Matematica - Scuola secondaria di secondo gradoTriangoliCriteri di congruenza dei triangoliPrimo criterio di congruenza dei triangoli

Fai il punto sulle competenze - I triangoli e il primo criterio di congruenza

7 esercizi
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Matematica

Dimostra che, in un triangolo isoscele, le mediane relative ai lati congruenti sono congruenti tra loro.

Ipotesi
AC≅BC
CM≅AM
CN≅BN

Tesi
AN≅BM

Dimostrazione

Consideriamo i triangoli ACN e ________.
Essi hanno in comune l'angolo ________ e per l'ipotesi abbiamo che AB≅BC.
Inoltre
AC≅2CM≅BC≅2________,
dunque CN≅CM, perché metà di segmenti congruenti.

Applichiamo il primo criterio di congruenza ai triangoli ACN e BCM e concludiamo che
AN≅BM.
Completamento chiuso
1

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Matematica

Utilizzando le informazioni in figura dimostra che i triangoli OBC e OB′C′ sono congruenti.

Ipotesi
BA^C≅________
AC≅A′C′
OA≅OA′
OB≅OB′

Tesi
OBC≅OB′C′

Dimostrazione

Consideriamo i triangoli ACO e A′C′O.
Essi hanno congruenti per ipotesi i lati AC e A′C′ e i lati OA e ________.
Inoltre
OA′^C′≅________.
Quindi sono congruenti per il primo criterio di congruenza.
In particolare
AO^C≅________.
Pertanto
B′O^C′≅________−A′O^C′≅
π−AO^C≅BO^C.

I triangoli OBC e OB′C′ hanno:
• OB≅OB′ per ________
• OC≅O′C′ perché lati corrispondenti nei triangoli AOC e A′OC′ congruenti;
• BO^C≅B′O^C′ per ________
quindi sono congruenti per il primo criterio di congruenza.
Completamento chiuso
1

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Matematica

Considera l'insieme di tutti i triangoli del piano.
A: L'intersezione tra l'insieme dei triangoli scaleni e quello dei triangoli equilateri è il sottoinsieme dei triangoli isosceli.
B: L'insieme dei triangoli equilateri è un sottoinsieme dei triangoli isosceli.
C: L'intersezione tra l'insieme dei triangoli rettangoli e quello dei triangoli isosceli è vuota.
D: L'insieme di tutti i triangoli è l'unione tra il sottoinsieme dei triangoli scaleni e quello dei triangoli isosceli.
Vero o falso
1

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Matematica

Utilizzando le informazioni in figura a, dopo aver tracciato il segmento MN come in figura b, dimostra che B appartiene al segmento MN (ossia che i tre punti sono allineati).

Ipotesi
AB≅BE
BF≅BC
CM≅AM
EN≅FN

Tesi
M, B, N allineati

Dimostrazione

Gli angoli AB^C e FB^E sono opposti al vertice, quindi
AB^C≅FB^E.
I triangoli ABC e ________ sono allora congruenti per il primo criterio di congruenza, dunque A^≅________e ________≅C^.

Inoltre, poiché M e N sono i punti medi rispettivamente di ________ e ________ abbiamo che
AM≅MC≅FN≅NE.
Quindi, sempre per il primo criterio di congruenza, si conclude che ABM≅________ e MBC≅NBF, da cui
MB^C≅________
________≅EB^N.

Scriviamo l'angolo ________ come
2π≅CB^E+EB^N+NB^F+
FB^A+AB^M+MB^C.

Considerando che ________≅FB^A perché sono opposti al vertice e sfruttando le relazioni di congruenza ricavate prima, abbiamo
2π≅2CB^E+2MB^C+2EB^N≅
2(MB^C+CB^E+EB^N)≅2________.
Perciò MB^N è un angolo piatto. Allora i tre punti M, B, N che lo definiscono sono allineati.
Completamento chiuso
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Matematica

Una sola delle seguenti proposizioni è vera. Quale?
A: Un triangolo ottusangolo non può essere isoscele.
B: Un triangolo equilatero è sempre acutangolo.
C: Nessuna delle altezze di un triangolo isoscele può cadere fuori dal triangolo.
D: La mediana relativa a un lato forma due angoli retti con il lato stesso.
Scelta multipla
1

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Matematica

Una sola delle seguenti proposizioni è falsa. Quale?
A: Un triangolo è acutangolo se ha tutti gli angoli acuti.
B: Ciascun triangolo ha esattamente tre altezze.
C: Un triangolo rettangolo può essere isoscele.
D: Se due triangoli hanno ordinatamente congruenti due lati e un angolo, allora sono congruenti.
Scelta multipla
1

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Matematica

Utilizzando le informazioni in figura, dimostra che gli angoli OA^E, OB^E, OB^F sono congruenti.

Ipotesi
aO^b≅bO^c
aO^r≅rO^b
bO^s≅sO^c
OA≅OB
OE≅OF

Tesi
OA^E≅OB^E≅OB^F

Dimostrazione

I triangoli OAE e OEB hanno:
• OA≅OB per ipotesi;
• AO^E≅________ per ipotesi;
• OE in comune;
quindi sono congruenti per il primo criterio.
In particolare:
OA^E≅OB^E.

I triangoli ________ e OBF hanno:
• OE≅OF per ipotesi;
• ________≅FO^B perché metà di angoli congruenti;
• OB in comune;
quindi sono congruenti per il primo criterio.

In particolare
OB^E≅________.
Per la proprietà transitiva della congruenza:
OA^E≅OB^E≅OB^F.


Completamento chiuso
1

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