FIP02BBblu10 - Problemi con disequazioni lineari

Associa ogni problema alla soluzione corrispondente.

Un numero aumentato del $25\mathrm{\%}$ è pari almeno al suo doppio.
________

Un numero diminuito della sua terza parte è inferiore alla sua metà.
________

Il doppio di un numero è al più il numero stesso aumentato di $1$.
________

La metà di un numero è meno della metà dell'unità.
________

Determina il più piccolo intero positivo tale che la somma tra la sua quarta parte aumentata di $2$ e la metà del suo triplo non sia inferiore alla terza parte del successivo del suo doppio.

Chiamiamo $x$ il numero che dobbiamo determinare e impostiamo una disequazione che rappresenti il problema descritto:
${\displaystyle (\frac{1}{4}x+2)+\frac{3x}{2}}$________.
Risolviamo la disequazione:
________${\displaystyle \ge \frac{8x+4}{12}\to }$
$21x+24\ge 8x+4\to$
________$x\ge -20\to$
$x$________${\displaystyle -\frac{20}{13}}$.
Il numero che stiamo cercando è il più piccolo intero positivo maggiore di ${\displaystyle -\frac{20}{13}}$, quindi la soluzione è ________.

La somma del secondo e del terzo lato di un quadrilatero è uguale al quadruplo del primo lato diminuito di $3$ cm e il quarto lato è i ${\displaystyle \frac{3}{5}}$ della somma dei primi tre. Quanti valori interi può assumere la lunghezza $x$, in cm, del primo lato affinché il perimetro del quadrilatero non superi quello di un quadrato di area $36$ cm².

Considera il polinomio $P(x)=-4a{x}^3-(a-2)x^2+3$, con $a\in \mathbb{R}$. Calcola per quali valori del parametro $a$:
a.   ${\displaystyle P(-\frac{1}{2})\le 0}$;
b.   $P(-1)>2P(1)$.

a.   Calcoliamo il valore del polinomio dato per ${\displaystyle x=-\frac{1}{2}}$:
${\displaystyle P(-\frac{1}{2})=-4a{(-\frac{1}{2})}^3-(a-2){(-\frac{1}{2})}^2+3=}$
${\displaystyle \frac{1}{2}a}$________$+3={\displaystyle \frac{1}{4}a+\frac{7}{2}}$.
Imponiamo la condizione ${\displaystyle P(-\frac{1}{2})\le 0}$ e risolviamo la disequazione che otteniamo:
${\displaystyle \frac{1}{4}a+\frac{7}{2}\le 0\to a+14\le 0\to }$
$a\le$________.

b.   Calcoliamo il valore del polinomio dato per $x=-1$ e per $x=1$:
$P(-1)=$________;
$P(1)=-5a+$________.
Imponiamo la condizione $P(-1)>2P(1)$ e risolviamo la disequazione così ottenuta:
$3a+5>2(-5a+5)$
$3a+5>-10a+10$
$13a>5$
$a>$________$14$.

Alessia deve scegliere la tariffa per l'erogazione della corrente elettrica nel suo nuovo ufficio. La società che ha contattato le propone tre offerte:
•   offerta A: fisso mensile di $44$ €, più $0,05$ €/kWh;
•   offerta B: fisso mensile di $35$ €, più $0,08$ €/kWh;
•   offerta C: $0,13$ €/kWh.
a.   In base ai kWh consumati in un mese, stabilisci quale offerta è più conveniente.
b.   Se l'ufficio di Alessia consuma $630$ kWh in un mese, qual è l'offerta più conveniente per lei?
c.   Installando apparecchiature più efficienti, Alessia riesce a ridurre del $10\mathrm{\%}$ il consumo di energia. Adesso quale opzione le conviene scegliere?

a.   Indichiamo con $x$ i kWh.
Per vedere quando l'offerta A è più costosa della B risolviamo la disequazione:
$44+0,05x>35+0,08x$
$0,05x$________$0,08x>35$________$44$
$-0,03x>-9$
$x$________$300.$
L'offerta B è più costosa della C quando:
$35+0,08x>0,13x$
$0,08x$________$0,13x>-35$
$0,05x$________$35$
$x$________$700$.
Infine l'offerta A è più costosa della C quando:
$44+0,05x>0,13$
$-$________$x>-44$
$x<$________.
Confrontando i risultati ottenuti, concludiamo che:
•   sotto i $550$ kWh è più conveniente l'offerta ________,
•   sopra i $550$ kWh conviene scegliere l'offerta ________.

b.   $630$ kWh sono ________ di $550$ kWh, allora l'offerta più conveniente è la ________.

c.   Il $10\mathrm{\%}$ di $630$ è ________.
L'ufficio di Alessia ha consumato ________ kWh, per cui l'offerta più vantaggiosa è la ________.

