Matematica - Scuola secondaria di secondo gradoMatematica.azzurro biennio (3ª edizione) Matematica.azzurro biennio (3ª edizione) / Volume 1Fai il punto sulle competenze - I rettangoli, i rombi e i quadrati

FIP04bbtazzG3 - I rettangoli, i rombi e i quadrati

7 esercizi
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Matematica

È dato un quadrilatero con le diagonali perpendicolari che si dimezzano scambievolmente.
Alberto afferma: «Di sicuro si tratta di un quadrato».
Barbara afferma: «Non è detto che sia un quadrato, ma di sicuro è un rombo».
Carla afferma: «Non è detto che sia un quadrato, ma di sicuro è un rettangolo».
Daniele afferma: «Si tratta certamente di un quadrilatero a forma di aquilone».
Chi ha ragione?
A: Alberto.
B: Barbara.
C: Carla.
D: Daniele.
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Matematica


In figura, ABCD è un quadrato e la retta r interseca la diagonale AC e i lati AD, BC rispettivamente nei punti P, S, R. Sapendo che CP^R≅70∘, quali sono le ampiezze degli angoli del quadrilatero ABRP?
A: AP^R=110∘,PA^B=70∘,
AB^R=90∘,BR^P=90∘.
B: AP^R=110∘,PA^B=45∘,
AB^R=90∘,PR^B=115∘.
C: AP^R=110∘,PA^B=70∘,
AB^R=90∘,PR^B=110∘.
D: AP^R=110∘,PA^B=45∘,
AB^R=90∘,PR^B=90∘.
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Matematica

Se a 13 della base di un rettangolo aggiungi i 25 dell'altezza, ottieni un segmento lungo 10 cm. Calcola il perimetro del rettangolo, sapendo che la base supera l'altezza di 8 cm.

Indichiamo con b la base del rettangolo e con h la sua altezza. Dai dati del problema, sappiamo che:
• ________+25h=10 cm;
•  b________8 cm =h.
Dalla seconda relazione ricaviamo b=h+8 e la sostituiamo nella prima:
b3+25h=10→h+83+25h=10→
5(h+8)+6h15=15015→
11h=110→h=________ cm.
La base quindi è lunga 18 cm.
Il perimetro del rettangolo è
p=________=2⋅(10+18)=56 cm.
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Matematica

In un rettangolo, la base b supera di 10 cm l'altezza h. In un rombo, che ha il perimetro doppio di quello del rettangolo, il lato ℓ supera la lunghezza della base del rettangolo di 5 cm. Calcola le lunghezze di b, h ed ℓ.

Indichiamo con p1 e p2 i perimetri del rettangolo e del rombo rispettivamente. Dai dati del problema, sappiamo che
• b=h+10 → h=b−10;
• p1=________;
•  ℓ=b+5.
Il perimetro del rettangolo è  p1=________ e quello del rombo è p2=4ℓ. Dalle relazioni note, scriviamo:
2(b+h)=4ℓ2→b+h=ℓ→
b+(b−10)=b+5.
Risolviamo l'equazione e otteniamo b=________ cm.
L'altezza h misura 5 cm e il lato ℓ del rombo è ℓ=________ cm.
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Dato il rettangolo ABCD, chiama O il suo centro e traccia la parallela alla diagonale BD passante per A e la parallela alla diagonale AC passante per B. Detto P il punto di intersezione tra le due rette, dimostra che:
a.   APBO è un rombo;
b.   la somma delle diagonali di APBO è congruente al semiperimetro del rettangolo ABCD.

Disegniamo la figura.

a.  AP________OB e AO________PB per costruzione.
Poiché il quadrilatero ABCD è un rettangolo, allora AC≅DB e AO≅________.
Per costruzione AP________OB e PB≅AO. Allora i lati del parallelogramma APBO sono congruenti, quindi APBO è un rombo.


b. Osserviamo che OH≅DA2 e OH≅________ perché AOH≅________ poiché APBO è un rombo.
Allora AB¯+AD¯≅________≅AB¯+OH¯.
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Dato il triangolo rettangolo ABC, con l'angolo retto in A, da un punto P dell'ipotenusa traccia il segmento PH perpendicolare ad AB e poi PK perpendicolare ad AC. Dimostra che AHPK è un rettangolo.

Rappresentiamo il problema in figura.

Ricordiamo che un rettangolo è un parallelogramma che ha gli angoli congruenti. Osserviamo che per costruzione ________∥AH e AK∥________.
Inoltre KA^H≅90∘≅AK^P≅AH^P.
Allora KP^H≅________−3⋅________≅90∘.
Quindi AHPK è un rettangolo.
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In un rettangolo ABCD il lato AB è il triplo di BC. Sapendo che il perimetro è 256 cm, calcola le lunghezze dei lati CD e AD.

Rappresentiamo il rettangolo in figura.

Il perimetro del rettangolo è
p=________=256 cm.
Inoltre, sappiamo che AB¯=3BC¯.
Scriviamo e risolviamo la seguente equazione:
2(________+BC¯)=256→
8BC¯=________→BC¯=32 cm.
Il lato AB è lungo ________ cm.
Completamento chiuso
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