FIP03BBbluG2 - Criteri di congruenza, triangoli isosceli ed equilateri

Utilizzando le informazioni segnate in colore, indica per quali criteri le seguenti coppie di triangoli sono congruenti. Considera solo i triangoli dei quali sono indicati i vertici.

a. Sì per il ________ criterio di congruenza.
b. Sì per il ________ criterio di congruenza.
c. Sì per il ________ criterio di congruenza.
d. Sì per il ________ criterio di congruenza perché angoli ________ di angoli congruenti sono congruenti.
e. Sì per il ________ criterio di congruenza. Infatti,
$AC\cong$________ in quanto somma di segmenti congruenti e quindi gli angoli alla base di $ABC$ sono congruenti.

Nei triangoli $ABC$ e $DEF$ è $AB\cong FD$ e $\hat{A}\cong \hat{F}$. In quale dei seguenti casi i triangoli potrebbero non essere congruenti.

I triangoli $ABC$ e $ABO$, con base $AB$, della figura sono isosceli. Dimostra che $DO\cong EO$.

Ipotesi:
$AC\cong BC$;
$AO\cong BO$.
Tesi:
$DO\cong EO$.

Dimostrazione
$C\hat{A}B\cong C\hat{B}A$ per ________ del triangolo isoscele.
Analogamente, $O\hat{A}B\cong O\hat{B}A$.
Quindi
$D\hat{A}O\cong \pi -(O\hat{A}B+$________$)\cong$
$\pi -(O\hat{B}A+C\hat{B}A)\cong E\hat{B}O$.
Consideriamo i triangoli $ADO$ e $BEO$. In essi:
•   $AO\cong BO$ per ipotesi;
•   $D\hat{A}O\cong E\hat{B}O$ per dimostrazione precedente;
•   $A\hat{O}D\cong B\hat{O}E$ perché angoli ________;
quindi $ADO\cong BEO$ per il ________ criterio di congruenza dei triangoli.
In particolare, $DO\cong EO$.

Sui lati obliqui del triangolo isoscele $ABC$, di base $AB$, abbiamo costruito i triangoli equilateri $BCD$ e $ACE$. Dimostra che i triangoli $ABD$ e $ABE$ sono congruenti. Detto $F$ il punto di intersezione tra $BE$ e $AD$, dimostra che la retta $CF$ passa per il punto medio della base $AB$.

Ipotesi
$AC\cong BC$
$AC\cong CE\cong EA$
$BC\cong BD\cong DC$

Tesi
$ABD\cong ABE$
$AM\cong MB$

Dimostrazione

I lati di $AEC$ sono tutti congruenti ad $AC$ e quelli di $BCD$ sono tutti congruenti a $BC$.
Essendo $AC\cong BC$ perché lati obliqui del triangolo isoscele $ABC$, per la proprietà transitiva i due triangoli equilateri hanno i lati congruenti e sono quindi congruenti per il terzo criterio.

$C\hat{A}B\cong$________ perché angoli alla base di $ABC$ triangolo isoscele.
Abbiamo inoltre che
$E\hat{A}B\cong$________$+C\hat{A}B\cong$
$D\hat{B}C+$________$\cong D\hat{B}A$.

I triangoli $ABD$ e $ABE$ hanno:
• $AB$ in comune;
• $BD\cong AE$ per ipotesi;
• $E\hat{A}B\cong D\hat{B}A$ per ________;
quindi sono congruenti per il ________ criterio.
Dai risultati appena ottenuti abbiamo che
$F\hat{A}B\cong D\hat{A}B\cong$________$\cong$________,
quindi il triangolo ________ è isoscele.
In particolare $FA\cong FB$.

Consideriamo ora i triangoli $FAC$ e $FBC$ e notiamo che hanno i tre ________ ordinatamente congruenti, perciò risultano congruenti per il terzo criterio.
In particolare $F\hat{C}B\cong$________e la retta $CF$ è bisettrice dell'angolo $\hat{C}$. Nel triangolo isoscele $ABC$, la bisettrice $CM$ è allora anche ________, quindi $AM\cong MB$.

