FIP02BBbluG2 - Secondo criterio di congruenza, triangoli isosceli ed equilateri #466743

In figura,

L

,

M

e

N

sono i punti medi dei lati del triangolo equilatero

A B C

.
Dimostra che il triangolo

L M N

è equilatero.

C L

incontra

N M

in

D

. Dimostra che

D

è il punto medio di

N M

.

Ipotesi

A B C

triangolo equilatero;

A N ≅ N C

;

A L ≅ L B

;

B M ≅ C M

.

Tesi

L M N

triangolo equilatero

N D ≅ D M

Dimostrazione
I triangoli

A N L

,

L M B

, ________ hanno:

A L ≅

________

≅

________perché metà di segmenti congruenti;
________

≅ B M ≅ M C

per lo stesso motivo;

N \hat{A} L ≅ L \hat{B} M ≅

________ perché angoli di un triangolo equilatero;
quindi sono congruenti per il ________ criterio.
In particolare,

N L ≅ L M ≅ N M

, quindi

L M N

è un triangolo equilatero.

I triangoli

A L C

e

B L C

hanno:
• ________ perché

L

è punto medio di

A B

;
•

A C ≅ B C

perché lati di triangolo equilatero;
•

C \hat{A} L ≅ C \hat{B} L

perché angoli di triangolo equilatero;
quindi sono congruenti per il ________ criterio.
In particolare,

A \hat{C} L ≅

________.

Nel triangolo

N C M

, isoscele perché

N C ≅ C M

, in quanto metà di segmenti congruenti,

C D

è allora ________ e quindi anche ________.
Allora

N D ≅ D M

.

Completamento chiuso

Nella figura,

O E

è la bisettrice dell'angolo

A \hat{O} B

, e i triangoli

O A E

e

O B C

sono isosceli.
a. Dimostra che il triangolo

D C E

è isoscele.
b. Sapendo che

A \hat{O} B = 70^{\circ}

, calcola la misura di

O \hat{C} D

.
c. Il perimetro del triangolo

O B C

è

22

cm e la base supera di

4

cm il lato obliquo.
Sapendo che

B C ≅ A D

e

O A = 8

cm, calcola la lunghezza di

C D

.

a.
Ipotesi

A \hat{O} E ≅ E \hat{O} B

O A ≅

________

O B ≅ C B

Tesi

D C E

triangolo isoscele

Dimostrazione

Il triangolo

O A E

è isoscele per ipotesi, quindi

A \hat{O} E ≅

________

≅ D \hat{E} C

.
Il triangolo

O B C

è isoscele per ipotesi, quindi

O \hat{C} B ≅ C \hat{O} B ≅

________.
Gli angoli

D \hat{C} E

e

O \hat{C} B

sono congruenti perché opposti al vertice, perciò

D \hat{C} E ≅

________

≅

________

≅ D \hat{E} C

.
Il triangolo

D C E

ha due angoli congruenti, pertanto è isoscele.

b.
Poiché

A \hat{O} B = 70^{\circ}

e

O E

è la sua bisettrice, otteniamo:

B \hat{O} E =

________.

B \hat{C} O ≅ B \hat{O} C

perché angoli alla base del triangolo isoscele

B O C

, quindi:

B \hat{C} O =

________.

Quindi

O \hat{C} D =

________ perché ________

B \hat{C} O

.

c.
Troviamo

\bar{B C}

.
Poiché

\bar{O C} = \bar{B C}

________

4

e

\bar{O B} =

________, esprimendo il perimetro in funzione di

\bar{B C}

otteniamo un'equazione nell'incognita

\bar{B C}

e la risolviamo:

\bar{O C} + \bar{O B} + \bar{B C} = 22

\bar{B C} + 4 + \bar{B C} + \bar{B C} = 22

3 \bar{B C} = 22 - 4

\bar{B C} = \frac{18}{3} = 6

Se

B C ≅ A D

, allora

\bar{A D} = 6

.

C D ≅

________

≅

A E - A D ≅

________

- A D

,
quindi

\bar{C D} = 8 - 6 = 2

.
Concludiamo che la lunghezza

C D

è

2

cm.

Completamento chiuso

Vero o falso?

A: Se due triangoli hanno un lato e due angoli congruenti, sono congruenti.

B: Se nel triangolo

A B C

la mediana

C M

è altezza relativa ad

A B

, allora

A B C

è isoscele.

C: Un triangolo isoscele non può essere rettangolo.

D: Se due triangoli isosceli hanno gli angoli alla base congruenti, sono congruenti.

