Fai il punto sulle competenze - I parallelogrammi #381348

Nel seguente parallelogramma, quali sono le ampiezze degli angoli indicati in rosso?

A:

44^{\circ}

e

106^{\circ}

.

B:

128^{\circ}

e

60^{\circ}

.

C:

72^{\circ}

e

31^{\circ}

.

D:

72^{\circ}

e

22^{\circ}

.

Scelta multipla

Nel parallelograma $A B C D$ indica con $P$ il punto di incontro delle diagonali e traccia le bisettrici degli angoli $D \hat{A} P$ e $B \hat{C} P$ che intersecano la diagonale $D B$ rispettivamente nei punti $Q$ e $R$ . Dimostra che $A R C Q$ è un parallelogramma.

Disegniamo la figura e scriviamo ipotesi e tesi.

Ipotesi:	$A B C D$ parallelogramma;		$D \hat{A} Q ≅ Q \hat{A} P$ ;		$B \hat{C} R ≅ R \hat{C} P$ .
Tesi:	$A R C Q$ parallelogramma

Per ipotesi $A B C D$ è un parallelogramma, quindi $A B ∥ D C$ e $A B ≅ D C$ , $A D$ ________ $B C$ e $A D ≅$ ________. Inoltre, $D P ≅$ ________ e $A P ≅ P C$ .

Quindi, poiché ________ $≅ D \hat{C} B$ , allora $Q \hat{A} R ≅ Q \hat{C} R$ .

Dimostriamo ora che anche gli angoli $A \hat{Q} C$ e $A \hat{R} C$ sono congruenti.

Consideriamo i triangoli $D C P$ e $A B P$ . Essi hanno:

$B \hat{A} P ≅$ ________ poiché angoli interni delle stesse parallele tagliate dalla trasversale $A C$ ;
$A \hat{B} P ≅ C \hat{D} P$ poiché angoli interni delle stesse parallele tagliate dalla trasversale $B D$ ;
$A B ≅ D C$ perché lati del parallelogramma.

Quindi $D C P ≅ A B P$ per il secondo criterio di congruenza dei triangoli.

Allo stesso modo si dimostra che anche $A D P ≅$ ________.

Segue che $A Q ≅$ ________ e $Q C ≅ A R$ .

Allora $A Q C ≅$ ________ per il terzo criterio di congruenza e quindi ________ $≅ A \hat{R} C$ .

Concludiamo che il quadrilatero $A R C Q$ ha gli angoli opposti congruenti, allora è un parallelogramma.

Completamento chiuso

Vero o falso?
Il quadrilatero

A B C D

è un parallelogramma se:

A:

\hat{B}

e

\hat{C}

sono angoli supplementari.

B:

\hat{A}

e

\hat{D}

sono angoli congruenti.

C:

A B ∥ D C

e

A B ≅ D C

.

D:

la diagonale

A C

taglia a metà la diagonale

B D

.

Vero o falso

Nel seguente parallelogramma quali sono le ampiezze degli angoli indicati in rosso?

A:

36^{\circ}

e

144^{\circ}

.

B:

216^{\circ}

e

144^{\circ}

.

C:

36^{\circ}

e

36^{\circ}

.

D:

36^{\circ}

e

54^{\circ}

.

Scelta multipla

La differenza di due lati consecutivi di un parallelogramma è lunga

2

m. Calcola l'altezza del parallelogramma, sapendo che la proiezione del lato minore su quello maggiore è lunga

16

m e che il perimetro è lungo

84

m.
Rappresentiamo il parallelogramma in figura.

Poniamo

\bar{A B} = \bar{D C} = x

. Dai dati del problema, sappiamo che:
•

A H = 16

m;
•

B C = x

________;
•

p = 2 x + 2 (x - 2) =

________.
Dall'espressione del perimetro, ricaviamo

x =

________ m e

B C = A D = 20

m.
Ricaviamo

D H

applicando il teorema di Pitagora al triangolo

A H D

:

\bar{D H} = \sqrt{{\bar{A D}}^{2} - {\bar{A H}}^{2}} =

\sqrt{20^{2} - 16^{2}}

\to

D H =

________ m.

Completamento chiuso

Osserva la figura. Qual è la misura del perimetro del parallelogramma?

(x

è espresso in cm e

x > \frac{11}{9}) .

A:

20

cm.

B:

4

cm.

C:

8

cm.

D:

34

cm.

Scelta multipla

Due parallelogrammi

A B C D

e

D C E F

hanno il lato

C D

in comune. Considerando i diversi casi possibili, dimostra che, congiungendo i vertici non comuni, evitando che risulti una figura intrecciata, si ottiene ancora un parallelogramma.
Analizziamo separatamente i due casi.

a.

Osserviamo che, per costruzione,

D C ≅

________ e

E F ≅ D C

, allora

A B ≅

________ per proprietà transitiva.
Inoltre,

D C ∥ A B

e

D C ∥

________.
Poiché

C D

è comune ad entrambi i parallelogrammi, allora

A E ∥

________.
Concludiamo che il quadrilatero

A B F E

è un parallelogramma.

b.

Osserviamo che per costruzione

A B ≅ C D ≅

________ e

A B ∥ C D ∥ E F

.
Inoltre, per costruzione,

A E ∥

________ e

B F ∥ D F

poiché giacciono sulle stesse rette rispettivamente.
Le stesse osservazioni valgono per

A E

e ________ e per

B F

e ________.
Concludiamo che il quadrilatero

A B F E

è un parallelogramma.

Completamento chiuso