FIP03BBbluG3 - Criteri di congruenza dei triangoli rettangoli #466874

Nel triangolo acutangolo

A B C

l'altezza

C H

divide l'angolo

\hat{C}

in due parti tali che

B \hat{C} H ≅ 2 A \hat{C} H

. Dimostra che, detto

P

il punto di intersezione della bisettrice dell'angolo

B \hat{C} H

con

A B

, il triangolo

A C P

è isoscele.

Ipotesi:

B \hat{C} H ≅ 2 A \hat{C} H

;

B \hat{C} P ≅ P \hat{C} H

.
Tesi:

A C P

isoscele.

Dimostrazione
Chiamiamo

A \hat{C} H = x

e completiamo la figura con i valori degli angoli noti.

Essendo

A \hat{P} C ≅ C \hat{A} P

il triangolo

A P C

è ________.

Completamento chiuso

In un triangolo

A B C

siano

A H

e

B K

le due altezze e sia

O

il loro punto di intersezione. Dimostra che se

A H ≅ B K

, allora i triangoli

A O K

e

B O H

sono congruenti.

Ipotesi:

A H ≅ B K

Tesi:

A O K ≅ B O H

DIMOSTRAZIONE

Consideriamo i triangoli

A K B

e

B H A

. Essi hanno:
•

A \hat{K} B ≅ B \hat{H} A ≅ \frac{π}{2}

perché

A H

e

B K

sono altezze;
• ________

A B

in comune;
•

A H ≅ B K

per ipotesi.
Allora sono congruenti per il ________ criterio di congruenza dei triangoli rettangoli. In particolare,

A K ≅

________.

Consideriamo ora i triangoli rettangoli

A O K

e

B O H

. Essi hanno:
•

A K ≅

________ per la dimostrazione precedente;
•

A \hat{O} K ≅ B \hat{O} H

perché ________.
Allora sono congruenti per il ________ criterio di congruenza dei triangoli rettangoli.

Completamento chiuso

Determina l'angolo

x

.

Per il ________ criterio di congruenza dei triangoli rettangoli, i due triangoli in figura sono congruenti, poiché hanno ________ congruenti.

Di conseguenza

x

è l'angolo ________ di

50^{\circ}

,
per cui

x =

________.

Completamento chiuso

Il quadrilatero

A B C D

è un poligono regolare. Usa le informazioni della figura per determinare

x

.

I triangoli

W D V

e ________ sono congruenti.
Completiamo la figura, inserendo i valori degli angoli.

Concludiamo che

x =

________.

Completamento chiuso

Nel triangolo rettangolo

A B C

, la mediana

A M

relativa all'potenusa forma l'angolo

A \hat{M} B

di ampiezza

84^{\circ}

. Determina le ampiezze degli angoli acuti di

A B C

.

A \hat{M} C = 96^{\circ}

perché angolo supplementare di

B \hat{M} A

.
Si ha che

A M ≅

________, poiché in un triangolo rettangolo la mediana relativa all'ipotenusa è
________,
quindi il triangolo

A M C

è isoscele sulla base

A C

.
Quindi

M \hat{C} A =

________

= 42^{\circ}

.
Di conseguenza

A \hat{B} C =

________.

Completamento chiuso

Nel triangolo

A B C

traccia la mediana

C M

e prolungala di un segmento

M D ≅ C M

. Dimostra che i punti

C

e

D

sono equidistanti dal lato

A B

e che le bisettrici degli angoli

C \hat{B} A

e

D \hat{A} B

sono parallele.

Ipotesi:

B M ≅ M A

;

M D ≅ C M

;

C \hat{B} E ≅ E \hat{B} A

;

B \hat{A} F ≅ F \hat{A} D

.
Tesi:

C H ≅ D K

;

B E ∥ A F

.

Dimostrazione
I triangoli

B C M

e ________ sono congruenti per il primo criterio di congruenza.
I triangoli

C M A

e

B M D

sono congruenti per il ________ criterio di congruenza.
I triangoli

A B C

e

A B D

sono congruenti perché somma di triangoli congruenti.
Di conseguenza

C H ≅

________ e quindi i punti

C

e

D

sono equidistanti dal lato

A B

.
Inoltre,

E \hat{B} A ≅

________ perché metà di angoli congruenti.

Consideriamo le rette contenenti i segmenti

B E

e

A F

, tagliate dalla trasversale ________: esse formano angoli interni congruenti, e risultano quindi parallele.

Completamento chiuso

Sulla base

A B

di un triangolo rettangolo isoscele

A B C

considera un qualunque punto

D

. Indica con

E

e

F

le proiezioni di

D

rispettivamente su

A C

e

B C

e traccia i segmenti

D E

e

D F

. Traccia la retta passante per i punti

E

e

F

e indica rispettivamente con

H

e

K

le proiezioni di

A

e

B

su di essa.
Dimostra che

E F ≅ A H + B K

.

Ipotesi:

B C ≅ A C

;

D E ⊥ A C

;

D F ⊥ B C

;

A H ⊥ E F

;

B K ⊥ E F

.
Tesi:

E F ≅ A H + B K

.
Dimostrazione
Riportiamo in figura le misure di alcuni angoli noti.
Da

D

tracciamo il segmento

T D

perpendicolare a

F E

.
I triangoli

A H E

e

E T D

sono congruenti e dunque

A H ≅

________.
I triangoli

B K F

e

T D F

sono congruenti e dunque

K B ≅

________.
Quindi

E F ≅

________

+

________

≅ A H + K B

.

Completamento chiuso

L'esagono della figura è regolare. Dimostra che i triangoli

A C D

e

C E F

sono triangoli rettangoli e sono congruenti.

Ipotesi:

A B C D E F

esagono regolare.
Tesi:

A C D

e

C E F

triangoli rettangoli.

A C F ≅ C E F

.

Dimostrazione:
Consideriamo il triangolo

E D C

, esso è isoscele perché

E D ≅

________ in quanto lati dell'esagono regolare.
Si ha quindi

D \hat{E} C ≅ D \hat{C} E =

________

= 30^{\circ}

.
Dunque

C \hat{E} F = 90^{\circ}

. Pertanto il triangolo

C E F

è un triangolo rettangolo.
Applicando lo stesso ragionamento al triangolo

A C D

si ottiene che l'angolo ________ è retto, e pertanto il triangolo è rettangolo.
I due triangoli sono congruenti perché hanno un cateto e l'ipotenusa congruenti, per il ________ criterio di congruenza dei triangoli rettangoli.

Completamento chiuso