Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Equazioni lineari Equazioni intere Equazioni lineari con valori assoluti

FIP04BBblu10 - Equazioni e disequazioni con valori assoluti

10 esercizi

SVOLGI

INFO

Risolvi la seguente disequazione con valore assoluto

$| 8 + 4 x | - 2 (x + 1) \geq 3$

Studiamo il segno dell'argomento del valore assoluto:

$8 + 4 x \geq 0 \to x \geq - 2$ .

Quindi

$\| 8 + 4 x \| =$ ${\begin{cases} \end{cases}$	$8 + 4 x$	se	$x$ ________ $- 2$	.
$\| 8 + 4 x \| =$ ${\begin{cases} \end{cases}$	$- 8 - 4 x$	se	$x$ ________ $- 2$	.

La soluzione dell'equazione è data dall'unione delle soluzioni di due sistemi.

Primo sistema:

${\begin{cases} x \geq - 2 \\ 8 + 4 x - 2 (x + 1) \geq - 3 \end{cases} .$

Secondo sistema:

${\begin{cases} x < - 2 \\ - 8 + 4 x - 2 (x + 1) \geq - 3 \end{cases} .$

La soluzione del primo sistema è $x \geq - 2$ .

La soluzione del secondo sistema è $x < - 2$ .

Uniamo le soluzioni del primo e del secondo sistema e troviamo che la soluzione della disequazione di partenza è $x \geq - 2 \lor x < 2$ , ovvero la disequazione è ________.

Completamento chiuso

Risolvi la seguente equazione con valori assoluti.

$| 2 x - 1 | - 2 x = | 3 x - 6 | - 4$

Studiamo il segno degli argomenti dei due valori assoluti e compiliamo uno schema grafico dei segni:

$2 x - 1 \geq 0 \to x \geq \frac{1}{2}$ ;

$3 x - 6 \geq 0 \to x \geq 2$ .

Lo schema grafico è quello in figura ________.

Tenendo presente lo schema grafico dei segni, possiamo scrivere tre sistemi corrispondenti alle tre regioni individuate dallo schema dei segni.

Primo sistema:

${\begin{cases} \end{cases}$	$x < \frac{1}{2}$	.
	$- 2 x$ ________ $1 - 2 x = - 3 x + 6 - 4$

Secondo sistema:

${\begin{cases} \end{cases}$	$\frac{1}{2} < x < 2$	.
	$2 x - 1 - 2 x =$ ________ $- 4$

Terzo sistema:

${\begin{cases} x > 2 \\ 2 x - 1 - 2 x = 3 x - 6 - 4 \end{cases} .$

L'equazione del primo sistema ha soluzione $x = - 1$ . La soluzione è accettabile perché appartiene all'intervallo $x < \frac{1}{2}$ .

La soluzione dell'equazione del secondo sistema è $x = 1$ . Confrontiamola con l'intervallo $\frac{1}{2} < x < 2$ e concludiamo che ________ accettabile.

La soluzione dell'equazione del terzo sistema è $x = 3$ . Poiché appartiene all'intervallo $x > 2$ , la soluzione è accettabile.

Quindi l'equazione ammette le soluzioni $3$ , ________.

Completamento chiuso

Vero o falso?

La disequazione:

| 2 x + 3 | \geq | 2 x + 2 |

è sempre verificata.

| x | > | 2 x |

non ha soluzioni.

| x - 2 | < 2

è verificata per

0 < x < 4

| x + 2 | + | x - 2 | \leq 0

è impossibile.

Vero o falso

Associa a ogni equazione o disequazione il relativo insieme

S

delle soluzioni.

| x - 1 | + 3 | \frac{2 x - 2}{5} | > 0

________

| x - 1 | + 3 < 0

________

- | x - 1 | + 2 = 0

________

| 2 - x | \leq - 3 | 2 x - 4 |

________

Posizionamento

Quale affermazione sulla funzione

y = 4 | 1 - x | - 7

è vera?

È sempre positiva.

Si annulla per

x = - 1

È negativa per

- \frac{3}{4} < x < \frac{11}{4}

È positiva per

x < 1

Scelta multipla

Vero o falso?

L'equazione:

| x - 5 | = | x + 5 |

non ha soluzioni.

| 3 x | + | x - 3 | = 0

ha due soluzioni.

| x + 2 | + | x - 2 | = 0

non ha soluzioni.

| - 3 - x | = | x + 3 |

è indeterminata.

Vero o falso

Risolvi la seguente equazione con i valori assoluti.

\frac{1}{| 5 - x |} + \frac{3}{| x |} = - \frac{1}{x - 5}

Poiché si tratta di un'equazione fratta, dobbiamo determinare le condizioni di esistenza:
C.E.:

x \neq

________

5

x \neq 0

.
Studiamo il segno degli argomenti dei moduli:

5 - x > 0 \to

x

________

5

;

x > 0

.
Rappresentiamoli in figura.

Poiché lo schema dei segni individua tre intervalli di valori di

x

, la soluzione dell'equazione è l'unione delle soluzioni di tre sistemi.
Primo sistema:

{\begin{cases} x < 0 \\ \frac{1}{5 - x} - \frac{3}{x} = - \frac{1}{x - 5} \end{cases} .

Secondo sistema:

{\begin{cases} 0 < x < 5 \\ \frac{1}{5 - x} + \frac{3}{x} = - \frac{1}{x - 5} \end{cases} .

