FIP03bbtverde21 - La probabilità del prodotto logico di eventi

Paolo, Anna e Simone estraggono due caramelle a testa da una confezione contenente $5$ caramelle per ciascuno dei seguenti gusti: arancia, limone, frutti di bosco e menta.
Il primo a estrarre è Paolo, poi estrae Anna e infine Simone.

Considera il lancio, in contemporanea, di due dadi a $6$ facce, uno rosso e uno verde. Indica quale fra i seguenti eventi è indipendente rispetto all'evento «Sul dado rosso è uscito il numero $5$».

Un sacchetto contiene $20$ palline, alcune verdi e altre rosse. Sai che, se estrai due palline reinserendo la prima, la probabilità che siano di colore diverso è ${\displaystyle \frac{91}{200}}$. Quante sono le palline verdi?

Indichiamo con $x$ il numero di palline verdi. Allora il numero di palline rosse è ________. Le prime due palline estratte sono di colore diverso quando la prima è verde e la seconda è rossa o viceversa. Quindi la probabilità che siano diverse è pari a:
________${\displaystyle =\frac{91}{200}}$.
Semplificando i denominatori ricaviamo che:
$x(20-x)=91$
$x^2-20x+91=0$
$x=10\pm \sqrt{100-91}$.
Il numero di palline versi può essere ________.

Un'urna contiene $20$ gettoni numerati da $1$ a $20$. Si pescano tre gettoni senza reimmissione. Associa a ogni evento la sua probabilità.

1.   «Esce la terna ordinata $(13;14;9)$».
________

2.   «Escono i numeri $13$, $14$ e $9$, non necessariamente in questo ordine».
________

3.   «La somma dei numeri dei tre gettoni è $58$».
________

4.   «Escono prima due numeri dispari e poi uno pari».
________

Un'urna contiene $10$ palline: quattro sono contrassegnate col numero $1$, due col numero $2$, una col numero $3$ e tre col numero $4$. Estrai casualmente tre palline, senza reimmetterle. Qual è la probabilità che escano tre numeri diversi in ordine crescente?

Le tre palline estratte sono in ordine crescente in questi casi:
$(1;2;3),$________$,(1;3;4),(2;3;4)$.
Calcoliamo le probabilità di ciascuno dei casi:
${\displaystyle p(1;2;3)=\frac{4}{10}\cdot \frac{2}{9}\cdot \frac{1}{8}=\frac{8}{720};}$
${\displaystyle p(1;2;4)=\frac{4}{10}\cdot }$________${\displaystyle \cdot \frac{3}{8}=\frac{24}{720};}$
${\displaystyle p(1;3;4)=\frac{4}{10}\cdot \frac{1}{9}\cdot \frac{3}{8}=}$________$;$
$p(2;3;4)=$________${\displaystyle \cdot \frac{1}{9}\cdot \frac{3}{8}=\frac{6}{720}.}$
La probabilità che escano tre numeri diversi in ordine crescente è la somma delle tre probabilità.
${\displaystyle \frac{8+24+12+6}{720}=}$________

Arturo ha a disposizione un'urna contenente le $21$ lettere dell'alfabeto italiano.
a.   Calcola la probabilità che Arturo, reinserendo di volta in volta le lettere, estragga consecutivamente tre vocali.
b.   Calcola la probabilità che Arturo, senza reinserire le lettere, estragga una vocale e una consonante, senza tenere conto dell'ordine di estrazione.

a.   Chiamiamo $E_1$ l'evento "Arturo estrae una vocale" e $P(E_1)$ la probabilità di questo evento.
La probabilità che Arturo estragga consecutivamente tre vocali, reinserendo di volta le lettere, sarà quindi pari al ________ delle probabilità.
$P(E_1)\cdot P(E_1)\cdot P(E_1)=$
${\displaystyle \frac{5}{21}\cdot }$________$\cdot$________$=$${\displaystyle \frac{125}{9261}}$.

b.   Chiamiamo $E_1$ l'evento "Arturo estrae prima una vocale e poi una consonante" e indichiamo con $P(E_1)$ la probabilità di questo evento. In modo analogo chiamamo $E_2$ l'evento "Arturo estrae prima una consonante e poi una vocale" e indichiamo con $P(E_2)$ la probabilità di questo evento.
La probabilità che Arturo estragga una vocale e una consonante, senza tenere conto dell'ordine di estrazione è pari ________ di $P(E_1)$ e $P(E_2)$.
Quindi $P(E_1)+P(E_2)=$
${\displaystyle \frac{5}{21}}$$\cdot$________$+{\displaystyle \frac{16}{21}\cdot }$________$={\displaystyle \frac{8}{21}}$.

Un'urna contiene $10$ palline nere e $14$ gialle.
a.   Sapendo che Arina estrae una pallina gialla senza rimetterla nell'urna, qual è la probabilità che Bruno, che estrae successivamente, estragga una pallina gialla?
b.   Qual è la probabilità che sia Arina sia Bruno estraggano una pallina nera?

a.   Una pallina gialla è stata estratta. Rimangono $13$ palline gialle e $10$ nere. La probabilità che Bruno estragga una pallina gialla è:
________.

b.   Arina e Bruno estraggono consecutivamente due palline nere con probabilità pari a:
${\displaystyle \frac{10}{24}\cdot }$________$=$________.

Un sacchetto contiene $10$ palline numerate da $1$ a $10$. Vengono estratte tre palline senza reimmissione. Qual è la probabilità che il prodotto dei numeri corrspondenti sia pari?

Osserviamo che il prodotto tra tre numeri è dispari quando tutti e tre i numeri sono dispari. Possiamo quindi calcolare la probabilità che estraendo senza reimmissione tre palline tra quelle numerate da $1$ a $10$ il loro prodotto sia dispari e poi calcolare la probabilità associata all'evento contrario, ovvero che estraendo senza reimmissione tre palline tra quelle numerate da $1$ a $10$, il prodotto dei numeri corrispondenti sia pari.

Chiamiamo $E_1$ l'evento "estrazione di una pallina di numero dispari", allora  ${\displaystyle P(E_1)=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}}$.

Chiamiamo $E_2$ l'evento "estrazione di una seconda pallina di numero dispari", allora $P(E_2)=$________.

Chiamiamo $E_3$ l'evento "estrazione di una terza pallina di numero dispari", allora $P(E_3)=$________.

Quindi la probabilità dell'evento "il prodotto dei numeri corrispondenti è dispari" è pari a
$P(E_1)$________$P(E_2)$________$P(E_3)$$=$
${\displaystyle \frac{1}{2}\cdot \frac{4}{8}\cdot \frac{3}{8}=\frac{1}{12}}$.

Quindi la probabilità dell'evento contrario è pari a
________$-P(E_1)\cdot P(E_2)\cdot P(E_3)={\displaystyle 1-\frac{1}{21}=\frac{11}{12}}$.

La probabilità che estraendo senza reimmissione tre palline tra quelle numeratore da $1$ a $10$, il prodotto dei numeri corrispondenti sia pari è quindi ${\displaystyle \frac{11}{12}}$.