Un'azienda produce pezzi meccanici di precisione. Per questo lavoro può avvalersi di una macchina $\text{A}$, che impiega $15$ minuti per essere operativa e $30$ s per ogni pezzo, oppure di una macchina $\text{B}$, che è subito operativa ma impiega $45$ s per ogni pezzo. Suggerisci all'azienda, che vuole ottimizzare i tempi, quale macchina è meglio utilizzare.

Chiamiamo $x$ il numero di pezzi meccanici prodotti.

Esprimendo i tempi in secondi: il tempo impiegato dalla macchina $\text{A}$ per produrre $x$ pezzi è dato dall'espressione ________$+30x$, mentre il tempo impiegato dalla macchina $\text{B}$ per produrre lo stesso numero di pezzi è ________.

Per stabilire per quale valore di $x$ la macchina $\text{A}$ impiega più tempo della macchina $\text{B}$ dobbiamo risolvere la seguente disequazione:
$900+30x$________$45x$,
da cui ricaviamo la soluzione $x>60$.

Quindi:
•   se si producono meno di $60$ pezzi conviene usare la macchina ________;
•   se si producono più di $60$ pezzi conviene usare la macchina ________;
•   se si producono esattamente $60$ pezzi entrambe le macchine impiegano lo stesso tempo.

Elisa vuole spostare una cassa di angurie da $60$ kg e applica una forza di $150\text{N}$, in direzione orizzontale. Il coefficiente di attrito statico tra la cassa e il pavimento è $0,4$.
a.   Verifica che Elisa non riesce a spostare l'oggetto.
b.   Di quanto dovrebbe essere più leggera la cassa, come minimo, perché Elisa riesca a spostarla da sola?
Ricorda: Per spostare un oggetto, la forza applicata deve essere maggiore del prodotto tra la massa dell'oggetto, il coefficiente di attrito statico e l'accelerazione di gravità [$\simeq 10$ m/s²].

a.   Per verificare che Elisa non riesce a spostare la cassa di angurie, dobbiamo calcolare quanto vale il prodotto tra la massa della cassa, il coefficiente di attrito statico e l'accelerazione di gravità e verificare che il risultato ottenuto è ________ della forza applicata da Elisa.
Il prodotto vale $60\cdot 0,4\cdot 10=240$ mentre la forza applicata da Elisa misura $150\text{N}$, quindi possiamo concludere che Elisa ________ a spostare la cassa di angurie.

b.   Per calcolare quanto deve pesare la cassa di angurie affinché Elisa riesca a spostarla, dobbiamo risolvere la seguente disequazione:
$150$________$x\cdot 0,4\cdot 10$.
Svolgiamo i calcoli:
${\displaystyle \frac{150}{4}>x\to x<37,5}$.
Quindi, affinché Elisa riesca a sollevarla, la cassa di angurie deve pesare come minimo ________ kg in meno.

Vuoi installare sul tuo computer alcuni programmi di calcolo numerico. Hai a disposizione una memoria di $80$ gigabyte (GB) e vuoi mantenerne libera una parte pari al $20\mathrm{\%}$ di quella utilizzata per i programmi di calcolo numerico. La versione completa di ciascun programma occupa $4,1$ GB, mentre la versione parziale occupa $3,2$ GB. Decidi quindi di scaricare $n$ programmi in versione completa e $2n$ in versione parziale. Quanti programmi in versione completa puoi scaricare al massimo?

La parte di memoria utilizzata per i programmi di calcolo numerico si può esprimere come:
________.
La differenza tra la memoria totale e questa quantità corrisponde alla parte di memoria che si vuole lasciare libera. Il problema si risolve con la seguente equazione:
$80-(4,1n+6,4n)=$
________$(4,1n+6,4n)$
Risolviamo l'equazione e ricaviamo il numero $n$ di programmi:
$80-10,5n={\displaystyle \frac{20}{100}\cdot 10,5n}$
${\displaystyle 80=(\frac{20}{100}}$________$1)$$\cdot 10,5n$
$80=12,6n$
$n=$________$\simeq 6,3$.
Poiché il numero di file deve essere un numero naturale, puoi scaricare al massimo ________ programmi in versione completa.