Terzo sistema:

{\begin{cases} x > 5 \\ \frac{1}{x - 5} + \frac{3}{x} = - \frac{1}{x - 5} \end{cases} .

Risolviamo l'equazione del primo sistema e otteniamo come soluzione

x = 15

. Confrontiamo la soluzione trovata con l'intervallo individuato dalla disequazione

x < 0

e concludiamo che ________ accettabile.

Risolviamo l'equazione del secondo sistema e otteniamo

x = 15

.
La soluzione trovata non è compatibile con l'intervallo individuato dalla disequazione

0 < x < 5

.

Risolviamo l'equazione del terzo e otteniamo

x = 3

.
La soluzione trovata ________ compatibile con l'intervallo individuato dalla disequazione

x > 5

. I tre sistemi non ammettono soluzioni, quindi l'equazione di partenza è ________.

Completamento chiuso

Quale delle seguenti equazioni ha esattamente una soluzione?

| 2 - x | = 8

| x - 2 | = 2 - x

0 = | x - 3 |

| x + 3 | = | 2 x - 1 |

Scelta multipla

Risolvi la seguente disequazione con valori assoluti.

$3 | 2 x | - 5 < | \frac{2}{3} - 4 x |$

Studiamo il segno dei moduli e compiliamo uno schema grafico dei segni:

$2 x \geq 0 \to x \geq 0$ ;

$\frac{2}{3} - 4 x \geq 0 \to$ $x$ ________ $\frac{1}{6}$ .

Inviduiamo tre intervalli. La soluzione della disequazione è data dall'unione delle soluzioni di tre sistemi.

Primo sistema:

${\begin{cases} \end{cases}$	$x < 0$	.
	________ $(6 x + 5) < \frac{2}{3} - 4 x$

Risolviamo la seconda disequazione e troviamo la soluzione $x > - \frac{17}{6}$ , che ________ accettabile.

Secondo sistema:

${\begin{cases} 0 \leq x \leq \frac{1}{6} \\ 6 x - 5 < \frac{2}{3} - 4 x \end{cases} .$

Risolviamo la seconda disequazione e otteniamo

$x < - \frac{17}{30}$ .

La soluzione ________ accettabile.

Terzo sistema:

${\begin{cases} \end{cases}$	$x > \frac{1}{6}$	.
	$6 x - 5 < - \frac{2}{3}$ ________ $4 x$

Risolviamo la seconda disequazione e troviamo la soluzione $x < \frac{13}{6}$ , che è accettabile.

Disegniamo la rappresentazione grafica delle soluzioni dei tre sistemi.

La rappresentazione corretta è quella in figura ________.

La soluzione della disequazione è

________.

Completamento chiuso

Risolvi la seguente equazione con i valori assoluti.

$| x - | 3 x - 1 | | = 2 - x$

Studiamo il segno del modulo più interno:

$| 3 x - 1 | = {\begin{cases} 3 x - 1 se x \geq \frac{1}{3}; \\ 1 - 3 x se x < \frac{1}{3} . \end{cases}$

Risolviamo l'equazione di partenza nei vari casi.

1) Studiamo il segno di $| x - | 3 x - 1 | |$ nel caso $x \geq x \geq \frac{1}{3}$ ;

$| x - | 3 x - 1 | | = | x - (3 x - 1) | =$

$| x - 3 x + 1 | = | 1 - 2 x |$ ;

${\begin{cases} \end{cases}$	$1 - 2 x$	se	$x \leq \frac{1}{2}$	.
${\begin{cases} \end{cases}$	________ $2 x - 1$	se	$x > \frac{1}{2}$	.

a. Risolviamo il sistema corrispondente al primo sottocaso $(x \leq \frac{1}{2})$ .

${\begin{cases} \frac{1}{3} \leq x \leq \frac{1}{2} \\ 1 - 2 x = 2 - x \end{cases}$

La soluzione dell'equazione è $x = - 1$ . La soluzione non è compatibile con l'intervallo individuato dalle condizioni sui valori assoluti.

b. Risolviamo il sistema corrispondente al secondo sottocaso $(x > \frac{1}{2})$ .

________

L'equazione ammette la soluzione $x = 1$ , che è compatibile con le condizioni sui moduli, quindi è accettabile.

2) Studiamo il segno di $| x - | 3 x - 1 | |$ nel caso $x < \frac{1}{3}$ :

$| x - | 3 x - 1 | | = | x - (- 3 x + 1) | =$

$| x + 3 x - 1 | = | 4 x - 1 |$

$\| 4 x - 1 \| = {\begin{cases} \end{cases}$	$4 x - 1$	se	$x \geq \frac{1}{4}$
$\| 4 x - 1 \| = {\begin{cases} \end{cases}$	$1$ ________ $4 x$	se	$x < \frac{1}{4}$

a. Risolviamo il sistema corrispondente al primo sottocaso $(x \geq \frac{1}{4})$ :

${\begin{cases} \frac{1}{4} \leq x < \frac{1}{3} \\ 4 x - 1 = 2 - x \end{cases}$

La soluzione dell'equazione, $x = \frac{3}{5}$ , ________ accettabile.

b. Risolviamo il sistema corrispondente al secondo sottocaso $(x < \frac{1}{4})$ .

________

La soluzione dell'equazioni è $x = - \frac{1}{3}$ . La soluzione è accettabile.

Quindi l'equazione di partenza ammette le soluzioni $x = 1$ e $x = - \frac{1}{3}$ .

Completamento chiuso