FIP02bbtverde21 - La probabilità della somma logica di eventi

Tutti i $28$ dipendenti di una piccola start-up usano un mezzo di trasporto per andare in ufficio: $14$ utilizzano la macchina, $8$ la bicicletta, $3$ l'autobus e $3$ il motorino.
Scelto a caso un indipendente, qual è la probabilità che utilizza un mezzo a due ruote?

I mezzi a due ruote utlizzati sono la bicicletta e il motorino. La probabilità che, scelto a caso un dipendente, egli usi un mezzo a due ruote è:
________$=$________.

Calcola la probabilità che lanciando un dado a $20$ facce (numerate da $1$ a $20$) esca un numero multiplo di $4$ o di $5$.

Elenchiamo tutti i multipli di $4$ o di $5$:
$4,5,8,$________$,12,$________.
La probabilità che esca un multiplo di $4$ o $5$ è:
________.

Un gioco a premi consiste nel centrare uno dei cinque bersagli disponibili di dimensione decrescente, numerati da $1$ a $5$. La probabilità di centrare il bersaglio numero $1$ è ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ e la probabilità di centrare il bersaglio successivo dimezza di volta in volta.
a.   Qual è la probabilità di mancare ogni bersaglio?
b.   I bersagli $3$ e $4$ sono rossi, mentre gli altri sono bianchi. Qual è la probabilità di centrare un bersaglio rosso?

a.   Calcoliamo la probabilità di mancare ogni bersaglio con la probabilità dell'evento contrario. Per prima cosa quindi calcoliamo la probabilità di centrare almeno un bersaglio.
Consideriamo gli eventi:
$E_1=$ «centrare il bersaglio numero $1$»;
$E_2=$ «centrare il bersaglio numero $2$»;
$E_3=$ «centrare il bersaglio numero $3$»;
$E_4=$ «centrare il bersaglio numero $4$»;
$E_5=$ «centrare il bersaglio numero $5$».
Le probabilità associate a questi eventi sono:
$P(E_1)={\displaystyle \frac{1}{2}}$;
$P(E_2)={\displaystyle \frac{1}{4}}$;
$P(E_3)=$________;
$P(E_4)={\displaystyle \frac{1}{16}}$;
$P(E_5)=$________.
La probabilità di centrare almeno un bersaglio è pari alla somma di queste probabilità:
$P(E_1)+P(E_2)+P(E_3)+P(E_4)+P(E_5)=$
${\displaystyle \frac{1}{2}}$________${\displaystyle \frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}=}$
${\displaystyle \frac{16+8+4+2+1}{32}=\frac{31}{32}}$.
Quindi la probabilità dell'evento contrario, ovvero mancare ogni bersaglio, sarà pari a
$1-$________$=$
${\displaystyle 1-\frac{31}{32}=\frac{1}{32}}$.

b.   Dal punto a. sappiamo che $P(E_3)={\displaystyle \frac{1}{8}}$ e ${\displaystyle P(E_4)=\frac{1}{16}}$, perciò la probabilità di colpire un bersaglio rosso sarà pari alla ________ delle due probabilità:
${\displaystyle P(E_3)+P(E_4)=\frac{1}{8}+\frac{1}{16}=}$________.

Estrai un gettone da un'urna che ne contiene $20$ numerati da $1$ a $20$. Calcola la probabilità dell'evento $E=$ «il numero sia pari o multiplo di $3$ o di $5$».

Elenchiamo tutti i numeri tra $1$ e $20$ che non sono pari e non sono multipli di $3$ o $5$:
________.
I rimanenti numeri soddisfano le proprietà richieste, quindi la probabilità di $E$ è:
$p(E)=$________.

In una classe di $25$ studenti e studentesse alcuni praticano calcio, altri basket, altri sia basket sia calcio, mentre $3$ non praticano alcuno sport.
Scegliendo a caso una persona della classe, la probabilità che pratichi calcio è $0,4$, quella che pratichi basket è $0,8$.
Stabilisci quanti praticano sia calcio sia basket.

Chiamiamo $E_1$ l'evento «gli studenti praticano calcio» e $E_2$ l'evento «gli studenti praticano basket».
Per il teorema della somma di eventi compatibili si ha:
$P(E_1\cup E_2)=P(E_1)+P(E_2)-P(E_1\cap E_2)$
da cui ricaviamo
$P(E_1\cap E_2)=p(E_1)+p(E_2)$________$P(E_1\cap E_2)$.

Osserviamo che $P(E_1\cup E_2)$, ovvero la probabilità che gli studenti pratichino calcio o basket è pari a
$1-$________$={\displaystyle \frac{22}{25}=0,88}$.

Segue che
$P(E_1\cap E_2)=$________$-0,88=$
$0,32\to 0,32$________$25=8$.

Concludiamo che su $25$ studenti $8$ sia il calcio sia il basket.