FIP05BBblu10 - Studio del segno di un prodotto, disequazioni fratte e letterali #492582

Considera gli insiemi

A

delle soluzioni di

\frac{3 x^{3} - 8 x^{2}}{5 x - 19} < 0

e

B

delle soluzioni di

(7 - 2 x) (x^{2} + 5 x + 6) \geq 0

.
Se

S

è l'insieme delle soluzioni della disequazione

x^{3} - 2 x^{2} - 7 x - 4 < 0

, si ha che:

A:

B \subset S

.

B:

S \subset B

.

C:

A \subset S

.

D:

S \subset A

.

Scelta multipla

Quale disequazione ha come insieme delle soluzioni l'intervallo in figura?

A:

x^{2} + x - 6 \leq 0

B:

(x - 3) (x + 2) \geq 0

C:

x^{2} - x - 6 \leq 0

D:

\frac{x - 3}{x + 2} \leq 0

Scelta multipla

Associa ogni disequazione alla rispettiva soluzione.

\frac{2 - x}{x - 1} \geq 0

________

- \frac{3}{| x | - 2} > 0

________

(x - 2) (4 x - 4) \geq 0

________

\frac{| x | - 2}{| x |} < 0

________

\frac{x - 1}{2 - x} > 0

________

Posizionamento

Sia $A$ l'insieme delle soluzioni di $x^{2} + 2 x - 15 > 0$ . Completa la seguente disequazione affinché anch'essa abbia $A$ come insieme delle soluzioni.

$(x^{2}$ ________ $2) (x +$ ________ $)$	$> 0$ .
$x^{3} - 3 x^{2} + x - 3$

Completamento chiuso

Considera la disequazione

\frac{2 k (x - 2)}{k + 1} > 0

nell'incognita

x

.
a. Per quali valori di

k

la disequazione ha come soluzione

x < 2

?
b. Quali sono le soluzioni per

k > - 1

?
c. Per quali valori di

k

la disequazione è impossibile?

a. Affinché la soluzione sia

x < 2

,

\frac{2 k}{k + 1}

deve essere ________ di zero.
Risolviamo la disequazione:

N > 0

:

2 k > 0 \to k > 0

;

D > 0

:

k + 1 > 0 \to k > - 1

.
La disequazione è quindi soddisfatta per
________.

b. Se

k > - 1

, il denominatore è sempre ________. Per il numeratore dobbiamo distinguere tre casi:
• se

- 1 < k < 0

,

2 k (x - 2) > 0 \to

x

________

2

;
• se

k > 0

,

2 k (x - 2) > 0 \to x > 2

.
• se

k = 0

,

2 k (x - 2) > 0 \to 0 x > 0 \to

________

\in R

.

c. Come abbiamo visto al punto precedente, la disequazione è impossibile per
________

= 0

.

Completamento chiuso

Dimostra che ciascuna delle seguenti affermazioni è vera.
a. Per un qualunque numero positivo, la somma fra il numero e il doppio del suo reciproco è maggiore o uguale al precedente del numero stesso.
b. Considera un numero intero positivo

x

. La frazione che ha al numeratore il numero

3

diminuito di

x

e al denominatore il numero

3

aumentato di

x

è sempre minore dell'unità.

a. Consideriamo

x \in Z

,

x > 0

. Traduciamo il testo del problema in una disequazione:

x +

________

\geq (x - 1)

.
Svolgiamo i calcoli:

\frac{2}{x} \geq - 1 \to \frac{2 + x}{x} \geq 0

.
Poiché

x > 0

, la disequazione è ________ soddisfatta.

b. Traduciamo il testo del problema in una disequazione:

\frac{3 - x}{3 + x} \leq

________.
Svolgiamo i calcoli:

\frac{3 - x}{3 + x} - 1 < 0 \to \frac{3 - x - 3 - x}{3 + x} < 0 \to

\frac{2 x}{x + 3}

________

0

.
Poiché

x > 0

, la disequazione è ________ soddisfatta.

Completamento chiuso

Le soluzioni del sistema

{\begin{matrix} \frac{12}{x} \leq 6 \\ \frac{x^{2} + 6 x + 9}{x^{3} - 2 x^{2}} > 0 \end{matrix}

sono:

A:

x < 0 \lor x \geq 2

.

B:

0 \leq x \leq 2

.

C:

x < 0

.

D:

x > 2

.

Scelta multipla

Risolvi e discuti la disequazione nell'incognita $x$ :

$x - 1 < b (x + 2)$

Svolgiamo i calcoli per scrivere la disequazione nella forma $A x < B$ .

$x - 1 < b (x + 2) \to$

$x - 1 < b x + 2 b \to$

$x (1 - b)$ ________ $2 b + 1$

Risolviamo la disequazione, distinguendo i diversi casi:

se $1 - b > 0$ , cioè
$b$ ________ $1$ $\to$ $x < \frac{2 b + 1}{1 - b}$ ;
se $1 - b = 0$ , cioè
$b = 1 \to 0 x < 1$ ________ $\in R$ ;
se $1 - b < 0$ , cioè
$b > 1 \to x$ ________ $\frac{2 b + 1}{1 - b}$ .

Completamento chiuso

Un rettangolo ha un lato che misura

4

e l'altro che misura

a

. Se si aumenta il primo lato di

x

e si diminuisce il secondo di

1

, l'area del nuovo rettangolo aumenta almeno del

25 %

rispetto a quella del primo. Quali sono i possibili valori di

x

?

A:

x \geq \frac{a - 1}{a + 4}

B:

x \geq \frac{a + 4}{a - 1}

C:

x \leq \frac{a + 4}{a - 1}

D:

x > \frac{a - 4}{a - 1}

Scelta multipla

Solo una delle seguenti disequazioni è equivalente a

\frac{9 x^{2} + 6 x + 1}{x^{2} - x^{4}} \geq 0

. Quale?

A:

\frac{x + 1}{| x |} \leq 0

.

B:

| x + 1 | \geq - \frac{1}{| 1 - x |}

.

C:

1 < \frac{1}{| x |}

.

D:

\frac{| x |}{| x | + 1} < - 1

.

Scelta multipla