Matematica - Scuola secondaria di secondo gradoTriangoliCriteri di congruenza dei triangoliPrimo criterio di congruenza dei triangoli

FIP02BBbluG2 - Secondo criterio di congruenza, triangoli isosceli ed equilateri

9 esercizi
SVOLGI
Filtri

Matematica

Vero o falso?
A: Se due triangoli hanno un lato e due angoli congruenti, sono congruenti.
B: Se nel triangolo ABC la mediana CM è altezza relativa ad AB, allora ABC è isoscele.
C: Un triangolo isoscele non può essere rettangolo.
D: Se due triangoli isosceli hanno gli angoli alla base congruenti, sono congruenti.
Vero o falso
1

Il punteggio di un esercizio è determinato
dalla difficoltà: da 1 (più facile) a 5 (più
difficile).Vuoi saperne di più? Consulta il
Centro Assistenza

Matematica

In figura, L, M e N sono i punti medi dei lati del triangolo equilatero ABC.
Dimostra che il triangolo LMN è equilatero.
CL incontra NM in D. Dimostra che D è il punto medio di NM.

Ipotesi
ABC triangolo equilatero;
AN≅NC; AL≅LB; BM≅CM.

Tesi
LMN triangolo equilatero
ND≅DM

Dimostrazione
I triangoli ANL, LMB, ________ hanno:
AL≅________≅________perché metà di segmenti congruenti;
________≅BM≅MC per lo stesso motivo;
NA^L≅LB^M≅________ perché angoli di un triangolo equilatero;
quindi sono congruenti per il ________ criterio.
In particolare, NL≅LM≅NM, quindi LMN è un triangolo equilatero.

I triangoli ALC e BLC hanno:
• ________ perché L è punto medio di AB;
• AC≅BC perché lati di triangolo equilatero;
• CA^L≅CB^L perché angoli di triangolo equilatero;
quindi sono congruenti per il ________ criterio.
In particolare, AC^L≅________.

Nel triangolo NCM, isoscele perché NC≅CM, in quanto metà di segmenti congruenti, CD è allora ________ e quindi anche ________.
Allora ND≅DM.





Completamento chiuso
1

Il punteggio di un esercizio è determinato
dalla difficoltà: da 1 (più facile) a 5 (più
difficile).Vuoi saperne di più? Consulta il
Centro Assistenza

Matematica

Dato un triangolo equilatero ABC, traccia le bisettrici BP e AQ rispettivamente degli angoli CB^A e CA^B e indica con O il loro punto di intersezione. Prolunga le bisettrici rispettivamente dalla parte di P e di Q e considera su di esse due punti M e N tali che PM≅PA e QN≅QB. Dimostra che i triangoli MAO e NBO sono congruenti.

Scriviamo ipotesi e tesi.

Ipotesi:
AB≅BC≅AC;
BAQ≅QAC;
ABP≅PBC;
AP≅PM;
BQ≅QN.
Tesi:
MAO≅NBO.

Dimostrazione
Il triangolo equilatero ABC ha tutti gli angoli congruenti per il teorema del triangolo equilatero.
Quindi gli angoli alla base AB del triangolo AOB sono congruenti perché ________ di angoli congruenti e AOB è isoscele per il ________ del triangolo isoscele, cioè AO≅BO.
Inoltre, BP e AQ sono anche mediane per la proprietà dei triangoli equilateri.
Quindi AP≅________ e anche MP≅QN.
Consideriamo i triangoli OAP e OBQ. Essi hanno:
•   AO≅BO per dimostrazione precedente;
•   AP≅________ per dimostrazione precedente;
•   PA^O≅QB^O per dimostrazione precedente;
quindi OAP≅OBQ per il ________ criterio di congruenza.
In particolare, PO≅QO.
Infine, consideriamo i triangoli MAO e NBO. In essi:
•   AO≅BO per dimostrazione precedente;
•   MO≅NO perché ________ di segmenti congruenti;
•   AO^M≅BO^N perché ________;
quindi MAO≅NBO per il primo criterio di congruenza dei triangoli.

