Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Matematica.azzurro biennio (3ª edizione) Matematica.azzurro biennio (3ª edizione) / Volume 1 Fai il punto sulle competenze - Gli esperimenti aleatori e le definizioni di probabilità

FIP01bbtverde21 - Gli esperimenti aleatori e le definizioni di probabilità

10 esercizi

SVOLGI

Filtri

Matematica

Un cassetto contiene quattro calzini: due rossi, uno blu e uno verde. Estrai casualmente due calzini simultaneamente. Rappresenta per elencazione lo spazio campionario

S

.

Lo spazio campionario è costituito da tutte le possibili coppie di calze che possiamo estrarre. Indichiamo con

R

B

V

le calze di colore rosso, blu, verde, rispettivamente.
Lo spazio campionario quindi è

S = {{R, R}, {B, R}, {R,

________

},

________

}

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Matematica

Una gelateria produce alcuni gusti di gelato alla frutta e alcuni alle creme.
Alcuni di essi contengono latte, i rimanenti sono vegani. Estrai casualmente un gusto e indica con

F

V

rispettivamente gli eventi «è alla frutta» e «è vegano».
Associa a ogni evento l'insieme corrispondente.

1. È una crema con latte. ________

2. È una crema o è vegano. ________

3. È vegano alla frutta. ________

4. È vegano con latte. ________

Posizionamento

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Matematica

Claudia lancia due dai a

6

facce. Qual è la probabilità che la somma dei risultati sia un multiplo di

3

5

?

Lanciando due dadi a

6

facce, il numero dei casi possibili è ________.
I risultati favorevoli corrispondono ai lanci la cui somma è

3

5

6

9

, ________ e

12

.
Elenchiamo per ciascun numero, tutti i possibili lanci che lo producono come somma.

3

\to

(1, 2), (2, 1)

5

\to

(1, 4), (2, 3),

________

, (4, 1)

6

\to

(1, 5), (2, 4),

________

, (4, 2),

________

9

\to

________

, (4, 5), (5, 4), (6, 3)

10

\to

________

, (5, 5), (6, 4)

12

\to

________
Il numero di casi favorevoli è quindi:

2 + 4 + 5 + 4 + 3 + 1 =

________
La probabilità secondo la definizione classica è:
________.

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Matematica

Se lanci due dadi a

4

facce (numerate da

1

4

), qual è la probabilità che la somma dei risultati sia almeno

4

?

Lo spazio campionario del lanci di due dadi a

4

facce ha:
________ elementi.
La somma è minore o uguale a

3

solo in questi casi:
primo dado

= 1

e secondo dado

= 1

;
primo dado

= 1

e secondo dado

= 2

;
primo dado

= 2

e secondo dado

= 1

.
In tutti gli altri casi, la somma è maggiore o uguale a

4

. Quindi,
la probabilità che la somma dei risultati sia almeno

4

è:
________.

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Matematica

Nel contenitore delle decorazioni natalizie di Mara ci sono $9$ palline di plastica; le rimanenti sono di vetro.
Pescando a caso, la probabilità di estrarre una pallina di plastica è $\frac{3}{8}$ . Quante sono in tutto le palline?

Chiamiamo $x$ il numero di palline di vetro, quindi il numero totale di palline è $x + 9$ .

La probabilità di estrarre una pallina di plastica è data da
________,
da cui
________ $= \frac{3}{8} \to$

$72$	$=$	$3 x + 27$	$\to$
________		________

$3 x = 45 \to x = 15$ .
Quindi le palline in totale sono $15 + 9 = 24$ .

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Matematica

Un'urna contiene

30

palline. La probabilità di estrarre una pallina rossa dall'urna è di

\frac{1}{10}

. Qual è il numero minimo di palline rosse che dovrebbero essere aggiunte nell'urna, affinché la probabilità di estrarre una pallina rossa sia almeno del

60 %

?

Se

r

indica il numero di palline rosse inizialmente nell'urna, allora sappiamo che

\frac{r}{30} = \frac{1}{10}

,
quindi

r =

________.
Ora aggiungiamo all'urna un numero

x

di palline rosse. La probabilità di
estrarre una pallina rossa è almeno del

60 %

quando:
________.
Scriviamo la disequazione in forma normale:
________.
Poiché

x \geq 0,

il termine

30 + x

è sicuramente positivo. La disequazione è soddisfatta per

x \geq \frac{75}{2} = 37, 5

.
Quindi il più piccolo valore intero di

x

per cui la condizione precedente è verificata è:

x =

________.

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Matematica

All'intervallo di un triangolo rettangolo isoscele

A B C

di ipotenusa

B C

disegna un quadrato

A P Q R

con

P

appartenente ad

A B

Q

B C

R

A C

. Scegli casualmente un punto nel triangolo

A B C

. Qual è la probabilità che il punto sia interno al quadrato?

