FIP02BBbluG2 - Secondo criterio di congruenza, triangoli isosceli ed equilateri

Nella figura, $AB\cong AC$, $BF\cong FC$, $E\hat{B}F\cong D\hat{C}F$.
Dimostra che:
a.   $EA\cong AD$;
b.   $E\hat{F}A\cong D\hat{F}A$.

a. Consideriamo i triangoli $AEC$ e $ABD$. In essi:
•   $AB\cong AC$ per ipotesi;
•   $A\hat{C}E\cong A\hat{B}D$ per ipotesi;
•   $\hat{A}$ è in comune;
quindi $AEC\cong ABD$ per il ________ criterio di congruenza dei triangoli.
In particolare, $AD\cong EA$.

b. Tracciamo il segmento $FA$ e consideriamo i triangoli $AFC$ e $AFB$. Essi hanno:
•   $AC\cong AB$ per ipotesi;
•   $CF\cong BF$ per ipotesi;
•   $A\hat{C}F\cong A\hat{D}E$ per ipotesi;
quindi $AFC\cong AFB$ per il primo criterio di congruenza dei triangoli.
In particolare, $C\hat{A}F\cong$ ________.

Consideriamo infine i triangoli $ADF$ e $AEF$. Essi hanno:
•   $AD\cong EA$ perché ________ di segmenti congruenti;
•   $AF$ è in comune;
•   $D\hat{A}F\cong E\hat{A}F$ per dimostrazione precedente;
quindi $ADF\cong AEF$ per il ________ criterio di congruenza dei triangoli.
In particolare, $E\hat{F}A\cong D\hat{F}A$.

In figura, $L$, $M$ e $N$ sono i punti medi dei lati del triangolo equilatero $ABC$.
Dimostra che il triangolo $LMN$ è equilatero.
$CL$ incontra $NM$ in $D$. Dimostra che $D$ è il punto medio di $NM$.

Ipotesi
$ABC$ triangolo equilatero;
$AN\cong NC$; $AL\cong LB$; $BM\cong CM$.

Tesi
$LMN$ triangolo equilatero
$ND\cong DM$

Dimostrazione
I triangoli $ANL$, $LMB$, ________ hanno:
$AL\cong$________$\cong$________perché metà di segmenti congruenti;
________$\cong BM\cong MC$ per lo stesso motivo;
$N\hat{A}L\cong L\hat{B}M\cong$________ perché angoli di un triangolo equilatero;
quindi sono congruenti per il ________ criterio.
In particolare, $NL\cong LM\cong NM$, quindi $LMN$ è un triangolo equilatero.

I triangoli $ALC$ e $BLC$ hanno:
• ________ perché $L$ è punto medio di $AB$;
• $AC\cong BC$ perché lati di triangolo equilatero;
• $C\hat{A}L\cong C\hat{B}L$ perché angoli di triangolo equilatero;
quindi sono congruenti per il ________ criterio.
In particolare, $A\hat{C}L\cong$________.

Nel triangolo $NCM$, isoscele perché $NC\cong CM$, in quanto metà di segmenti congruenti, $CD$ è allora ________ e quindi anche ________.
Allora $ND\cong DM$.

Nella figura, $OE$ è la bisettrice dell'angolo $A\hat{O}B$, e i triangoli $OAE$ e $OBC$ sono isosceli.
a.     Dimostra che il triangolo $DCE$ è isoscele.
b.     Sapendo che $A\hat{O}B={70}^{\circ }$, calcola la misura di $O\hat{C}D$.
c.     Il perimetro del triangolo $OBC$ è $22$ cm e la base supera di $4$ cm il lato obliquo.
Sapendo che $BC\cong AD$ e $OA=8$ cm, calcola la lunghezza di $CD$.

a.
Ipotesi
$A\hat{O}E\cong E\hat{O}B$
$OA\cong$________
$OB\cong CB$

Tesi
$DCE$ triangolo isoscele

Dimostrazione

Il triangolo $OAE$ è isoscele per ipotesi, quindi $A\hat{O}E\cong$________$\cong D\hat{E}C$.
Il triangolo $OBC$ è isoscele per ipotesi, quindi $O\hat{C}B\cong C\hat{O}B\cong$________.
Gli angoli $D\hat{C}E$ e $O\hat{C}B$ sono congruenti perché opposti al vertice, perciò
$D\hat{C}E\cong$________$\cong$________$\cong D\hat{E}C$.
Il triangolo $DCE$ ha due angoli congruenti, pertanto è isoscele.

b.
Poiché $A\hat{O}B={70}^{\circ }$ e $OE$ è la sua bisettrice, otteniamo: $B\hat{O}E=$________.

