FIP03BBblu03 - Problemi con gli insiemi

Un'indagine statistica sulle $300$ persone più ricche d'Europa evidenzia che $180$ di loro possiedono una villa al mare, $75$ uno yacht e $30$ sia uno yacht sia una villa al mare.
Quanti non possiedono né yacht né villa al mare?

Rappresentiamo la situazione con un diagramma di Venn a due insiemi.

$|V\cap Y|=30$ quindi è rappresentato in figura ________.

$|V|=180$ e $|Y|=75$ quindi è rappresentato in figura ________

Troviamo infine coloro che non possiedono né una villa al mare né uno yacht:
$300-(150+30+45)=75$.

Un campione di $100$ pazienti ha mostrato $3$ possibili sintomi: raffreddore, mal di testa e nausea. Indichiamo con $U$ l'insieme dei pazienti, con $R$ l'insieme dei pazienti con raffreddore, con $T$ l'insieme dei pazienti con mal di testa e con $N$ l'insieme dei pazienti con nausea.
a.   Descrivi a parole l'insieme colorato in figura.
b.   Sai che ci sono $9$ pazienti senza sintomi, $55$ con raffreddore, $40$ con mal di testa e $20$ nausea. Inoltre, sai che ci sono $5$ pazienti con tutti e tre i sintomi, $7$ pazienti con nausea e mal di testa ma senza raffreddore e $25$ pazienti con solo mal di testa. Quanti sono i pazienti con nausea e raffreddore ma senza mal di testa?

a.   L'insieme rappresentato in figura è l'insieme dei pazienti ________.

b.   Inseriamo le informazioni immediate:
.
$40-(25+$________$+5)=3$ è il numero di pazienti che hanno ________:
.
Rimangono $100-(25+7+5+3+9)=51$ pazienti da inserire nel diagramma.

Sappiamo che $55-$________$=$________ hanno il raffreddore ma senza mal di testa e $20-$________$=$________ hanno la nausea ma non il mal di testa quindi la somma è
________$+$________$=55$.
Quindi $55-41=4$ pazienti ________:
.

Associa a ogni insieme la sua cardinalità, sapendo che $|A|=8$ e $|A\cap B|=5$.

a.   $A-B$   ________
b.   $\mathcal{P}(A\cap B)$   ________
c.   $\mathcal{P}(A)-\{A\}$   ________
d.   $(A\cap B)\times A$   ________

Nell'insieme universo $U$ dei libri di una biblioteca, l'insieme $R$ rappresenta i libri con la copertina rigida, $G$ i romanzi gialli e $D$ i volumi disponibili per il prestito. Solo una delle seguenti espressioni non rappresenta l'insieme dei libri gialli con copertina rigida oppure che sono disponibili per il prestito e non hanno la copertina rigida. Quale?

I $100$ iscritti al primo anno di una facoltà universitaria frequentano almeno uno dei corsi di Analisi matematica, Fisica e Geometria. Tutti quelli che frequentano il corso di Fisica frequentano anche il corso di Analisi matematica. Inoltre: $20$ studenti frequentano tutti e tre i corsi; $30$ studenti frequentano solo Analisi matematica e Geometria; gli studenti che frequentano Geometria sono $45$.
a.   Quanti sono gli studenti che frequentano solo Geometria?
b.   Quanti sono gli studenti che frequentano Fisica?

Impostiamo un diagramma di Venn con tre insiemi.

Inseriamo le informazioni immediate.
L'informazione "Tutti quelli che frequentano il corso di Fisica frequentano anche il corso di Analisi matematica" è tradotta con il diagramma ________.

L'informazione "$20$ studenti frequentano tutti e tre i corsi", "$30$ solo Analisi matematica" e "$10$ solo Analisi matematica e Geometria" porta al diagramma seguente.

a. Quindi gli studenti che frequentano solo Geometria sono:
$45-$________$=15$,

b. Troviamo $100-(30+20+10+15)=25$ che è il numero di studenti che frequentano Analisi matematica ________ Fisica ma non Geometria.

Quindi, in totale gli studenti che frequentano Fisica sono ________.

Un'indagine tra $60$ matricole di una grande università di studi economici ha prodotto i seguenti risultati:
$19$ leggono «Business Week»; $18$ leggono «The Wall Street Journal»; $50$ leggono «Fortune»; $13$ leggono «Business Week» e «The Wall Street Journal»; $11$ leggono «The Wall Street Journal» e «Fortune»; $13$ leggono «Business Week» e «Fortune»; $9$ leggono tutte e tre le pubblicazioni.
a.   Quanti non leggono nessuna delle tre pubblicazioni?
b.   Quanti leggono solo «Fortune»?
c.   Quanti leggono solo «Business Week» e «The Wall Street Journal», ma non «Fortune»?