Completamento chiuso
1

Il punteggio di un esercizio è determinato
dalla difficoltà: da 1 (più facile) a 5 (più
difficile).Vuoi saperne di più? Consulta il
Centro Assistenza

Matematica

Il taccuino di Sherlock Holmes è sparito. Sherlock sa che può averlo preso una sola persona fra Watson, Lestrade e Mrs. Hudson e che il colpevole è l'unico che mente.
Watson: «È stata Mrs. Hudson».
Mrs. Hudson: «Non so chi sia stato».
Lestrade: «Watson dice la verità».
Dimostra per assurdo che la colpevole è Mrs. Hudson.

Supponiamo per assurdo che Mrs. Hudson dica la verità e quindi ________ colpevole.
Watson però afferma che è stata Mrs. Hudson a prendere il taccuino; questo vuol dire che Watson sta ________.
Allo stesso tempo, Lestrade afferma che Watson dice la verità.
Ma se Watson sta ________, allora anche Lestrade sta mentendo.
Quindi, se Mrs. Hudson dice la verità, sia Watson che Lestrade stanno ________.
Raggiungiamo così un assurdo.
Concludiamo che non è possibile che Mrs. Hudson dica la verità, cioè ________ lei la colpevole.
Completamento chiuso
1

Il punteggio di un esercizio è determinato
dalla difficoltà: da 1 (più facile) a 5 (più
difficile).Vuoi saperne di più? Consulta il
Centro Assistenza

Matematica

Nella figura, OE è la bisettrice dell'angolo AO^B, e i triangoli OAE e OBC sono isosceli.
a.     Dimostra che il triangolo DCE è isoscele.
b.     Sapendo che AO^B=70∘, calcola la misura di OC^D.
c.     Il perimetro del triangolo OBC è 22 cm e la base supera di 4 cm il lato obliquo.
Sapendo che BC≅AD e OA=8 cm, calcola la lunghezza di CD.

a.
Ipotesi
AO^E≅EO^B
OA≅________
OB≅CB

Tesi
DCE triangolo isoscele

Dimostrazione

Il triangolo OAE è isoscele per ipotesi, quindi AO^E≅________≅DE^C.
Il triangolo OBC è isoscele per ipotesi, quindi OC^B≅CO^B≅________.
Gli angoli DC^E e OC^B sono congruenti perché opposti al vertice, perciò
DC^E≅________≅________≅DE^C.
Il triangolo DCE ha due angoli congruenti, pertanto è isoscele.

b.
Poiché AO^B=70∘ e OE è la sua bisettrice, otteniamo: BO^E=________.

BC^O≅BO^C perché angoli alla base del triangolo isoscele BOC, quindi:
BC^O=________.

Quindi OC^D=________ perché ________BC^O.

c.
Troviamo BC¯.
Poiché OC¯=BC¯________4 e
OB¯=________, esprimendo il perimetro in funzione di BC¯ otteniamo un'equazione nell'incognita BC¯ e la risolviamo:
OC¯+OB¯+BC¯=22
BC¯+4+BC¯+BC¯=22
3BC¯=22−4
BC¯=183=6

Se BC≅AD, allora AD¯=6.
CD≅________≅
AE−AD≅________−AD,
quindi
CD¯=8−6=2.
Concludiamo che la lunghezza CD è 2 cm.
Completamento chiuso
1

Il punteggio di un esercizio è determinato
dalla difficoltà: da 1 (più facile) a 5 (più
difficile).Vuoi saperne di più? Consulta il
Centro Assistenza

Matematica

Sui lati dell'angolo O^ in figura sono fissati i punti A, B, C, D in modo che OA≅OB e AC≅BD. Abbiamo tracciato la semiretta OE che interseca CD in F. Dimostra che CF≅FD.

Ipotesi
OA≅OB
AC≅BD

Tesi
CF≅FD

Dimostrazione

OD≅OB+BD, OC≅OA+AC,  quindi ________≅________ perché ________ di segmenti congruenti.
Osserviamo che i triangoli OAB e ________ sono entrambi isosceli.
Quindi
OA^B≅________ perché angoli alla base del triangolo isoscele OAB.
Di conseguenza
AB^D≅π−AB^O≅
π−OA^B≅________.
I triangoli ABC e BAD hanno:
• AB in comune;
• AC≅BD per ________;
• AB^D≅CA^B;
quindi sono congruenti per il ________ criterio.
In particolare CB≅AD e AC^B≅BD^A.

