Matematica - Scuola secondaria di secondo gradoTriangoliCriteri di congruenza dei triangoliPrimo criterio di congruenza dei triangoli

Fai il punto sulle competenze - Il secondo criterio di congruenza e i triangoli isosceli

8 esercizi
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Matematica

A: Due triangoli isosceli sono congruenti se hanno congruenti un lato obliquo e l'angolo al vertice.
B: Un triangolo isoscele non può avere il lato obliquo congruente alla metà della base.
C: Un triangolo rettangolo non può essere isoscele.
D: La bisettrice dell'angolo al vertice di un triangolo isoscele divide il triangolo in due triangoli congruenti.
Vero o falso
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Matematica

A: Un triangolo equiangolo non è anche equilatero.
B: In un triangolo equilatero ABC, la bisettrice dell'angolo A^ è mediana di BC.
C: Le bisettrici degli angoli alla base di un triangolo isoscele sono congruenti.
D: Se nel triangolo ABC la bisettrice dell'angolo A^ è anche mediana di BC, allora ABC è un triangolo equilatero.
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Matematica

In figura, L, M e N sono i punti medi dei lati del triangolo equilatero ABC.
Dimostra che il triangolo LMN è equilatero.
CL incontra NM in D. Dimostra che D è il punto medio di NM.

Ipotesi
ABC triangolo equilatero;
AN≅NC; AL≅LB; BM≅CM.

Tesi
LMN triangolo equilatero
ND≅DM

Dimostrazione
I triangoli ANL, LMB, ________ hanno:
AL≅________≅________perché metà di segmenti congruenti;
________≅BM≅MC per lo stesso motivo;
NA^L≅LB^M≅________ perché angoli di un triangolo equilatero;
quindi sono congruenti per il ________ criterio.
In particolare, NL≅LM≅NM, quindi LMN è un triangolo equilatero.

I triangoli ALC e BLC hanno:
• ________ perché L è punto medio di AB;
• AC≅BC perché lati di triangolo equilatero;
• CA^L≅CB^L perché angoli di triangolo equilatero;
quindi sono congruenti per il ________ criterio.
In particolare, AC^L≅________.

Nel triangolo NCM, isoscele perché NC≅CM, in quanto metà di segmenti congruenti, CD è allora ________ e quindi anche ________.
Allora ND≅DM.





Completamento chiuso
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Matematica

Utilizzando le informazioni in figura dimostra che BP≅DQ.

Ipotesi
BA^C≅AC^D
CA^D≅BC^A
QD^C≅AD^Q
________≅PB^C

Tesi
BP≅DQ

Dimostrazione

I triangoli ABC e ACD hanno:
• AC in comune;
• BA^C≅________ per ipotesi;
• BC^A≅CA^D per ipotesi;
quindi sono congruenti per il ________ criterio di congruenza.
In particolare, B^≅D^ e AD≅________.

Abbiamo poi che
AD^Q≅12D^≅12B^≅________.
Perciò i triangoli BCP e DAQ hanno:
• AD≅BC per ________;
• BC^P≅CA^D per ipotesi;
• AD^Q≅CB^P per la dimostrazione precedente;
quindi sono congruenti per il ________ criterio.
In particolare, BP≅DQ.


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Matematica

Sui lati dell'angolo O^ in figura sono fissati i punti A, B, C, D in modo che OA≅OB e AC≅BD. Abbiamo tracciato la semiretta OE che interseca CD in F. Dimostra che CF≅FD.

Ipotesi
OA≅OB
AC≅BD

Tesi
CF≅FD

Dimostrazione

OD≅OB+BD, OC≅OA+AC,  quindi ________≅________ perché ________ di segmenti congruenti.
Osserviamo che i triangoli OAB e ________ sono entrambi isosceli.
Quindi
OA^B≅________ perché angoli alla base del triangolo isoscele OAB.
Di conseguenza
AB^D≅π−AB^O≅
π−OA^B≅________.
I triangoli ABC e BAD hanno:
• AB in comune;
• AC≅BD per ________;
• AB^D≅CA^B;
quindi sono congruenti per il ________ criterio.
In particolare CB≅AD e AC^B≅BD^A.

Considerando che OCD è un triangolo isoscele:
OC^D≅AC^B+EC^D≅OD^C≅
BD^A+ED^C≅AC^B+ED^C,
da cui concludiamo che
ED^C≅________,
pertanto ECD è un triangolo isoscele e ED≅EC.

Ora consideriamo i triangoli EDO e ECO. Essi hanno, per la dimostrazione precedente:
• ED≅EC;
• OD≅OC;
• OC^E≅OD^E;
quindi sono congruenti per il ________ criterio.
In particolare CO^E≅DO^E, quindi OE è la bisettrice dell'angolo O^ ed essendo COD isoscele, OE è anche mediana del lato ________. Allora CF≅FD.

