Fai il punto sulle competenze - Il secondo criterio di congruenza e i triangoli isosceli

8 esercizi
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Matematica

A: Due triangoli isosceli sono congruenti se hanno congruenti un lato obliquo e l'angolo al vertice.
B: Un triangolo isoscele non può avere il lato obliquo congruente alla metà della base.
C: Un triangolo rettangolo non può essere isoscele.
D: La bisettrice dell'angolo al vertice di un triangolo isoscele divide il triangolo in due triangoli congruenti.
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Matematica

A: Un triangolo equiangolo non è anche equilatero.
B: In un triangolo equilatero ABC, la bisettrice dell'angolo A^ è mediana di BC.
C: Le bisettrici degli angoli alla base di un triangolo isoscele sono congruenti.
D: Se nel triangolo ABC la bisettrice dell'angolo A^ è anche mediana di BC, allora ABC è un triangolo equilatero.
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Matematica

In figura, L, M e N sono i punti medi dei lati del triangolo equilatero ABC.
Dimostra che il triangolo LMN è equilatero.
CL incontra NM in D. Dimostra che D è il punto medio di NM.

Ipotesi
ABC triangolo equilatero;
ANNC; ALLB; BMCM.

Tesi
LMN triangolo equilatero
NDDM

Dimostrazione
I triangoli ANL, LMB, ________ hanno:
AL________________perché metà di segmenti congruenti;
________BMMC per lo stesso motivo;
NA^LLB^M________ perché angoli di un triangolo equilatero;
quindi sono congruenti per il ________ criterio.
In particolare, NLLMNM, quindi LMN è un triangolo equilatero.

I triangoli ALC e BLC hanno:
• ________ perché L è punto medio di AB;
ACBC perché lati di triangolo equilatero;
CA^LCB^L perché angoli di triangolo equilatero;
quindi sono congruenti per il ________ criterio.
In particolare, AC^L________.

Nel triangolo NCM, isoscele perché NCCM, in quanto metà di segmenti congruenti, CD è allora ________ e quindi anche ________.
Allora NDDM.





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Matematica

Utilizzando le informazioni in figura dimostra che BPDQ.

Ipotesi
BA^CAC^D
CA^DBC^A
QD^CAD^Q
________PB^C

Tesi
BPDQ

Dimostrazione

I triangoli ABC e ACD hanno:
AC in comune;
BA^C________ per ipotesi;
BC^ACA^D per ipotesi;
quindi sono congruenti per il ________ criterio di congruenza.
In particolare, B^D^ e AD________.

Abbiamo poi che
AD^Q12D^12B^________.
Perciò i triangoli BCP e DAQ hanno:
ADBC per ________;
BC^PCA^D per ipotesi;
AD^QCB^P per la dimostrazione precedente;
quindi sono congruenti per il ________ criterio.
In particolare, BPDQ.


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Matematica

Sui lati dell'angolo O^ in figura sono fissati i punti A, B, C, D in modo che OAOB e ACBD. Abbiamo tracciato la semiretta OE che interseca CD in F. Dimostra che CFFD.

Ipotesi
OAOB
ACBD

Tesi
CFFD

Dimostrazione

ODOB+BD, OCOA+AC,  quindi ________________ perché ________ di segmenti congruenti.
Osserviamo che i triangoli OAB e ________ sono entrambi isosceli.
Quindi
OA^B________ perché angoli alla base del triangolo isoscele OAB.
Di conseguenza
AB^DπAB^O
πOA^B________.
I triangoli ABC e BAD hanno:
AB in comune;
ACBD per ________;
AB^DCA^B;
quindi sono congruenti per il ________ criterio.
In particolare CBAD e AC^BBD^A.

Considerando che OCD è un triangolo isoscele:
OC^DAC^B+EC^DOD^C
BD^A+ED^CAC^B+ED^C,
da cui concludiamo che
ED^C________,
pertanto ECD è un triangolo isoscele e EDEC.

Ora consideriamo i triangoli EDO e ECO. Essi hanno, per la dimostrazione precedente:
EDEC;
ODOC;
OC^EOD^E;
quindi sono congruenti per il ________ criterio.
In particolare CO^EDO^E, quindi OE è la bisettrice dell'angolo O^ ed essendo COD isoscele, OE è anche mediana del lato ________. Allora CFFD.

