Fai il punto sulle competenze - I triangoli e il primo criterio di congruenza #288467

Dimostra che, in un triangolo isoscele, le mediane relative ai lati congruenti sono congruenti tra loro.

Ipotesi

A C ≅ B C

C M ≅ A M

C N ≅ B N

Tesi

A N ≅ B M

Dimostrazione

Consideriamo i triangoli

A C N

e ________.
Essi hanno in comune l'angolo ________ e per l'ipotesi abbiamo che

A B ≅ B C

.
Inoltre

A C ≅ 2 C M ≅ B C ≅ 2

________,
dunque

C N ≅ C M

, perché metà di segmenti congruenti.

Applichiamo il primo criterio di congruenza ai triangoli

A C N

e

B C M

e concludiamo che

A N ≅ B M

.

Completamento chiuso

Utilizzando le informazioni in figura, dimostra che gli angoli

O \hat{A} E

,

O \hat{B} E

,

O \hat{B} F

sono congruenti.

Ipotesi

a \hat{O} b ≅ b \hat{O} c

a \hat{O} r ≅ r \hat{O} b

b \hat{O} s ≅ s \hat{O} c

O A ≅ O B

O E ≅ O F

Tesi

O \hat{A} E ≅ O \hat{B} E ≅ O \hat{B} F

Dimostrazione

I triangoli

O A E

e

O E B

hanno:
•

O A ≅ O B

per ipotesi;
•

A \hat{O} E ≅

________ per ipotesi;
•

O E

in comune;
quindi sono congruenti per il primo criterio.
In particolare:

O \hat{A} E ≅ O \hat{B} E

.

I triangoli ________ e

O B F

hanno:
•

O E ≅ O F

per ipotesi;
• ________

≅ F \hat{O} B

perché metà di angoli congruenti;
•

O B

in comune;
quindi sono congruenti per il primo criterio.

In particolare

O \hat{B} E ≅

________.
Per la proprietà transitiva della congruenza:

O \hat{A} E ≅ O \hat{B} E ≅ O \hat{B} F

.

Completamento chiuso

Utilizzando le informazioni in figura dimostra che i triangoli

O B C

e

O B^{'} C^{'}

sono congruenti.

Ipotesi

B \hat{A} C ≅

________

A C ≅ A^{'} C^{'}

O A ≅ O A^{'}

O B ≅ O B^{'}

Tesi

O B C ≅ O B^{'} C^{'}

Dimostrazione

Consideriamo i triangoli

A C O

e

A^{'} C^{'} O

.
Essi hanno congruenti per ipotesi i lati

A C

e

A^{'} C^{'}

e i lati

O A

e ________.
Inoltre

O \hat{A^{'}} C^{'} ≅

________.
Quindi sono congruenti per il primo criterio di congruenza.
In particolare

A \hat{O} C ≅

________.
Pertanto

B^{'} \hat{O} C^{'} ≅

________

- A^{'} \hat{O} C^{'} ≅

π - A \hat{O} C ≅ B \hat{O} C

.

I triangoli

O B C

e

O B^{'} C^{'}

hanno:
•

O B ≅ O B^{'}

per ________
•

O C ≅ O^{'} C^{'}

perché lati corrispondenti nei triangoli

A O C

e

A^{'} O C^{'}

congruenti;
•

B \hat{O} C ≅ B^{'} \hat{O} C^{'}

per ________
quindi sono congruenti per il primo criterio di congruenza.

Completamento chiuso

Una sola delle seguenti proposizioni è falsa. Quale?

A:

Un triangolo è acutangolo se ha tutti gli angoli acuti.

B:

Ciascun triangolo ha esattamente tre altezze.

C:

Un triangolo rettangolo può essere isoscele.

D:

Se due triangoli hanno ordinatamente congruenti due lati e un angolo, allora sono congruenti.

Scelta multipla

Considera l'insieme di tutti i triangoli del piano.

A:

L'intersezione tra l'insieme dei triangoli scaleni e quello dei triangoli equilateri è il sottoinsieme dei triangoli isosceli.

B:

L'insieme dei triangoli equilateri è un sottoinsieme dei triangoli isosceli.

C:

L'intersezione tra l'insieme dei triangoli rettangoli e quello dei triangoli isosceli è vuota.

D:

L'insieme di tutti i triangoli è l'unione tra il sottoinsieme dei triangoli scaleni e quello dei triangoli isosceli.

Vero o falso

Utilizzando le informazioni in figura a, dopo aver tracciato il segmento

M N

come in figura b, dimostra che

B

appartiene al segmento

M N

(ossia che i tre punti sono allineati).

Ipotesi

A B ≅ B E

B F ≅ B C

C M ≅ A M

E N ≅ F N

Tesi

M

,

B

,

N

allineati

Dimostrazione

Gli angoli

A \hat{B} C

e

F \hat{B} E

sono opposti al vertice, quindi

A \hat{B} C ≅ F \hat{B} E

.
I triangoli

A B C

e ________ sono allora congruenti per il primo criterio di congruenza, dunque

\hat{A} ≅

________e ________

≅ \hat{C}

.

Inoltre, poiché

M

e

N

sono i punti medi rispettivamente di ________ e ________ abbiamo che

A M ≅ M C ≅ F N ≅ N E

.
Quindi, sempre per il primo criterio di congruenza, si conclude che

A B M ≅

________ e

M B C ≅ N B F

, da cui

M \hat{B} C ≅

________
________

≅ E \hat{B} N

.

Scriviamo l'angolo ________ come

2 π ≅ C \hat{B} E + E \hat{B} N + N \hat{B} F +

F \hat{B} A + A \hat{B} M + M \hat{B} C

.

Considerando che ________

≅ F \hat{B} A

perché sono opposti al vertice e sfruttando le relazioni di congruenza ricavate prima, abbiamo

2 π ≅ 2 C \hat{B} E + 2 M \hat{B} C + 2 E \hat{B} N ≅

2 (M \hat{B} C + C \hat{B} E + E \hat{B} N) ≅ 2

________.
Perciò

M \hat{B} N

è un angolo piatto. Allora i tre punti

M

,

B

,

N

che lo definiscono sono allineati.

Completamento chiuso

Una sola delle seguenti proposizioni è vera. Quale?

A:

Un triangolo ottusangolo non può essere isoscele.

B:

Un triangolo equilatero è sempre acutangolo.

C:

Nessuna delle altezze di un triangolo isoscele può cadere fuori dal triangolo.

D:

La mediana relativa a un lato forma due angoli retti con il lato stesso.

Scelta multipla