} + \frac{12}{5 x} =

________.
Consideriamo il secondo membro.
Le C.E. sono:

x \neq

________.
Svolgendo i calcoli otteniamo:
________

=

________.
I due membri ________ uguali e ________ le stesse C.E., quindi l'uguaglianza ________ un'identità.
Se la interpretassero come equazione nell'incognita

x

, le sue soluzioni sarebbero quindi: ________.

Completamento chiuso

Risolvi la seguente equazione.

\frac{2 x + 3}{9 - x^{2}} + \frac{6}{x^{3} - 9 x} = - \frac{2}{x}

Scomponiamo, quando possibile, i denominatori, e scriviamo le C.E.:

\frac{2 x + 3}{(3 + x) (3 - x)} -

________

+ \frac{2}{x} = 0

.
C.E.:

x \neq 0 \land x \neq \pm 3

.
Riduciamo a denominatore comune e semplifichiamo il denominatore:

(2 x + 3) x - 6

________

2 (3 + x)

________

= 0.

Svolgiamo i calcoli e applichiamo i principi di equivalenza:

2 x^{2} + 3 x - 6

________

- 6 x + 6 x - 2 x^{2} = 0

3 x = - 12

x =

________.
La soluzione è ________.

Completamento chiuso

Risolvi la seguente equazione.

\frac{x + 1}{2 + 3 x} = \frac{2}{3 x} + \frac{\frac{x}{3}}{x + \frac{2}{3}} + \frac{1}{3 x + 2}

Riscriviamo l'equazione in modo da non avere frazioni al denominatore e scriviamo le C.E.:

\frac{2}{3 x} +

________

\cdot \frac{\frac{x}{3}}{x + \frac{2}{3}}

________

\frac{1}{3 x + 2} - \frac{x + 1}{2 + 3 x} = 0

\frac{2}{3 x} +

________

+ \frac{1}{3 x + 2} -

________

= 0

C.E.:

x \neq 0 \land x \neq

________.

Sommiamo la seconda e la terza frazione e semplifichiamo:

\frac{2}{3 x} + \frac{x + 1}{3 x + 2} - \frac{x + 1}{3 x + 2} = 0

\frac{2}{3 x} = 0

.
L'equazione è ________, con

x \neq 0

Completamento chiuso

Risolvi la seguente equazione.

\frac{2 x^{3} - x^{2} - 18 x + 9}{2 x^{3} + 5 x^{2} - 3 x} = 0

Scomponiamo il denominatore:

2 x^{3} + 5 x^{2} - 3 x =

x (2 x^{2} + 5 x - 3) =

x

________.

Scriviamo le C.E..
C.E.:

x \neq 0 \land x \neq - 3 \land x \neq

________

Moltiplichiamo entrambi i membri per il denominatore e risolviamo l'equazione ottenuta:

2 x^{3} - x^{2} - 18 x + 9 = 0

x^{2} (2 x - 1) - 9

________

= 0

(2 x - 1) (x^{2} - 9) =

(2 x - 1) (x + 3)

________

= 0

.
Applichiamo la legge di annullamento del prodotto tenendo conto che, per le condizioni di esistenza, i primi due fattori non possono mai assumere valore zero. Otteniamo:
________.

Completamento chiuso

La classe

2^{a} D

partecipa a una gita scolastica. Agli alunni viene fornito un preventivo iniziale per l'autobus. Una settimana prima della partenza,

4

alunni rinunciano a partecipare alla gita. Per poter saldare il conto iniziale dell'autobus si decide di aumentare del

20 %

la quota iniziale di ciascun partecipante. Quanti alunni ha la classe

2^{a} D

?

________

Completamento chiuso

L'astronomo greco Aristarco elaborò una formula simile alla seguente, che lega varie grandezze astronomiche:

\frac{R_{T}}{d_{L}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{0, 033}{1 + \frac{d_{L}}{d_{S}}} .

R_{T} = 6, 3 \cdot 10^{6}

m è il raggio della Terra (stima di Eratostene).

d_{S} = 1, 5 \cdot 10^{11}

m è la distanza Terra-Sole.
Usa questi dati per stimare

d_{L}

, la distanza tra la Terra e la Luna.

Risolviamo l'equazione nell'incognita

d_{L}

\frac{R_{T}}{d_{L}} =

________
C.E.:

d_{L} \neq 0

d_{L} \neq - d_{S}

, entrambe vere.

2 d_{S} R_{T} + 2 R_{T} d_{L} = 0, 033 d_{S} d_{L}

d_{L} (

________

) = 2 d_{S} R_{T}

d_{L} =

________

≃

3, 83 \cdot

________

Completamento chiuso

In un triangolo isoscele

A B C

, il lato supera la base

A B

6

cm. Determina il perimetro del triangolo sapendo che:

\frac{\bar{C B} + 5 \bar{A B}}{2 \bar{A B}} = \frac{10}{3}

.

Poniamo

\bar{A B} = x

. Di conseguenza,

\bar{C B} =

________.
La relazione indicata diventa:
________

= \frac{10}{3}

.
Le C. E. sono:

x \neq 0

.

Riduciamo a denominatore comune e semplifichiamo il denominatore:

18 x

________

= 20 x

x =

________.
La soluzione è ________, perciò

\bar{A B} = 9

. Da cui:

\bar{C B} =

________ e il perimetro del triangolo è ________.

Completamento chiuso

In un numero di due cifre, la cifra dell'unità è

6

. Il rapporto tra il numero e quello ottenuto scambiando tra loro le due cifre è

\frac{23}{32}

. Trova il numero.

Indichiamo con

x

la cifra delle decine, con

x > 0

. Il numero è allora dato dall'espressione:
________.
Scriviamo l'equazione risolvente e troviamo le sue soluzioni.
________

= \frac{23}{32}

C.E.:

x \neq

________
________

= 0

320 x + 192 - 1380 - 23 x = 0

297 x = 1188 \to x = 4

La soluzione è ________, quindi il numero cercato è ________.

Completamento chiuso