Matematica - Scuola secondaria di secondo gradoTriangoliDefinizioni e proprietà dei triangoliDisuguaglianze nei triangoli

FIP04BBbluG2 - Disuguaglianze nei triangoli

9 esercizi
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Matematica

Vero o falso?
Dai dati della figura puoi dedurre che:
A: CB<AB
B: AC<AB
C: CB>AC
D: DC<AC
Vero o falso
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Matematica

Un triangolo può avere lati di lunghezze:
A: 12 cm, 4 cm, 6 cm.
B: 5 m, 12 m, 13 m.
C: 5 cm, 7 dm, 9 cm.
D: 15 dm, 18 dm, 24 dm.
E: 3 m, 7 m, 10 m.
F: 7 m, 5 dm, 11 m.
Vero o falso
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Matematica

Considera i tre segmenti che soddisfano le seguenti condizioni. Indica se è possibile costruire con essi un triangolo ABC.
a.   AC≅AB, AC≅12BC.
b.   AB≅2BC, BC≅2AC.
c.   AB≅2BC, AC≅32BC.
d.   AC≅2AB, 3AB≅BC.

Per ogni terna è possibile costruire un triangolo se sono soddisfatte le tre disuguaglianze
AB<AC+BC;
BC<AC+AB;
AC<AB+BC.

a.
AC+AB≅12BC+________BC≅BC;
quindi non è possibile costruire un triangolo in quanto non è verificata la ________ disuguaglianza.

b.
Dalle congruenze date ricaviamo:
AC≅12BC;
BC≅12AB;
da cui
AC≅12(12________)≅14________.

Dalle congruenze precedenti otteniamo:
AC+BC≅________AB,
quindi non è possibile costruire un triangolo in quanto non è verificata la ________ disuguaglianza.

c.
Dalle congruenze date ricaviamo:
AC+BC≅32BC+________≅
52BC≅52(________AB)≅54AB;

AB+AC≅2BC+32BC≅________BC;

AB+BC≅2BC+________≅
________(________AC)≅2AC.

Abbiamo allora che:
AC+BC≅54AB→AB<AC+BC;
AB+AC≅72BC→BC<AB+AC;
AB+BC≅2AC→AC<AB+BC;
quindi è possibile costruire un triangolo.

d.
Dalla seconda delle congruenze date otteniamo:
3AB≅BC→AB≅13BC.

AB+AC≅AB+________AB≅
________AB≅3(13BC)≅BC,
quindi non è possibile costruire un triangolo in quanto non è verificata la ________ disuguaglianza.
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Matematica

Esiste il triangolo se AC¯=8? E se AC¯=14? Quali condizioni deve soddisfare AC¯ affinché si possa costruire il triangolo in figura?

Per le disuguaglianze dei triangoli
20________13<AC¯<20________13
cioè 7<AC¯<33.
Quindi sia il valore 8 che il valore 14________ possibili valori per la costruzione di un triangolo.
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Matematica

a.   Si può costruire un triangolo di perimetro 64 con i lati indicati in figura? Spiega perché.
b.   Per quali valori di x esiste il triangolo?

a.   L'espressione per il perimetro è
________+16
quindi il valore 64 corrisponde a
x=________.
I lati del triangolo sono quindi 18, 20 e 26 che sono tre misure valide per formare un triangolo, infatti:
26________18<20<26+18→8<20<44;
26−20<18<26+20→6<18<46;
20−18<________<20+18→2<26<38.

b.   3x+2<2x+4+x+10→
3x+2<3x+14
che è vera per x>________;
2x+4<x+10+3x+2→
2x−4<3x+12
che è vera per x>________:
x+10<2x+4+3x+2→
x+10<5x+6
che è vera per x>________.
Quindi il triangolo esiste per x>________.

Completamento chiuso
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Matematica

Utilizzando le informazioni che puoi dedurre dalla figura, dimostra che il perimetro del triangolo ABC è minore di 4CD.

Ipotesi
AB≅BD
CA^D≅π2

Tesi
AB+BC+AC<4CD

Dimostrazione

Nel triangolo rettangolo ABD, AC è ________ e CD è ________, quindi:
AC  ________CD.

