FIP03bbtazzG3 - I parallelogrammi

Nel parallelograma $ABCD$ indica con $P$ il punto di incontro delle diagonali e traccia le bisettrici degli angoli $D\hat{A}P$ e $B\hat{C}P$ che intersecano la diagonale $DB$ rispettivamente nei punti $Q$ e $R$. Dimostra che $ARCQ$ è un parallelogramma.

Disegniamo la figura e scriviamo ipotesi e tesi.

Per ipotesi $ABCD$ è un parallelogramma, quindi $AB\parallel DC$ e $AB\cong DC$, $AD$________$BC$ e $AD\cong$________. Inoltre, $DP\cong$________ e $AP\cong PC$.

Quindi, poiché ________$\cong D\hat{C}B$, allora $Q\hat{A}R\cong Q\hat{C}R$.

Dimostriamo ora che anche gli angoli $A\hat{Q}C$ e $A\hat{R}C$ sono congruenti.

Consideriamo i triangoli $DCP$ e $ABP$. Essi hanno:

• $B\hat{A}P\cong$________ poiché angoli interni delle stesse parallele tagliate dalla trasversale $AC$;
• $A\hat{B}P\cong C\hat{D}P$ poiché angoli interni delle stesse parallele tagliate dalla trasversale $BD$;
• $AB\cong DC$ perché lati del parallelogramma.

Quindi $DCP\cong ABP$ per il secondo criterio di congruenza dei triangoli.

Allo stesso modo si dimostra che anche $ADP\cong$________.

Segue che $AQ\cong$________ e $QC\cong AR$.

Allora $AQC\cong$________ per il terzo criterio di congruenza e quindi ________$\cong A\hat{R}C$.

Concludiamo che il quadrilatero $ARCQ$ ha gli angoli opposti congruenti, allora è un parallelogramma.