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Matematica

Utilizzando le informazioni in figura dimostra che i segmenti DE e CE sono congruenti.

Ipotesi
AO^EEO^B
OAOB

Tesi
DECE

Dimostrazione

Gli angoli DO^B e CO^A sono congruenti perché opposti al vertice. Grazie a questa osservazione e alla ________ ipotesi abbiamo che
CO^ECO^A+________
DO^B+BO^EDO^E.

Consideriamo i triangoli OAE e OBE. Essi hanno:
OE in comune;
OAOB per ipotesi;
AO^EEO^B per ipotesi;
quindi risultano congruenti per il ________ criterio. Perciò ________AE^O.

I triangoli COE e DOE hanno:
OE in comune;
CO^E________ per la dimostrazione precedente;
DE^OCE^O per ________;
quindi sono congruenti per il ________ criterio di congruenza.
Dalla relazione di congruenza dei due triangoli considerati segue che
DECE.
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Matematica

Utilizzando le informazioni in figura dimostra che:
a.     i triangoli FAD e FEB sono congruenti;
b.     i triangoli CEA e DCB sono congruenti;
c.    il triangolo DEC è isoscele.

Ipotesi
ABC triangolo isoscele
DA^BEB^Aπ2
CA^EEA^B
CB^DDB^A

Tesi
a.     FADFEB;
b.     CEADCB;
c.     DEC triangolo isoscele.

Dimostrazione

a.
CA^BCB^A perché angoli alla base del triangolo isoscele ABC.
FA^B________perché metà di angoli congruenti, quindi il triangolo FAB è isoscele e FA________.

I triangoli FEB e FAD hanno:
EF^BDF^A perché opposti al vertice;
EB^F________ perché complementari degli angoli congruenti FB^A e FA^B;
FBFA perché FAB è isoscele, come dimostrato;
quindi sono congruenti per il ________ criterio.

b.
BFAF perché ABF è isoscele per ________.
FDFE perché FAD e FEB triangoli congruenti per ________.
BDBF+FD e AEAF+FE, quindi BDAE perché somme di segmenti congruenti.

I triangoli CEA e DCB hanno:
CACB per ipotesi;
BD________ per la dimostrazione precedente;
CA^ECB^D perché metà di angoli congruenti;
quindi sono congruenti per il ________ criterio.

c.
Segue dal punto ________:
• i triangoli CEA e DCB sono congruenti;
• in particolare hanno CECD, quindi DEC è isoscele.
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Matematica

Nella figura, OE è la bisettrice dell'angolo AO^B, e i triangoli OAE e OBC sono isosceli.
a.     Dimostra che il triangolo DCE è isoscele.
b.     Sapendo che AO^B=70, calcola la misura di OC^D.
c.     Il perimetro del triangolo OBC è 22 cm e la base supera di 4 cm il lato obliquo.
Sapendo che BCAD e OA=8 cm, calcola la lunghezza di CD.

a.
Ipotesi
AO^EEO^B
OA________
OBCB

Tesi
DCE triangolo isoscele

Dimostrazione

Il triangolo OAE è isoscele per ipotesi, quindi AO^E________DE^C.
Il triangolo OBC è isoscele per ipotesi, quindi OC^BCO^B________.
Gli angoli DC^E e OC^B sono congruenti perché opposti al vertice, perciò
DC^E________________DE^C.
Il triangolo DCE ha due angoli congruenti, pertanto è isoscele.

b.
Poiché AO^B=70 e OE è la sua bisettrice, otteniamo: BO^E=________.

BC^OBO^C perché angoli alla base del triangolo isoscele BOC, quindi:
BC^O=________.

Quindi OC^D=________ perché ________BC^O.

c.
Troviamo BC¯.
Poiché OC¯=BC¯________4 e
OB¯=________, esprimendo il perimetro in funzione di BC¯ otteniamo un'equazione nell'incognita BC¯ e la risolviamo:
OC¯+OB¯+BC¯=22
BC¯+4+BC¯+BC¯=22
3BC¯=224
BC¯=183=6

Se BCAD, allora AD¯=6.
CD________
AEAD________AD,
quindi
CD¯=86=2.
Concludiamo che la lunghezza CD è 2 cm.
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