Considerando che OCD è un triangolo isoscele:
OC^D≅AC^B+EC^D≅OD^C≅
BD^A+ED^C≅AC^B+ED^C,
da cui concludiamo che
ED^C≅________,
pertanto ECD è un triangolo isoscele e ED≅EC.

Ora consideriamo i triangoli EDO e ECO. Essi hanno, per la dimostrazione precedente:
• ED≅EC;
• OD≅OC;
• OC^E≅OD^E;
quindi sono congruenti per il ________ criterio.
In particolare CO^E≅DO^E, quindi OE è la bisettrice dell'angolo O^ ed essendo COD isoscele, OE è anche mediana del lato ________. Allora CF≅FD.

Completamento chiuso
1

Il punteggio di un esercizio è determinato
dalla difficoltà: da 1 (più facile) a 5 (più
difficile).Vuoi saperne di più? Consulta il
Centro Assistenza

Matematica

Nella figura, AB≅AC, BF≅FC, EB^F≅DC^F.
Dimostra che:
a.   EA≅AD;
b.   EF^A≅DF^A.

a. Consideriamo i triangoli AEC e ABD. In essi:
•   AB≅AC per ipotesi;
•   AC^E≅AB^D per ipotesi;
•   A^ è in comune;
quindi AEC≅ABD per il ________ criterio di congruenza dei triangoli.
In particolare, AD≅EA.

b. Tracciamo il segmento FA e consideriamo i triangoli AFC e AFB. Essi hanno:
•   AC≅AB per ipotesi;
•   CF≅BF per ipotesi;
•   AC^F≅AD^E per ipotesi;
quindi AFC≅AFB per il primo criterio di congruenza dei triangoli.
In particolare, CA^F≅________.

Consideriamo infine i triangoli ADF e AEF. Essi hanno:
•   AD≅EA perché ________ di segmenti congruenti;
•   AF è in comune;
•   DA^F≅EA^F per dimostrazione precedente;
quindi ADF≅AEF per il ________ criterio di congruenza dei triangoli.
In particolare, EF^A≅DF^A.

Completamento chiuso
1

Il punteggio di un esercizio è determinato
dalla difficoltà: da 1 (più facile) a 5 (più
difficile).Vuoi saperne di più? Consulta il
Centro Assistenza

Matematica

Nella figura è riportata la sezione verticale della capriata nella foto. ABC è un triangolo isoscele e CH è l'altezza relativa alla base AB. Dimostra che, se PR^C≅QR^C, allora PR≅QR.

Ipotesi:
________≅BC;
CH⊥AB;
PR^C≅QR^C.
Tesi:
PR≅QR.

Dimostrazione
CH è ________ ma anche mediana e ________ per la proprietà dei triangoli isosceli.
Quindi PC^R≅QC^R:
Consideriamo i triangoli PCR e QCR:
•   CR è in comune;
•   PR^C≅QR^C per ipotesi;
•   PC^R≅QC^R per dimostrazione precedente;
quindi PCR≅QCR per il ________ criterio di congruenza dei triangoli.
In particolare, PR≅QR.
Completamento chiuso
1

Il punteggio di un esercizio è determinato
dalla difficoltà: da 1 (più facile) a 5 (più
difficile).Vuoi saperne di più? Consulta il
Centro Assistenza

Matematica

Nella figura, il triangolo ABC è isoscele, DA^G≅EB^F e DC^A≅EC^B. Dimostra che DA≅EB.

Ipotesi:
AB≅AC;
DA^G≅EB^F;
DC^A≅EC^B.
Tesi:
DA≅EB.

Dimostrazione
Il triangolo ABC è isoscele e per ________ del triangolo isoscele gli angoli alla base sono congruenti, quindi ________≅CB^A.

Quindi
DA^C≅π−(DA^G+________)≅
π−(EB^F+CB^A)≅EB^C.
Consideriamo i triangoli CAD e CBE:
•   DA^C≅EB^C per dimostrazione precedente;
•   AC≅BC per ipotesi;
•   DC^A≅EC^B per ipotesi;
quindi CAD≅CBE per il ________ criterio di congruenza dei triangoli.
In particolare, DA≅EB.
Completamento chiuso
1

Il punteggio di un esercizio è determinato
dalla difficoltà: da 1 (più facile) a 5 (più
difficile).Vuoi saperne di più? Consulta il
Centro Assistenza