$B\hat{C}O\cong B\hat{O}C$ perché angoli alla base del triangolo isoscele $BOC$, quindi:
$B\hat{C}O=$________.

Quindi $O\hat{C}D=$________ perché ________$B\hat{C}O$.

c.
Troviamo $\overline{BC}$.
Poiché $\overline{OC}=\overline{BC}$________$4$ e
$\overline{OB}=$________, esprimendo il perimetro in funzione di $\overline{BC}$ otteniamo un'equazione nell'incognita $\overline{BC}$ e la risolviamo:
$\overline{OC}+\overline{OB}+\overline{BC}=22$
$\overline{BC}+4+\overline{BC}+\overline{BC}=22$
$3\overline{BC}=22-4$
$\overline{BC}={\displaystyle \frac{18}{3}=6}$

Se $BC\cong AD$, allora $\overline{AD}=6$.
$CD\cong$________$\cong$
$AE-AD\cong$________$-AD$,
quindi
$\overline{CD}=8-6=2$.
Concludiamo che la lunghezza $CD$ è $2$ cm.

Il taccuino di Sherlock Holmes è sparito. Sherlock sa che può averlo preso una sola persona fra Watson, Lestrade e Mrs. Hudson e che il colpevole è l'unico che mente.
Watson: «È stata Mrs. Hudson».
Mrs. Hudson: «Non so chi sia stato».
Lestrade: «Watson dice la verità».
Dimostra per assurdo che la colpevole è Mrs. Hudson.

Supponiamo per assurdo che Mrs. Hudson dica la verità e quindi ________ colpevole.
Watson però afferma che è stata Mrs. Hudson a prendere il taccuino; questo vuol dire che Watson sta ________.
Allo stesso tempo, Lestrade afferma che Watson dice la verità.
Ma se Watson sta ________, allora anche Lestrade sta mentendo.
Quindi, se Mrs. Hudson dice la verità, sia Watson che Lestrade stanno ________.
Raggiungiamo così un assurdo.
Concludiamo che non è possibile che Mrs. Hudson dica la verità, cioè ________ lei la colpevole.

Nella figura è riportata la sezione verticale della capriata nella foto. $ABC$ è un triangolo isoscele e $CH$ è l'altezza relativa alla base $AB$. Dimostra che, se $P\hat{R}C\cong Q\hat{R}C$, allora $PR\cong QR$.

Ipotesi:
________$\cong BC$;
$CH\perp AB$;
$P\hat{R}C\cong Q\hat{R}C$.
Tesi:
$PR\cong QR$.

Dimostrazione
$CH$ è ________ ma anche mediana e ________ per la proprietà dei triangoli isosceli.
Quindi $P\hat{C}R\cong Q\hat{C}R$:
Consideriamo i triangoli $PCR$ e $QCR$:
•   $CR$ è in comune;
•   $P\hat{R}C\cong Q\hat{R}C$ per ipotesi;
•   $P\hat{C}R\cong Q\hat{C}R$ per dimostrazione precedente;
quindi $PCR\cong QCR$ per il ________ criterio di congruenza dei triangoli.
In particolare, $PR\cong QR$.

Sui lati dell'angolo $\hat{O}$ in figura sono fissati i punti $A$, $B$, $C$, $D$ in modo che $OA\cong OB$ e $AC\cong BD$. Abbiamo tracciato la semiretta $OE$ che interseca $CD$ in $F$. Dimostra che $CF\cong FD$.

Ipotesi
$OA\cong OB$
$AC\cong BD$

Tesi
$CF\cong FD$

Dimostrazione

$OD\cong OB+BD$, $OC\cong OA+AC$,  quindi ________$\cong$________ perché ________ di segmenti congruenti.
Osserviamo che i triangoli $OAB$ e ________ sono entrambi isosceli.
Quindi
$O\hat{A}B\cong$________ perché angoli alla base del triangolo isoscele $OAB$.
Di conseguenza
$A\hat{B}D\cong \pi -A\hat{B}O\cong$
$\pi -O\hat{A}B\cong$________.
I triangoli $ABC$ e $BAD$ hanno:
• $AB$ in comune;
• $AC\cong BD$ per ________;
• $A\hat{B}D\cong C\hat{A}B$;
quindi sono congruenti per il ________ criterio.
In particolare $CB\cong AD$ e $A\hat{C}B\cong B\hat{D}A$.