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Matematica

Utilizzando le informazioni in figura dimostra che i segmenti DE e CE sono congruenti.

Ipotesi
AO^E≅EO^B
OA≅OB

Tesi
DE≅CE

Dimostrazione

Gli angoli DO^B e CO^A sono congruenti perché opposti al vertice. Grazie a questa osservazione e alla ________ ipotesi abbiamo che
CO^E≅CO^A+________≅
DO^B+BO^E≅DO^E.

Consideriamo i triangoli OAE e OBE. Essi hanno:
• OE in comune;
• OA≅OB per ipotesi;
• AO^E≅EO^B per ipotesi;
quindi risultano congruenti per il ________ criterio. Perciò ________≅AE^O.

I triangoli COE e DOE hanno:
• OE in comune;
• CO^E≅________ per la dimostrazione precedente;
• DE^O≅CE^O per ________;
quindi sono congruenti per il ________ criterio di congruenza.
Dalla relazione di congruenza dei due triangoli considerati segue che
DE≅CE.
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Matematica

Utilizzando le informazioni in figura dimostra che:
a.     i triangoli FAD e FEB sono congruenti;
b.     i triangoli CEA e DCB sono congruenti;
c.    il triangolo DEC è isoscele.

Ipotesi
ABC triangolo isoscele
DA^B≅EB^A≅π2
CA^E≅EA^B
CB^D≅DB^A

Tesi
a.     FAD≅FEB;
b.     CEA≅DCB;
c.     DEC triangolo isoscele.

Dimostrazione

a.
CA^B≅CB^A perché angoli alla base del triangolo isoscele ABC.
FA^B≅________perché metà di angoli congruenti, quindi il triangolo FAB è isoscele e FA≅________.

I triangoli FEB e FAD hanno:
• EF^B≅DF^A perché opposti al vertice;
• EB^F≅________ perché complementari degli angoli congruenti FB^A e FA^B;
• FB≅FA perché FAB è isoscele, come dimostrato;
quindi sono congruenti per il ________ criterio.

b.
BF≅AF perché ABF è isoscele per ________.
FD≅FE perché FAD e FEB triangoli congruenti per ________.
BD≅BF+FD e AE≅AF+FE, quindi BD≅AE perché somme di segmenti congruenti.

I triangoli CEA e DCB hanno:
• CA≅CB per ipotesi;
• BD≅________ per la dimostrazione precedente;
• CA^E≅CB^D perché metà di angoli congruenti;
quindi sono congruenti per il ________ criterio.

c.
Segue dal punto ________:
• i triangoli CEA e DCB sono congruenti;
• in particolare hanno CE≅CD, quindi DEC è isoscele.
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Nella figura, OE è la bisettrice dell'angolo AO^B, e i triangoli OAE e OBC sono isosceli.
a.     Dimostra che il triangolo DCE è isoscele.
b.     Sapendo che AO^B=70∘, calcola la misura di OC^D.
c.     Il perimetro del triangolo OBC è 22 cm e la base supera di 4 cm il lato obliquo.
Sapendo che BC≅AD e OA=8 cm, calcola la lunghezza di CD.

a.
Ipotesi
AO^E≅EO^B
OA≅________
OB≅CB

Tesi
DCE triangolo isoscele

Dimostrazione

Il triangolo OAE è isoscele per ipotesi, quindi AO^E≅________≅DE^C.
Il triangolo OBC è isoscele per ipotesi, quindi OC^B≅CO^B≅________.
Gli angoli DC^E e OC^B sono congruenti perché opposti al vertice, perciò
DC^E≅________≅________≅DE^C.
Il triangolo DCE ha due angoli congruenti, pertanto è isoscele.

b.
Poiché AO^B=70∘ e OE è la sua bisettrice, otteniamo: BO^E=________.

BC^O≅BO^C perché angoli alla base del triangolo isoscele BOC, quindi:
BC^O=________.

Quindi OC^D=________ perché ________BC^O.

c.
Troviamo BC¯.
Poiché OC¯=BC¯________4 e
OB¯=________, esprimendo il perimetro in funzione di BC¯ otteniamo un'equazione nell'incognita BC¯ e la risolviamo:
OC¯+OB¯+BC¯=22
BC¯+4+BC¯+BC¯=22
3BC¯=22−4
BC¯=183=6

Se BC≅AD, allora AD¯=6.
CD≅________≅
AE−AD≅________−AD,
quindi
CD¯=8−6=2.
Concludiamo che la lunghezza CD è 2 cm.
Completamento chiuso
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