Dieci fiammiferi tutti uguali sono disposti in file orizzontali e verticali come in figura, e gli angoli individuati da un fiammifero verticale con uno orizzontale sono, evidentemente, retti. Prolunga i lati $EF$ ed $ED$ di due segmenti congruenti, $FP$ e $DQ$, e considera i due triangoli $AGP$ e $ACQ$. Dimostra che $AGP$ e $ACQ$ sono congruenti.

Disegniamo la figura.


Consideriamo i triangoli $GFP$ e $CDQ$. In essi:
•   $GF\cong CD$ per ipotesi;
•   $FP\cong DQ$ per ipotesi;
•   $G\hat{F}P\cong C\hat{D}Q$ perché entrambi ________;
quindi $GFP\cong CDQ$ per il ________ criterio di congruenza dei triangoli.
In particolare, $GP\cong$________.

Consideriamo i triangoli $ABP$ e $A\hat{H}Q$. Essi hanno:
•   $AB\cong AH$ perché somma di segmenti congruenti;
•   $BP\cong HQ$ perché ________ di segmenti congruenti;
•   $A\hat{B}P\cong A\hat{H}Q$ perché entrambi retti;
quindi $A\hat{B}P\cong A\hat{H}Q$ per il ________ criterio di congruenza dei triangoli.
In particolare, $AP\cong AQ$.

Infine, consideriamo i triangoli $AGP$ e $ACQ$. In essi:
•   $GP\cong CQ$ per dimostrazione precedente;
•   $AP\cong AQ$ per dimostrazione precedente;
•   $AG\cong AC$ perché ________ di segmenti congruenti;
quindi $AGP\cong ACQ$ per il ________ criterio di congruenza dei triangoli.

$ABC$ e $DBC$ sono due distinti triangoli, tra loro congruenti, costruiti sulla stessa base $BC$, con i vertici $A$ e $D$ dalla stessa parte rispetto alla base. Indicati con $P$ e $Q$ rispettivamente i punti di intersezione tra i lati $AC$ e $BD$ e i prolungamenti dei lati $AB$ e $DC$, dimostra che:
a.   $PB\cong PC$;
b.   $PQ$ è bisettrice dell'angolo $B\hat{Q}C$.

Ipotesi:
$ABC\cong DBC$.

Tesi:
a.   $PB\cong PC$;
b.   $B\hat{Q}P\cong P\hat{Q}C$.

Dimostrazione
a.   Consideriamo il triangolo $PBC$.
$P\hat{B}C\cong P\hat{C}B$ perché angoli ________ nei triangoli congruenti $ABC$ e $DBC$.
Quindi $PBC$ è isoscele per l'inverso del teorema del triangolo isoscele e cioè $PB\cong PC$.

b.   Consideriamo i triangoli $AQC$ e $DQB$. In essi:
•   $AC\cong BD$ per ipotesi;
•   $Q\hat{A}C\cong Q\hat{D}B$ per ipotesi;
•   $A\hat{C}Q\cong$________$+B\hat{C}Q\cong$
$D\hat{B}C+C\hat{B}Q\cong$________;
quindi $AQC\cong DQB$ per il ________ criterio di congruenza dei triangoli.
In particolare, $AQ\cong DQ$.

Consideriamo quindi i triangoli $APQ$ e $DPQ$. Essi hanno:
•    $PQ$ in comune;
•    $AP\cong DP$ perché differenza di segmenti congruenti;
•    $AQ\cong DQ$ per dimostrazione precedente;
quindi $APQ\cong DPQ$ per il ________ criterio di congruenza dei triangoli.

Il triangolo $ABC$ è isoscele di base $AB$. Tenendo conto delle informazioni riportate in figura, dimostra che $DF\cong EG$.

