FIP03bbtazzG2 - I criteri di congruenza e i triangoli isosceli ed equilateri

Dimostra che due triangoli che hanno ordinatamente congruenti un angolo, la sua bisettrice e un lato adiacente a tale angolo sono congruenti.

Rappresentiamo il problema in figura.

Consideriamo i triangoli $ABP$ e $A^{\prime }{B}^{\prime }{P}^{\prime }$. Essi hanno:

• $AB\cong A^{\prime }{B}^{\prime }$;
• ________;
• $AP\cong A^{\prime }{P}^{\prime }$.

Pertanto i triangoli $ABP$ e $A^{\prime }{B}^{\prime }{P}^{\prime }$ sono congruenti per il ________ criterio di congruenza.

Di conseguenza $A\hat{B}P\cong A^{\prime }\widehat{B^{\prime }}{P}^{\prime }$ poiché elementi corrispondenti in triangoli congruenti.

Consideriamo ora i triangoli $ABC$ e $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Essi hanno:

• $AB\cong A^{\prime }{B}^{\prime }$;
• ________;
• $A\hat{B}C\cong A^{\prime }\widehat{B^{\prime }}{C}^{\prime }$.

Pertanto i triangoli $ABC$ e $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ sono congruenti per il ________ criterio di congruenza.

Un segmento $AB$ è la base di due triangoli congruenti $ABC$ e $AB{C}^{\prime }$, costruiti dalla stessa parte di $AB$. Dopo aver indicato con $D$ l'intersezione di $A{C}^{\prime }$ e $BC$, dimostra che:

a.   il triangolo $ADB$ è isoscele;

b.   i triangoli $ACD$ e $DB{C}^{\prime }$ sono congruenti.

Rappresentiamo i dati in figura.

a.   I triangoli $ABC$ e $AB{C}^{\prime }$ sono congruenti quindi $B\hat{A}{C}^{\prime }\cong$________. Di conseguenza il triangolo $ABD$ è isoscele.

b.   Consideriamo i triangoli $ACD$ e $DB{C}^{\prime }$. Essi hanno:

• $AC\cong B^{\prime }{C}^{\prime }$ poiché ________
• $AD\cong BD$ poiché ________
• $CD\cong C^{\prime }D$ poiché differenza di segmenti uguali.

Quindi i triangoli $ACD$ e $DB{C}^{\prime }$ sono congruenti per il terzo criterio di congruenza.

Nel triangolo isoscele non equilatero $ABC$, di vertice $C$, la bisettrice dell'angolo esterno di vertice $A$ incontra il prolungamento del lato $BC$ nel punto $E$; la bisettrice dell'angolo esterno di vertice $B$ incontra il prolungamento del lato $AC$ nel punto $F$. Dimostra che i triangoli $ABF$ e $ABE$ sono congruenti.

Consideriamo i triangoli $ABF$ e $ABE$. Essi hanno:

• $AB$ in comune;
• $A\hat{B}E\cong B\hat{A}F$ poiché ________
• ________ in quanto sono somma di angoli congruenti: $A\hat{B}E\cong B\hat{A}F$ e $C\hat{A}E\cong C\hat{B}F$.

Pertanto, i triangoli $ABF$ e $ABE$ sono congruenti per il ________ criterio di congruenza.

Nella figura, il triangolo $ABC$ è isoscele sulla base $AB$; le semirette $a$ e $b$ sono le bisettrici degli angoli esterni di vertici $A$ e $B$ e $AD\cong BE$. Dimostra che $DC\cong EC$.

Consideriamo i triangoli $ADC$ e ________. Essi hanno:

• $AC\cong BC$ poiché il triangolo $ABC$ è isoscele;
• $AD\cong BE$ per ipotesi;
• $D\hat{A}C\cong$________ poiché $a$ e $b$ sono bisettrici di angoli esterni ad angoli uguali.

Pertanto, i triangoli $ADC$ e $BEC$ sono congruenti per il ________ criterio di congruenza. Di conseguenza abbiamo che $DC\cong EC$ poiché elementi corrispondenti in triangoli congruenti.