Disegniamo la figura.

Per stabilire la probabilità che un punto scelto a caso nel triangolo appartenga al quadrato

A P Q R

, determiniamo il rapporto tra l'area del quadrato

A P Q R

e l'area del triangolo

A B C

.

L'area del quadrato

A P Q R

è pari a

A_{(A P Q R)} = {\bar{A P}}^{2}

.

Determiniamo l'area del triangolo

A B C

in funzione del lato del quadrato.

Per ipotesi sappiamo che

A C ≅

________ e

A B C

è rettangolo.
Consideriamo i triangoli

A B C

P B Q

.
Poiché hanno un angolo in comune (

\hat{B}

) e gli angoli corrispondenti rispettivamente congruenti, allora sono simili. Quindi vale

P B ≅

________. Osserviamo anche che

A B ≅ 2 A P

perché

P B ≅ P Q ≅ A P

. Perciò anche

A C ≅ 2 A P

.
Quindi

A_{(A B C)} =

________

=

2 {\bar{A P}}^{2}

.
Il rapporto tra le due aree quindi è

\frac{A_{(A P Q R)}}{A_{(A B C)}} = \frac{{\bar{A P}}^{2}}{2 {\bar{A P}}^{2}} = \frac{1}{2} .

La probabilità che un punto scelto a caso nel triangolo

A B C

appartenga al quadrato

A P Q R

è quindi pari a

\frac{1}{2}

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Matematica

Tre dadi a sei facce all'apparenza identici vengono lanciati per un grande numero di volte per verificare se siano truccati o no. I risultati ottenuti sono rappresentati nella tabella.

	Dado A	Dado B	Dado C
Esce $6$	$108$	$43$	$22$
Non esce $6$	$497$	$167$	$128$

a. In base a questi dati, quale dei tre dadi ha i valori più vicini a quelli che ci aspettiamo da un dado non truccato?
b. Qual è la probabilità che, nei lanci effettuati con il dado $B$ , si sia presentata la faccia $6$ ?

a. In un dado ideale non truccato, ci aspettiamo che la probabilità che esca $6$ sia esattamente $\frac{1}{6}$ . Calcoliamo in base ai lanci effettuati la probabilità che esca $6$ per ogni dado:
$p_{A} (6) = \frac{108}{497 + 108} = \frac{108}{605} ≃ 17, 85 %$ ;
$p_{B} (6) =$ ________ $≃ 20, 48 %$ ;
$p_{C} (6) =$ ________ $≃ 14, 67 %$ .
Tenendo conto che $\frac{1}{6} ≃ 16, 67 %$ , il dado più accurato in base a questi lanci è il dado ________.

b.
La probabilità che lanciando il dado $B$ esca la faccia $6$ è data da:
$\frac{43}{43 + 167} =$ ________.

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Matematica

Un bookmaker prepara le quote per una partita di pallanuoto. Ritiene che la probabilità che vinca la squadra di casa sia del

50 %

e sarebbe disposto a pagare

4

€ a chiunque scommettesse

1

€ sulla vittoria della squadra in trasferta. Perché la scommessa sia equa, quale posta deve mettere in palio il bookmarker per una scommessa di

1

€ sul pareggio?

Il fatto che il bookmaker sarebbe disposto a pagare

4

€ a chiunque scommettesse

1

€ sulla vittoria della squadra in trasferta significa che la probabilità che vinca la squadra in trasferta sia:
________.
Inoltre sappiamo che la probabilità che vinca la squadra di casa è

50 % = \frac{1}{2}

.
La probabilità del pareggio è allora:

1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} =

________.
Questo significa che il bookmaker pagherebbe ________ € a chiunque scommettesse

1

€ sul pareggio.

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Matematica

Si vuole testare l'efficacia di un test di positività a un virus. Si selezionano quindi $350$ persone, alcune positive e altre negative al virus, e si sottopongono al test. Gli esiti sono riassunti nella tabella.

	Test positivo	Test negativo
Positivo al virus	$18$	$4$
Negativo al virus	$3$	$325$

a. In base a questi dati, qual è la probabilità che una persona del campione sia positiva al virus?
b. Qual è la probabilità che una persona che ha ottenuto un test negativo sia in realtà positiva.

a. Il totale delle persone positive al virus è dato dalla somma delle persone positive che hanno avuto un test positivo e le persone positive che hanno avuto un test negativo:
persone positive = $18 + 4 = 22$ .
La probabilità che una persona del campione sia positiva è:
________ $= \frac{11}{175}$ .

b. Le persone che hanno ottenuto un test negativo sono in totale:
________.
Di queste, solo $4$ hanno ottenuto un test negativo. La probabilità che una persona con test negativo sia in realtà positiva è:
________.

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