Ipotesi:
$AC\cong BC$;
$CD\cong CE$;
$F\hat{D}E\cong G\hat{E}D$.
Tesi:
$DF\cong EG$.

Dimostrazione
Il triangolo $DCE$ è isoscele quindi per il teorema del triangolo isoscele si ha
$C\hat{D}E\cong$ ________.
Inoltre,
$A\hat{D}F\cong \pi -(C\hat{D}E+$ ________$)\cong$
$\pi -(C\hat{E}D+D\hat{E}G)\cong B\hat{E}G$.
Consideriamo i triangoli $ADF$ e $BEG$. Essi hanno:
•   $A\hat{D}F\cong B\hat{E}G$ per dimostrazione precedente;
•   $C\hat{A}B\cong C\hat{B}A$ per ________ del triangolo isoscele;
•   $AD\cong BE$ perché somma di segmenti congruenti;
quindi $ADF\cong BEG$ per il ________ criterio di congruenza dei triangoli.
In particolare, $DF\cong EG$.

Del quadrilatero convesso $ABCD$ sai che $AB\cong AD$ e $C\hat{B}D\cong C\hat{D}B$. Dimostra che $A\hat{C}B\cong A\hat{C}D$.

Ipotesi:
$AB\cong AD$;
$C\hat{B}D\cong C\hat{D}B$.
Tesi:
$A\hat{C}B\cong A\hat{C}D$.

Dimostrazione
$CBD$ ha gli angoli alla base $BD$ congruenti quindi per ________ del triangolo isoscele $CBD$ è isoscele e cioè
$BC\cong$________.
Consideriamo i triangoli $ABC$ e $ADC$. Essi hanno:
•   $AC$ in comune;
•   $BC\cong CD$ per dimostrazione precedente;
•   $AB\cong AD$ per ipotesi;
quindi $ABC\cong ADC$ per il ________ criterio di congruenza dei triangoli.
In particolare, $A\hat{C}B\cong A\hat{C}D$.

Sui lati obliqui del triangolo isoscele $ABC$ di vertice $A$, considera i punti $D$ ed $E$ tali che $AD\cong AE$. Prolunga la base $BC$ da entrambe le parti di due segmenti $BP\cong CQ$ e indica con $O$ il punto di intersezione dei segmenti $DQ$ e $PE$. Dimostra che:
a.   i triangoli $DBQ$ ed $ECP$ sono congruenti;
b.   $PO\cong OQ$;
c.   i triangoli $AOD$ e $AEO$ sono congruenti.

Ipotesi:
$AB\cong AC$;
$AD\cong AE$;
$BP\cong CQ$.

Tesi
a.   $DBQ\cong ECP$;
b.   $PO\cong OQ$;
c.   $AOD\cong AEO$.

Dimostrazione:
a.   Consideriamo i triangoli $DBQ$ e $ECP$. In essi:
•   $DB\cong EC$ perché differenza di segmenti congruenti;
•   $D\hat{B}C\cong E\hat{C}B$ perché angoli ________ di un triangolo isoscele;
•   $CP\cong BQ$ perché somma di segmenti congruenti;
quindi $DBQ\cong ECP$ per il ________ criterio di congruenza dei triangoli.

b.   Consideriamo il triangolo $POQ$.
$O\hat{P}Q\cong$________ perché angoli corrispondenti nei triangoli congruenti $DBQ$ e $ECP$.
Quindi il triangolo $POQ$ è isoscele per ________ del triangolo isoscele e cioè $PO\cong OQ$.

c.   Consideriamo i triangoli $AOD$ e $AOE$. Essi hanno:
•   $AO$ è in comune;
•   $AD\cong AE$ per ipotesi;
•   $DO\cong EO$ perché ________ di segmenti congruenti;
quindi $AOD\cong AOE$ per il ________ criterio di congruenza dei triangoli.