Impostiamo un diagramma di Venn con tre insiemi.

Inseriamo le informazioni immediate:
"$9$ leggono tutte e tre le pubblicazioni", cioè
$|B$________$W$________$F|=9$,

"$13$ leggono Business Week e The Wall Street Journal", cioè $|B\cap W|=13$;
"$11$ leggono The Wall Street Journal e Fortune", cioè $|W\cap F|=11$;
"$13$ leggono Business Week e Fortune", cioè $|B\cap F|=13$;
quindi il diagramma è quello in figura ________.

"$19$ leggono Business Week", cioè $|B|=19$;
"$18$ leggono The Wall Street Journal", cioè $|W|=19$
"$50$ leggono Fortune", cioè $|F|=50$;
quindi il diagramma è quello in figura ________.


a.    $60-(2+4+4+9+2+3+35)=$________ persona non legge nessuna delle tre pubblicazioni.
b.    ________ leggono solo "Fortune".
C.    ________ leggono "Business Week" e "The Wall Street Journal" ma non "Fortune".

Anna, Beatrice e Carla, confrontando le rispettive rubriche telefoniche, osservano che:
$31$ contatti sono comuni a tutte e tre, $22$ sono presenti nelle rubriche di Anna e Beatrice ma non in quella di Carla, $18$ sono nelle rubriche di Beatrice e Carla ma non in quella di Anna, $15$ nelle rubriche di Anna e Carla ma non in quella di Beatrice. La rubrica di Carla contiene $81$ contatti, mentre quelle di Beatrice e Anna contengono lo stesso numero di contatti. In totale, i contatti che compaiono in almeno una delle rubriche sono $150$.
a.   Quanti sono i contatti nella rubrica di Anna?
b.   Quanti sono i contatti che compaiono solo nella rubrica di Beatrice?

Impostiamo un diagramma di Venn con tre insiemi.

Inseriamo le informazioni immediate.
Il diagramma corretto è quello in figura ________.

I contatti solo di Carla sono:
$81-($________$+31+$________$)=17$

Sappiamo che $|A\cup B|=133$ quindi ________$=40$ sono i contatti di Beatrice ma non di Anna e, allo stesso modo, quelli di Anna ma non di Beatrice; quindi $40$________$18$$=$________ sono contatti solo di Beatrice e $40$________$15$$=$________sono contatti solo di Anna:
.

Rispondiamo quindi alle domande:
a.   ________$=93$;
b.   ________.

In una scuola ci sono $200$ bambini. Ciascuno di loro può avere o non avere i lobi delle orecchie attaccati $(\text{O})$, la fossetta sul mento $(\text{F})$, le lentiggini sul volto $(\text{L})$. Si sa che: $25$ hanno solo $\text{O}$, $33$ solo $\text{F}$, $67$ solo una delle tre caratteristiche, $59$ solo due di esse (di cui $15$ hanno $\text{O}$ e $\text{L}$, $18$ hanno $\text{L}$ e $\text{F}$), $128$ hanno almeno uno dei tre tratti. Indica quanti bambini:
a.   hanno tutte e tre le caratteristiche;
b.   hanno solo le lentiggini;
c.   non hanno alcuna caratteristica;
d.   ne hanno più di una.

Impostiamo il diagramma di Venn con tre insiemi.

Inseriamo le informazioni immediate.
Il diagramma corretto è quello in figura ________.

Le persone con solo le lentiggini sono
________$-(25+33)=9$ e
$200-$________$=72$ con nessuna delle caratteristiche:
.
Sappiamo che
$128-(25+33+$________$)=61$
hanno almeno due caratteristiche e che $59$ ne hanno solo due, quindi ________ hanno tutte e tre le caratteristiche.
Inoltre $15-$________$=$________ hanno solo orecchie con i lobi attaccati e lentiggini e
$18-$________$=$________ hanno lentiggini e fossetta sul mento.
Infine $128-(25+33+9+2+$________$+$________$)=$$30$.
Le informazioni sono riportate nel diagramma ________.
.

Rispondiamo quindi alle domande:
a.   ________ bambini;
b.   ________ bambini;
c.    ________ bambini;
d.    ________ bambini.