FIP02bbtazz05 - Le relazioni in un insieme e loro proprietà

Dato l'insieme $A=\{a,b,c\}$, stabilisci di quale proprietà gode la relazione
$\mathcal{R}=\{(a;b),(b;c),(c;b),(a;c),(c;a),(b;a)\}$.

Siano $x$, $y$ due elementi qualsiasi di $A$. La relazione $\mathcal{R}$:

• ________ della proprietà riflessiva perché ________;
• ________ della proprietà simmetrica perché se $(x;y)\in \mathcal{R}$, allora $(y;x)$________$\mathcal{R}$;
• ________ della proprietà transitiva perché, per esempio, $(a;b),(b;a)\in \mathcal{R}$ ma $(a;a)$________$\mathcal{R}$;
• ________ della proprietà antiriflessiva perché $\mathrm{\forall }x\in A$,  $(x;x)$________$\mathcal{R}$;
• ________ della proprietà antisimmetrica perché, per esempio, $(a;b)\in \mathcal{R}$ e $(b;a)$________$\mathcal{R}$.

Sia $A$ l'insieme dei numeri naturali da uno a sei, scritti a parole. Verifica che la relazione definita in $A$

$x\mathcal{R}y$$\leftrightarrow$$x$ precede $y$ in ordine alfabetico

è una relazione d'ordine stretto e totale.
Quale numero precede tutti gli altri? Qual è quello che segue tutti gli altri?

La relazione $\mathcal{R}$:

• gode della proprietà ________;
• ________ della proprietà antisimmetrica;
• ________ della proprietà transitiva.

Dunque, è una relazione di ordine ________.

Poiché, comunque scelti due elementi distinti $a$ e $b$ nell'insieme , risulta sempre che $a$ è in relazione con $b$________ che $b$ è in relazione con $a$, la relazione d'ordine ________ totale.

Il numero che precede tutti gli altri è ________.

Il numero che segue tutti gli altri è ________.

Nell'insieme degli studenti e delle studentesse della tua classe considera la relazione $x\mathcal{R}y$$\leftrightarrow$ i cognomi di $x$ e $y$ hanno la stessa lettera iniziale.
Verifica che è una relazione di equivalenza.

1. Qual è la cardinalità dell'insieme quoziente?
2. Qual è la massima cardinalità dell'insieme quoziente per questa relazione?

La relazione:

• ________ della proprietà riflessiva;
• ________ della proprietà antisimmetrica;
• ________ della proprietà transitiva.

Dunque, ________ una relazione di equivalenza.

La relazione dà la possibilità di suddividere l'insieme degli studenti e delle studentesse in tanti sottoinsiemi, ognuno dei quali è formato dalle persone i cui cognomi hanno ________.
Ognuno di questi sottoinsiemi è una classe di equivalenza. ________ stabilire con certezza il numero di classi di equivalenza non conoscendo i cognomi delle persone della classe. Di conseguenza, ________ determinare la cardinalità dell'insieme quoziente.

La massima cardinalità dell'insieme quoziente è pari al numero di ________, cioè $26$.