Vero o falso

Sui lati dell'angolo

\hat{O}

in figura sono fissati i punti

A

,

B

,

C

,

D

in modo che

O A ≅ O B

e

A C ≅ B D

. Abbiamo tracciato la semiretta

O E

che interseca

C D

in

F

. Dimostra che

C F ≅ F D

.

Ipotesi

O A ≅ O B

A C ≅ B D

Tesi

C F ≅ F D

Dimostrazione

O D ≅ O B + B D

,

O C ≅ O A + A C

, quindi ________

≅

________ perché ________ di segmenti congruenti.
Osserviamo che i triangoli

O A B

e ________ sono entrambi isosceli.
Quindi

O \hat{A} B ≅

________ perché angoli alla base del triangolo isoscele

O A B

.
Di conseguenza

A \hat{B} D ≅ π - A \hat{B} O ≅

π - O \hat{A} B ≅

________.
I triangoli

A B C

e

B A D

hanno:
•

A B

in comune;
•

A C ≅ B D

per ________;
•

A \hat{B} D ≅ C \hat{A} B

;
quindi sono congruenti per il ________ criterio.
In particolare

C B ≅ A D

e

A \hat{C} B ≅ B \hat{D} A

.

Considerando che

O C D

è un triangolo isoscele:

O \hat{C} D ≅ A \hat{C} B + E \hat{C} D ≅ O \hat{D} C ≅

B \hat{D} A + E \hat{D} C ≅ A \hat{C} B + E \hat{D} C

,
da cui concludiamo che

E \hat{D} C ≅

________,
pertanto

E C D

è un triangolo isoscele e

E D ≅ E C

.

Ora consideriamo i triangoli

E D O

e

E C O

. Essi hanno, per la dimostrazione precedente:
•

E D ≅ E C

;
•

O D ≅ O C

;
•

O \hat{C} E ≅ O \hat{D} E

;
quindi sono congruenti per il ________ criterio.
In particolare

C \hat{O} E ≅ D \hat{O} E

, quindi

O E

è la bisettrice dell'angolo

\hat{O}

ed essendo

C O D

isoscele,

O E

è anche mediana del lato ________. Allora

C F ≅ F D

.

Completamento chiuso

Dato un triangolo equilatero

A B C

, traccia le bisettrici

B P

e

A Q

rispettivamente degli angoli

C \hat{B} A

e

C \hat{A} B

e indica con

O

il loro punto di intersezione. Prolunga le bisettrici rispettivamente dalla parte di

P

e di

Q

e considera su di esse due punti

M

e

N

tali che

P M ≅ P A

e

Q N ≅ Q B

. Dimostra che i triangoli

M A O

e

N B O

sono congruenti.

Scriviamo ipotesi e tesi.

Ipotesi:

A B ≅ B C ≅ A C

;

B A Q ≅ Q A C

;

A B P ≅ P B C

;

A P ≅ P M

;

B Q ≅ Q N

.
Tesi:

M A O ≅ N B O

.

Dimostrazione
Il triangolo equilatero

A B C

ha tutti gli angoli congruenti per il teorema del triangolo equilatero.
Quindi gli angoli alla base

A B

del triangolo

A O B

sono congruenti perché ________ di angoli congruenti e

A O B

è isoscele per il ________ del triangolo isoscele, cioè

A O ≅ B O

.
Inoltre,

B P

e

A Q

sono anche mediane per la proprietà dei triangoli equilateri.
Quindi

A P ≅

________ e anche

M P ≅ Q N

.
Consideriamo i triangoli

O A P

e

O B Q

. Essi hanno:
•

A O ≅ B O

per dimostrazione precedente;
•

A P ≅

________ per dimostrazione precedente;
•

P \hat{A} O ≅ Q \hat{B} O

per dimostrazione precedente;
quindi

O A P ≅ O B Q

per il ________ criterio di congruenza.
In particolare,

P O ≅ Q O

.
Infine, consideriamo i triangoli

M A O

e

N B O

. In essi:
•

A O ≅ B O

per dimostrazione precedente;
•

M O ≅ N O

perché ________ di segmenti congruenti;
•

A \hat{O} M ≅ B \hat{O} N

perché ________;
quindi

M A O ≅ N B O

per il primo criterio di congruenza dei triangoli.

Completamento chiuso

Nella figura,

A B ≅ A C

,

B F ≅ F C

,

E \hat{B} F ≅ D \hat{C} F

.
Dimostra che:
a.

E A ≅ A D

;
b.

