Matematica - Scuola secondaria di secondo gradoTriangoliCriteri di congruenza dei triangoliCongruenza di triangoli rettangoli

FIP03BBbluG3 - Criteri di congruenza dei triangoli rettangoli

8 esercizi
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Matematica

In un triangolo ABC siano AH e BK le due altezze e sia O il loro punto di intersezione. Dimostra che se AH≅BK, allora i triangoli AOK e BOH sono congruenti.

Ipotesi:   AH≅BK
Tesi:   AOK≅BOH

DIMOSTRAZIONE

Consideriamo i triangoli AKB e BHA. Essi hanno:
•   AK^B≅BH^A≅π2 perché AH e BK sono altezze;
•   ________AB in comune;
•   AH≅BK per ipotesi.
Allora sono congruenti per il ________ criterio di congruenza dei triangoli rettangoli. In particolare, AK≅________.

Consideriamo ora i triangoli rettangoli AOK e BOH. Essi hanno:
•   AK≅________ per la dimostrazione precedente;
•   AO^K≅BO^H perché ________.
Allora sono congruenti per il ________ criterio di congruenza dei triangoli rettangoli.
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Matematica

Determina l'angolo x.

Per il ________ criterio di congruenza dei triangoli rettangoli, i due triangoli in figura sono congruenti, poiché hanno ________ congruenti.

Di conseguenza x è l'angolo ________ di 50∘,
per cui x=________.
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Matematica

Il quadrilatero ABCD è un poligono regolare. Usa le informazioni della figura per determinare x.

I triangoli WDV e ________ sono congruenti.
Completiamo la figura, inserendo i valori degli angoli.

Concludiamo che x=________.

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Matematica

Nel triangolo acutangolo ABC l'altezza CH divide l'angolo C^ in due parti tali che BC^H≅2AC^H. Dimostra che, detto P il punto di intersezione della bisettrice dell'angolo BC^H con AB, il triangolo ACP è isoscele.

Ipotesi:
BC^H≅2AC^H;
BC^P≅PC^H.
Tesi:
ACP isoscele.

Dimostrazione
Chiamiamo AC^H=x e completiamo la figura con i valori degli angoli noti.

Essendo AP^C≅CA^P il triangolo APC è ________.
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Matematica

Nel triangolo rettangolo ABC, la mediana AM relativa all'potenusa forma l'angolo AM^B di ampiezza 84∘.  Determina le ampiezze degli angoli acuti di ABC.

AM^C=96∘ perché angolo supplementare di BM^A.
Si ha che AM≅________, poiché in un triangolo rettangolo la mediana relativa all'ipotenusa è
________,
quindi il triangolo AMC è isoscele sulla base AC.
Quindi MC^A=________=42∘.
Di conseguenza AB^C=________.
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Matematica

Nel triangolo ABC traccia la mediana CM e prolungala di un segmento MD≅CM. Dimostra che i punti C e D sono equidistanti dal lato AB e che le bisettrici degli angoli CB^A e DA^B sono parallele.

Ipotesi:
BM≅MA;
MD≅CM;
CB^E≅EB^A;
BA^F≅FA^D.
Tesi:
CH≅DK;
BE∥AF.

Dimostrazione
I triangoli BCM e ________ sono congruenti per il primo criterio di congruenza.
I triangoli CMA e BMD sono congruenti per il ________ criterio di congruenza.
I triangoli ABC e ABD sono congruenti perché somma di triangoli congruenti.
Di conseguenza CH≅________ e quindi i punti C e D sono equidistanti dal lato AB.
Inoltre, EB^A≅________ perché metà di angoli congruenti.

Consideriamo le rette contenenti i segmenti BE e AF, tagliate dalla trasversale ________: esse formano angoli interni congruenti, e risultano quindi parallele.

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Matematica

Sulla base AB di un triangolo rettangolo isoscele ABC considera un qualunque punto D. Indica con E e F le proiezioni di D rispettivamente su AC e BC e traccia i segmenti DE e DF. Traccia la retta passante per i punti E e F e indica rispettivamente con H e K le proiezioni di A e B su di essa.
Dimostra che EF≅AH+BK.

Ipotesi:
BC≅AC;
DE⊥AC;
DF⊥BC;
AH⊥EF;
BK⊥EF.
Tesi:
EF≅AH+BK.
Dimostrazione
Riportiamo in figura le misure di alcuni angoli noti.
Da D tracciamo il segmento TD perpendicolare a FE.
I triangoli AHE e ETD sono congruenti e dunque
AH≅________.
I triangoli BKF e TDF sono congruenti e dunque
KB≅________.
Quindi
EF≅________+________≅AH+KB.
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Matematica

L'esagono della figura è regolare. Dimostra che i triangoli ACD e CEF sono triangoli rettangoli e sono congruenti.

Ipotesi:   ABCDEF esagono regolare.
Tesi:
ACD e CEF triangoli rettangoli.
ACF≅CEF.

Dimostrazione:
Consideriamo il triangolo EDC, esso è isoscele perché
ED≅________ in quanto lati dell'esagono regolare.
Si ha quindi DE^C≅DC^E=
________=30∘.
Dunque CE^F=90∘. Pertanto il triangolo CEF è un triangolo rettangolo.
Applicando lo stesso ragionamento al triangolo ACD si ottiene che l'angolo ________ è retto, e pertanto il triangolo è rettangolo.
I due triangoli sono congruenti perché hanno un cateto e l'ipotenusa congruenti, per il ________ criterio di congruenza dei triangoli rettangoli.
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