Nel triangolo CBD l'angolo CB^D è ottuso perché supplementare di CB^A che è acuto in quanto angolo diverso dall'angolo ________ nel triangolo rettangolo ABC.
Ad angolo maggiore sta opposto lato ________, quindi
BC________CD.

Sempre nel triangolo CBD vale la disuguaglianza BD<________.
Poiché, come abbiamo dimostrato, BC<CD:
CD+BC<CD+________
da cui, per la proprietà transitiva:
BD<CD+CD≅2CD
ed essendo BD≅AB per ipotesi:
AB<2CD.

Sommiamo membro a membro le tre disuguaglianze ottenute.
AC+BC+AB<CD+________CD+________CD
AC+BC+AB<4CD
Il perimetro del triangolo ABC è allora minore di 4CD.
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Matematica

Utilizzando le congruenze indicate in figura, dimostra che:
a.   AB^C<OC^A;
b.   AD+BC>AB+CD.

Ipotesi
OC≅OA
AB≅CD

Tesi
a.   AB^C<OC^A
b.   AD+BC>AB+CD

Dimostrazione

a.
Il triangolo OAC ha due lati congruenti per ipotesi quindi è isoscele, da cui
OC^A≅________.
In un triangolo, ciascun angolo esterno è ________ dei due angoli interni non adiacenti a esso, quindi nel triangolo ABC:
AB^C________OA^C.
Inoltre, poiché abbiamo dimostrato che OA^C≅OC^A, otteniamo:
AB^C________OC^A.

b.
CA^B≅AC^D perché supplementari di angoli alla base di un triangolo isoscele e poiché in un triangolo isoscele gli angoli alla base sono ________, CA^B e AC^D sono entrambi angoli ________.
Sono allora gli angoli maggiori rispettivamente dei triangoli ________ e ACD e perciò sono opposti ai lati maggiori, rispettivamente ________ e AD. In particolare
BC>________; AD________ CD.
Sommando membro a membro otteniamo:
AD+BC________AB+CD.
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Matematica

In una riserva naturale, di forma triangolare, si deve posizionare una torre di osservazione in un punto P. Il perimetro della riserva, schematizzata in figura, è di 1450 m. Considera la lunghezza complessiva minima dei sentieri AP, BP e CP che collegano P con A, B e C. Di quale lunghezza deve essere comunque maggiore?

AP+PC________650;
PC+PB>________;
AP+PB>500.
Quindi 2AP+2PB+2PC________1450.
Dimezziamo entrambi i membri e otteniamo
AP+PB+PC>________.
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Asia, Boris e Chiara partono rispettivamente dalle posizioni A, B e C dell'itinerario schematizzato in figura per fare una corsa fino al punto D. All'arrivo si confrontano: Asia dice che ha corso alla velocità di 6 km/h; Chiara dice che ha corso alla velocità di 8 km/h per due ore.
a.   Qualcuno di loro si è sbagliato: spiega perché.
b.   Supponi che Asia abbia sbagliato la sua velocità ma non il tempo impiegato: determina in quale intervallo può variare la sua velocità.

a.   Calcoliamo la distanza percorsa da ciascuno:
Asia →6 km/h ⋅32 h =9 km;
Boris →6 km/h ⋅(76) h =________ km;
Chiara →6 km/h ⋅2 h =16 km.
Il triangolo ABD è così formato da tre lati che misurano 7 km, 7 km e 9 km.
I lati così disposti rispettano le disuguaglianze triangolari.
Il triangolo ACD è invece formato da tre lati che misura 4 km, ________ km e 16 km.
In questo caso i lati non rispettano le disuguaglianze triangolari perché
4 km +7 km ________16 km.
Quindi qualcuno si è sbagliato.


b.   Nel triangolo ABD dev'essere
2<AD¯________16
mentre nel triangolo ACD dev'essere
________<AD¯<20.
Quindi ________<AD¯<16.
Asia ha impiegato 32 h quindi la sua velocità v km/h sarà
________<v<323.
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