Considerando che $OCD$ è un triangolo isoscele:
$O\hat{C}D\cong A\hat{C}B+E\hat{C}D\cong O\hat{D}C\cong$
$B\hat{D}A+E\hat{D}C\cong A\hat{C}B+E\hat{D}C$,
da cui concludiamo che
$E\hat{D}C\cong$________,
pertanto $ECD$ è un triangolo isoscele e $ED\cong EC$.

Ora consideriamo i triangoli $EDO$ e $ECO$. Essi hanno, per la dimostrazione precedente:
• $ED\cong EC$;
• $OD\cong OC$;
• $O\hat{C}E\cong O\hat{D}E$;
quindi sono congruenti per il ________ criterio.
In particolare $C\hat{O}E\cong D\hat{O}E$, quindi $OE$ è la bisettrice dell'angolo $\hat{O}$ ed essendo $COD$ isoscele, $OE$ è anche mediana del lato ________. Allora $CF\cong FD$.

Dato un triangolo equilatero $ABC$, traccia le bisettrici $BP$ e $AQ$ rispettivamente degli angoli $C\hat{B}A$ e $C\hat{A}B$ e indica con $O$ il loro punto di intersezione. Prolunga le bisettrici rispettivamente dalla parte di $P$ e di $Q$ e considera su di esse due punti $M$ e $N$ tali che $PM\cong PA$ e $QN\cong QB$. Dimostra che i triangoli $MAO$ e $NBO$ sono congruenti.

Scriviamo ipotesi e tesi.

Ipotesi:
$AB\cong BC\cong AC$;
$BAQ\cong QAC$;
$ABP\cong PBC$;
$AP\cong PM$;
$BQ\cong QN$.
Tesi:
$MAO\cong NBO$.

Dimostrazione
Il triangolo equilatero $ABC$ ha tutti gli angoli congruenti per il teorema del triangolo equilatero.
Quindi gli angoli alla base $AB$ del triangolo $AOB$ sono congruenti perché ________ di angoli congruenti e $AOB$ è isoscele per il ________ del triangolo isoscele, cioè $AO\cong BO$.
Inoltre, $BP$ e $AQ$ sono anche mediane per la proprietà dei triangoli equilateri.
Quindi $AP\cong$ ________ e anche $MP\cong QN$.
Consideriamo i triangoli $OAP$ e $OBQ$. Essi hanno:
•   $AO\cong BO$ per dimostrazione precedente;
•   $AP\cong$ ________ per dimostrazione precedente;
•   $P\hat{A}O\cong Q\hat{B}O$ per dimostrazione precedente;
quindi $OAP\cong OBQ$ per il ________ criterio di congruenza.
In particolare, $PO\cong QO$.
Infine, consideriamo i triangoli $MAO$ e $NBO$. In essi:
•   $AO\cong BO$ per dimostrazione precedente;
•   $MO\cong NO$ perché ________ di segmenti congruenti;
•   $A\hat{O}M\cong B\hat{O}N$ perché ________;
quindi $MAO\cong NBO$ per il primo criterio di congruenza dei triangoli.

Nella figura, il triangolo $ABC$ è isoscele, $D\hat{A}G\cong E\hat{B}F$ e $D\hat{C}A\cong E\hat{C}B$. Dimostra che $DA\cong EB$.

Ipotesi:
$AB\cong AC$;
$D\hat{A}G\cong E\hat{B}F$;
$D\hat{C}A\cong E\hat{C}B$.
Tesi:
$DA\cong EB$.

Dimostrazione
Il triangolo $ABC$ è isoscele e per ________ del triangolo isoscele gli angoli alla base sono congruenti, quindi ________$\cong C\hat{B}A$.

Quindi
$D\hat{A}C\cong \pi -(D\hat{A}G+$________$)\cong$
$\pi -(E\hat{B}F+C\hat{B}A)\cong E\hat{B}C$.
Consideriamo i triangoli $CAD$ e $CBE$:
•   $D\hat{A}C\cong E\hat{B}C$ per dimostrazione precedente;
•   $AC\cong BC$ per ipotesi;
•   $D\hat{C}A\cong E\hat{C}B$ per ipotesi;
quindi $CAD\cong CBE$ per il ________ criterio di congruenza dei triangoli.
In particolare, $DA\cong EB$.