E \hat{F} A ≅ D \hat{F} A

.

a. Consideriamo i triangoli

A E C

e

A B D

. In essi:
•

A B ≅ A C

per ipotesi;
•

A \hat{C} E ≅ A \hat{B} D

per ipotesi;
•

\hat{A}

è in comune;
quindi

A E C ≅ A B D

per il ________ criterio di congruenza dei triangoli.
In particolare,

A D ≅ E A

.

b. Tracciamo il segmento

F A

e consideriamo i triangoli

A F C

e

A F B

. Essi hanno:
•

A C ≅ A B

per ipotesi;
•

C F ≅ B F

per ipotesi;
•

A \hat{C} F ≅ A \hat{D} E

per ipotesi;
quindi

A F C ≅ A F B

per il primo criterio di congruenza dei triangoli.
In particolare,

C \hat{A} F ≅

________.

Consideriamo infine i triangoli

A D F

e

A E F

. Essi hanno:
•

A D ≅ E A

perché ________ di segmenti congruenti;
•

A F

è in comune;
•

D \hat{A} F ≅ E \hat{A} F

per dimostrazione precedente;
quindi

A D F ≅ A E F

per il ________ criterio di congruenza dei triangoli.
In particolare,

E \hat{F} A ≅ D \hat{F} A

.

Completamento chiuso

Nella figura è riportata la sezione verticale della capriata nella foto.

A B C

è un triangolo isoscele e

C H

è l'altezza relativa alla base

A B

. Dimostra che, se

P \hat{R} C ≅ Q \hat{R} C

, allora

P R ≅ Q R

.

Ipotesi:
________

≅ B C

;

C H ⊥ A B

;

P \hat{R} C ≅ Q \hat{R} C

.
Tesi:

P R ≅ Q R

.

Dimostrazione

C H

è ________ ma anche mediana e ________ per la proprietà dei triangoli isosceli.
Quindi

P \hat{C} R ≅ Q \hat{C} R

:
Consideriamo i triangoli

P C R

e

Q C R

:
•

C R

è in comune;
•

P \hat{R} C ≅ Q \hat{R} C

per ipotesi;
•

P \hat{C} R ≅ Q \hat{C} R

per dimostrazione precedente;
quindi

P C R ≅ Q C R

per il ________ criterio di congruenza dei triangoli.
In particolare,

P R ≅ Q R

.

Completamento chiuso

Il taccuino di Sherlock Holmes è sparito. Sherlock sa che può averlo preso una sola persona fra Watson, Lestrade e Mrs. Hudson e che il colpevole è l'unico che mente.
Watson: «È stata Mrs. Hudson».
Mrs. Hudson: «Non so chi sia stato».
Lestrade: «Watson dice la verità».
Dimostra per assurdo che la colpevole è Mrs. Hudson.

Supponiamo per assurdo che Mrs. Hudson dica la verità e quindi ________ colpevole.
Watson però afferma che è stata Mrs. Hudson a prendere il taccuino; questo vuol dire che Watson sta ________.
Allo stesso tempo, Lestrade afferma che Watson dice la verità.
Ma se Watson sta ________, allora anche Lestrade sta mentendo.
Quindi, se Mrs. Hudson dice la verità, sia Watson che Lestrade stanno ________.
Raggiungiamo così un assurdo.
Concludiamo che non è possibile che Mrs. Hudson dica la verità, cioè ________ lei la colpevole.

Completamento chiuso

Nella figura, il triangolo

A B C

è isoscele,

D \hat{A} G ≅ E \hat{B} F

e

D \hat{C} A ≅ E \hat{C} B

. Dimostra che

D A ≅ E B

.

Ipotesi:

A B ≅ A C

;

D \hat{A} G ≅ E \hat{B} F

;

D \hat{C} A ≅ E \hat{C} B

.
Tesi:

D A ≅ E B

.

Dimostrazione
Il triangolo

A B C

è isoscele e per ________ del triangolo isoscele gli angoli alla base sono congruenti, quindi ________

≅ C \hat{B} A

.

Quindi

D \hat{A} C ≅ π - (D \hat{A} G +

________

) ≅

π - (E \hat{B} F + C \hat{B} A) ≅ E \hat{B} C

.
Consideriamo i triangoli

C A D

e

C B E

:
•

D \hat{A} C ≅ E \hat{B} C

per dimostrazione precedente;
•

A C ≅ B C

per ipotesi;
•

D \hat{C} A ≅ E \hat{C} B

per ipotesi;
quindi

C A D ≅ C B E

per il ________ criterio di congruenza dei triangoli.
In particolare,

D A ≅ E B

.

Completamento chiuso