FIP05bbtverde14 - I sistemi lineari di tre equazioni in tre incognite

Il sistema $\{\begin{array}{c}ax+y+z=1\\ 6x+by+z=-1\\ 3x+3y+3z=c\end{array}$ ammette soluzione ${\displaystyle (\frac{1}{3};1;-1)}$ se:

Stabilisci se il sistema $\{\begin{array}{c}2x-3y+z=4\\ -x+y+z=0\\ -4x+6y-2z=-8\end{array}$
è determinato senza risolverlo.

Moltiplicando per $-2$ la prima equazione otteniamo il sistema
________.
Poichè la prima equazione ________ alla terza equazione, il sistema ________ determinato.

Determina i coefficienti $a,b,c$ del polinomio $P(x)=a{x}^2+bx+c$ in modo che $P(-1)=-8$, $P(2)=-2$, ${\displaystyle P\left(\frac{3}{2}\right)=-\frac{7}{4}}$.

Il sistema che risolve il problema è:
________.
Il sistema è già in forma normale. Risolviamolo con il metodo di sostituzione. Ricaviamo $a$ dalla prima equazione:
$a=$________.
Sostituiamo l'espressione trovata nella seconda e terza equazione.
________.
Ricaviamo $c$ dalla terza equazione:
$c=$________.
Sostituiamo l'espressione trovata nella seconda equazione:
$2b-3b+13=10$
$b=$________.
Ricaviamo $c$:
$c=3b-13=$________.
Sostituiamo infine i valori di $b$ e $c$ trovati nella prima equazione e ricaviamo $a$:
$a=b-c-8=$________.

Solo uno dei seguenti sistemi è determinato. Quale?

Risolvi il seguente sistema di tre equazioni in tre incognite con il metodo che ritieni più opportuno.
$\{\begin{array}{c}6x+y-z=0\\ {\displaystyle \frac{1}{2}x-\frac{1}{3}z=-\frac{5}{6}}\\ y-2z=5\end{array}$
Il sistema è in forma normale. Possiamo applicare il metodo di sostituzione e ricavare $y$ dalla terza equazione:
$y=$________.
Sostituiamo l'espressione trovata nella prima e nella seconda equazione.
________
Le prime due equazioni contengono solamente le incognite $x$ e $z$. Possiamo ricavare $z$ dalla prima equazione e sostituirne il valore nella seconda.
________
Dalla seconda equazione ricaviamo $x$:
$x=$________.
Ora possiamo ricavare $z$ dalla prima equazione:
$z=-5-6x=$________.
E infine $y$ dalla terza:
$y=2z+5=$________.
La soluzione del sistema è:
________.

Risolvi il seguente sistema di tre equazioni in tre incognite con il metodo che ritieni più opportuno.
$\{\begin{array}{c}3x+2z={\displaystyle \frac{y+17}{2}}\\ x+5=2(z-y)\\ 3(x-y)-6=4-2y-2z\end{array}$
Il sistema in forma normale è:
________.
Applichiamo il metodo di riduzione e eliminiamo $y$ dalla seconda e dalla terza equazione. Aggiungiamo alla seconda equazione due volte la prima:
________.
Sottraiamo la prima equazione dalla terza.
________.
Riscriviamo il sistema con le nuove equazioni.
________
La seconda e terza equazione ora contengono solamente $y$ e $z$. Con il metodo di riduzione, eliminiamo $z$ dalla seconda. Sottraiamo alla seconda equazione il triplo della terza:
________
$x=2.$
Troviamo $z$ dalla terza equazione:
${\displaystyle z={\displaystyle \frac{7-3x}{2}}={\displaystyle \frac{1}{2}}}$.
Ricaviamo infine $y$ dalla prima equazione:
$y=6x+4z-17=$________.
La soluzione del sistema è:
________.

Giulio ha acquistato una giacca, un paio di pantaloni e una camicia. Nello stesso negozio Jamal ha comprato due paia di pantaloni e una giacca spendendo $260$ €, Luigi tre camicie e un paio di pantaloni spendendo $140$ €. Se un paio di pantaloni e una giacca costano come sette camicie, quanto ha speso Giulio?

Indichiamo con $x$ il prezzo, in  €, di una giacca, con $y$ il prezzo, in €, di un paio di pantaloni e con $z$ il prezzo, in €, di una camicia. Allora possiamo scrivere il sistema:
________.
Risolviamo il sistema per sostituzione. Ricaviamo $x$ dalla prima equazione e sostituiamone l'espressione nella seconda e nella terza.
________.
Possiamo ricavare $y$ dalla seconda equazione e sostituire l'espressione nella terza.
________.
Troviamo $z$ dall'ultima equazione:
$z=$________.
Possiamo ricavare $x$ e $y$ dalla prima e seconda equazione:
$y=140-3z=$________;
$x=260-2y=$________.
La spesa di Giulio è quindi pari a:
$(x+y+z)$€ $=$________ €.